Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Воспользуемся утверждением теоремы 28 для борелевской функции g(x1 , x2 ) = x1 + x2 . Интегрирование по области Dx == {(x1 , x2 ) | x1 + x2 < x} можно заменить последовательным вычислениемдвух интегралов: наружного — по переменной x1 , меняющейся в пределахот −∞ до +∞, и внутреннего — по переменной x2 , которая при каждом x1должна быть меньше, чем x − x1 . Здесь Dx = {(x1 , x2 ) | x1 ∈ R, x2 ∈ (−−∞, x − x1 )}.

Поэтому∞Z x−xZ 1ZZFξ1 + ξ2 (x) =fξ1 (x1 ) fξ2 (x2 ) dx2 dx1 =fξ1 (x1 )fξ2 (x2 ) dx2dx1 .Dx−∞−∞Сделаем в последнем интеграле замену переменной x2 на t так: x2 = t − x1 .При этом x2 ∈ (−∞, x − x1 ) перейдёт в t ∈ (−∞, x), dx2 = dt. В полученном интеграле меняем порядок интегрирования: функция распределения78ГЛАВА 8. Многомерные распределенияFξ1 + ξ2 (x) равна x ∞∞ZZZxZ fξ1 (x1 ) fξ2 (t − x1 ) dtdx1 =  fξ1 (x1 ) fξ2 (t − x1 ) dx1dt.−∞−∞−∞−∞Итак, мы представили функцию распределения Fξ1 + ξ2 (x) в видеRxfξ1 + ξ2 (t) dt, где−∞∞∞ZZfξ1 + ξ2 (t) =fξ1 (x1 ) fξ2 (t − x1 ) dx1 =fξ1 (u) fξ2 (t − u) du.−∞−∞Второе равенство получается либо из первого заменой переменных, либопросто из-за возможности поменять местами ξ1 и ξ2 .Следствие 9 не только предлагает формулу для вычисления плотностираспределения суммы, но и утверждает (заметьте!), что сумма двух независимых случайных величин с абсолютно непрерывными распределениямитакже имеет абсолютно непрерывное распределение.Упражнение.

Для тех, кто уже ничему не удивляется: привести пример двухслучайных величин с абсолютно непрерывными распределениями таких, что их сумма имеет вырожденное распределение.Если даже одна из двух независимых случайных величин имеет дискретное, а вторая — абсолютно непрерывное распределение, то их сумма тожеимеет абсолютно непрерывное распределение:Упражнение.

Пусть ξ имеет таблицу распределения P(ξ = ai ) = pi , а η имеетплотность распределения fη (x), и эти величинынезависимы. Доказать, что ξ + ηPимеет плотность распределения fξ+η (x) =pi fη (x − ai ). Для вычисления функциираспределения суммы использовать формулу полной вероятности.§ 7. Примеры использования формулы свёрткиПример 36.

Пусть независимые случайные величины ξ и η имеют стандартное нормальное распределение. Докажем, что их сумма имеет нормальное распределение с параметрами a = 0 и σ2 = 2.Доказательство. По формуле свёртки, плотность суммы равна∞Zfξ+η (x) =1 −u2/2 −(x−u)2/2eedu =2π−∞∞Z−x2/4=e−∞∞Z−∞x2u2 + 2 − xu1 −e2π211 −(u− x )22edu = √ e−x /42π2 π∞Z−∞du =22e−x /41√ e−v dv = √ .π2 πГЛАВА 8.

Многомерные распределения79Последний интеграл равен единице, поскольку под интегралом стоит1плотность нормального распределения с параметрами a = 0 и σ2 = .2Итак, мы получили, что плотность суммы есть плотность нормальногораспределения с параметрами 0 и 2.Если сумма двух независимых случайных величин из одного и того жераспределения (возможно, с разными параметрами) имеет такое же распределение, говорят, что это распределение у с т о й ч и в о относительно суммирования.В следующих утверждениях, доказать которые предлагается читателю,перечислены практически все устойчивые распределения.= Π и η⊂= ΠЛемма 3.

