Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Построить какую-нибудь вероятность на множестве натуральных чисел как на дискретном пространстве элементарных исходов.2. Вероятность события A равна нулю. Верно ли, что тогда A — невозможное событие?3. Являются ли события «выпал герб при первом броске монеты» и«выпал герб при втором броске монеты» несовместными?ли алгеброй набор множеств 4. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4}. Является∅, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {2} ?5. Задать какую-нибудь алгебру на множестве Ω = {0, 1, .
. . , 10}.6. Пусть Ω = {1, 2}. На множестве 2Ω задана функция: µ{1, 2} == 3, µ{1} = 1, µ{2} = 1. Является ли µ мерой?7. Задать какую-нибудь вероятностную меру на множестве всех подмножеств множества Ω = {0, 1, . . . , 10}.8. Является ли σ-алгеброй декартово произведение B(R) × B(R) двухборелевских σ-алгебр?9. Принадлежит ли множество Q рациональных чисел σ-алгебре, порождённой множеством всех одноточечных подмножеств R?10. На борелевской σ-алгебре в R задана функция: µ(B) = 1 для любогоB. Является ли µ вероятностной мерой?11.
Пусть функция µ на множестве 2R задана так: µ(B) = 1, если 0 ∈ B,и µ(B) = 0, если 0 6∈ B. Является ли функция µ мерой на множестве всехподмножеств R?12. Привести пример какой-нибудь меры, отличной от меры Лебега, наσ-алгебре B(R) борелевских множеств на прямой.См. определения 28, 29, 30 и т.д.13. Доказать, что если P(Ai ) = 0 для всех i = 1, 2, . . ., то[\∞∞PAi = 0 и PAi = 0.i=1i=1См. свойства вероятности 4 (стр.
30) и 7 (стр. 31).132ЗАДАЧИ14. Доказать, что если P(Ai ) = 1 для всех i = 1, 2, . . ., то[\∞∞PAi = 1 и PAi = 1.i=1i=1См. свойства вероятности 4 (стр. 30) и 7 (стр. 31).15. Найти количество всех 2005-значных чисел, в записи которых используются все цифры от 1 до 9, но никакие соседние цифры в записи этихчисел не совпадают.См. формулу включения-исключения (стр. 31).16. Найти вероятность того, что при раздаче колоды в 52 карты четверымигрокам поровну хотя бы у одного из игроков соберутся все карты одноймасти.См.
формулу включения-исключения (стр. 31).17. Доказать, что {4} является борелевским множеством.18. Доказать, что [1, 2] является борелевским множеством.19. Доказать, что канторовское совершенное множество является борелевским множеством.См. определения 13 и 11.20. Могут ли два независимых события образовать полную группу событий?21.
Из полной колоды карт вынимают одну. Будут ли независимыми события «вынутая карта — король» и «вынутая карта — туз»?22. Что означает независимость в совокупности событий A, B, C и D?23. Следует ли из равенстваP(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C)независимость событий A, B и C в совокупности?24. Следует ли из того же равенства попарная независимость A, B, C?25. Пусть hΩ, F, Pi = h[0, 1], B([0, 1]), λi, где λ — мера Лебега.
Построить на этом вероятностном пространстве три случайных величины с равномерными на [0, 1] распределениями.26. Пусть Ω = [0, 1], F = 2Ω , ξ(ω) = ω. Задать вероятностную меру Pтак, чтобы функция ξ оказалась случайной величиной с вырожденным распределением.27. Пусть Ω = [0, 1], F = 2Ω , ξ(ω) = ω. Задать вероятностную меру P так,чтобы функция ξ оказалась случайной величиной с распределением Бернулли.28. Привести пример вероятностного пространства и на нем трёх независимых попарно, но зависимых в совокупности