Пусть случайные величины ξ ⊂λµ независимы.= ΠТогда ξ + η ⊂.λ+µ= B= BЛемма 4. Пусть случайные величины ξ ⊂n,p и η ⊂m,p независи=мы. Тогда ξ + η ⊂ Bn+m,p .= N=Лемма 5. Пусть случайные величины ξ ⊂a1 ,σ21 и η ⊂ Na2 ,σ22 неза= Nвисимы. Тогда ξ + η ⊂a1 +a2 , σ21 +σ22 .= Γ= ΓЛемма 6. Пусть случайные величины ξ ⊂α , λ1 и η ⊂α,λ2 независи= Γмы.

Тогда ξ + η ⊂.α,λ1 +λ2Все эти утверждения мы докажем позднее, используя аппарат характеристических функций, хотя при некотором терпении можно попробовать доказать их и напрямую, как в примере 36.Показательное распределение не устойчиво по суммированию, однакооно является частным случаем гамма-распределения, которое уже устойчиво относительно суммирования.Лемма 7. Пусть независимые случайные величины ξ1 , . . . , ξn име= Γют показательное распределение Eα = Γα,1 . Тогда ξ1 + .

. . + ξn ⊂α,n .Доказательство. Докажем утверждение по индукции. При n = 1 оноверно в силу равенства Eα = Γα, 1 . Пусть утверждение леммы справедливодля n = k − 1. Докажем, что оно верно и для n = k. По предположениюиндукции Sk−1 = ξ1 +. . .+ ξk−1 имеет распределение Γα, k−1 , т. е. плотностьраспределения величины Sk−1 равнаесли x 6 0, 0,fSk−1 (x) =αk−1xk−2 e−αx , если x > 0.(k − 2)!Тогда по формуле свёртки плотность суммы Sk = ξ1 + .

. . + ξk равна∞∞ZZαk−1fSk (x) =fSk−1 (u)fξk (x − u) du =uk−2 e−αu fξk (x − u) du.(k − 2)!−∞080ГЛАВА 8. Многомерные распределенияТак как fξk (x − u) = 0 при x − u < 0, т. е. при u > x, то плотность подинтегралом отлична от нуля, только если переменная интегрирования изменяется в пределах 0 6 u 6 x при x > 0.

При x 6 0 подынтегральнаяфункция, а вместе с ней и плотность fSk (x), равна нулю. При x > 0 имеем:Zx k−1ααkfSk (x) =uk−2 e−αu α e−α(x−u) du =xk−1 e−αx .(k − 2)!(k − 1)!0Поэтому Sk ⊂ Γα, k , что и требовалось доказать.Пример 37. Равномерное распределение не является устойчивым относительно суммирования. Найдём функцию и плотность распределениясуммы двух независимых случайных величин с одинаковым равномерным наотрезке [0, 1] распределением, но не по формуле свёртки, а используя геометрическую вероятность.= UПусть ξ1 , ξ2 ⊂0, 1 — независимые случайные величины. Пару (ξ1 , ξ2 )можно считать координатой точки, брошенной наудачу в единичный квадрат.

Тогда Fξ1 + ξ2 (x) = P(ξ1 + ξ2 < x) равна площади области внутри квадрата под прямой x2 = x − x1 . Эта область — заштрихованные треугольникпри 0 < x 6 1, и пятиугольник при 1 < x 6 2. Окончательно получаем:0,x 6 0;6x6 21 @@x /2,0 < x 6 1; 1Fξ1 + ξ2 (x) =@2x − x2 /2 − 1, 1 < x 6 2; x@@1,x > 2.@@11Плотность распределения суммы равнаx 6∈ (0, 2);0,fξ1 + ξ2 (x) = x,0 < x 6 1;2 − x, 1 < x 6 2.=Это — плотность так называемого «треугольного» распределения Симпсона. Мы видим, что равномерное распределение не обладает устойчивостьюотносительно суммирования.ГЛАВА 9Числовые характеристики распределенийЕсли я имею одинаковые шансы на получение a или b, тоцена моему ожиданию равна (a + b)/2.Христиан Гюйгенс.

О расчётах в азартной игре§ 1. Математическое ожидание случайной величиныОпределение 42. М а т е м а т и ч е с к и м о ж и д а н и е м E ξ (среднимзначением, первым моментом) случайной величины ξ с дискретным распределением, задаваемым таблицей P(ξ = ai ) = pi , где i ∈ Z, называетсячислоXXEξ =ai pi =ai P(ξ = ai ),iiPесли данный ряд абсолютно сходится, т.

е. если |ai |pi < ∞. В противномслучае говорят, что математическое ожидание не существует.Определение 43. М а т е м а т и ч е с к и м о ж и д а н и е м E ξ (среднимзначением, первым моментом) случайной величины ξ с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения fξ (x) называетсячисло∞ZEξ =xfξ (x) dx,−∞если этот интеграл абсолютно сходится, т. е.

если∞R|x|fξ (x) dx < ∞.−∞В противном случае математическое ожидание не существует.Математическое ожидание имеет простой физический смысл: еслина прямой разместить единичную массу, поместив в точки ai массу pi (длядискретного распределения), или «размазав» её с плотностью fξ (x) (дляабсолютно непрерывного распределения), то точка E ξ будет координатой«центра тяжести» прямой.82ГЛАВА 9. Числовые характеристики распределенийПример 38. Пусть случайная величина ξ равна числу очков, выпадающих при одном подбрасывании кубика. ТогдаEξ =6Xk·k=111= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5.66В среднем при одном подбрасывании кубика выпадает 3,5 очка.Пример 39.

Пусть случайная величина ξ — координата точки, брошенной наудачу на отрезок [a, b]. ТогдаbZbb2 − a21x2 a+b=Eξ = x ·dx ==b−a2(b − a) a2(b − a)2aЦентр тяжести равномерного распределения есть середина отрезка.§ 2. Свойства математического ожиданияВо всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.E1.

Для произвольной борелевской функции g : R → RP g(ak )P(ξ = ak ), если распределение ξ дискретно;kE g(ξ) = ∞Rg(x)fξ (x) dx, если распределение ξ абсолютно непрерывно.−∞Доказательство. Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пусть g(ξ) принимает значения c1 , c2 , .

. . с вероятностямиXP(g(ξ) = cm ) =P(ξ = ak ) .k: g(ak )=cmТогдаE g(ξ) =Xcm P(g(ξ) = cm ) =m=XXmXm k: g(ak )=cmcmXP(ξ = ak ) =k: g(ak )=cmg(ak ) P(ξ = ak ) =Xg(ak ) P(ξ = ak ) .kСледствие 10. Математическое ожидание ξ существует тогдаи только тогда, когда E |ξ| < ∞.Доказательство. Условием существование математического ожидания является абсолютная сходимость ряда или интеграла в определениях42 и 43. По свойству (E1) это и есть условие E g(ξ) < ∞ при g(x) = |x|.ГЛАВА 9.

Числовые характеристики распределений83E2. Математическое ожидание постоянной равно ей самой: E c = c.E3. Постоянную можно вынести за знак математического ожидания:E (c ξ) = c E ξ.Доказательство. Следует из свойства (E1) при g(x) = c x.E4. Математическое ожидание суммы л ю б ы х случайных величин равносумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют:E (ξ + η) = E ξ + E η.Доказательство. Пусть случайные величины ξ и η имеют дискретные распределения со значениями xk и yn соответственно. Для борелевскойфункции g : R2 → R можно доказать свойство, аналогичное (E1) (сделатьэто). Воспользуемся этим свойством для g(x, y) = x + y:XE (ξ + η) =(xk + yn )P(ξ = xk , η = yn ) ===k, nXkXkxkXP(ξ = xk , η = yn ) +nxk P(ξ = xk ) +XnXynXP(ξ = xk , η = yn ) =kyn P(η = yn ) = E ξ + E η.nE5. Если ξ > 0 п.

н., т. е. если P(ξ > 0) = 1, то E ξ > 0.Упражнение. Доказать для дискретного и для абсолютно непрерывного распределений.Замечание 19. Сокращение «п. н.» читается как «почти наверное» и означает «с вероятностью 1». По определению, математическое ожидание — это числоваяхарактеристика р а с п р е д е л е н и я. Распределение же не изменится от измененияслучайной величины на множестве нулевой вероятности. Поэтому, например, дажеесли ξ(ω) > 0 не при всех ω, а на множестве единичной вероятности, математическое ожидание ξ всё равно неотрицательно.E6. Если ξ > 0 п. н., и при этом E ξ = 0, то ξ = 0 п. н., т.

Характеристики

Список файлов книги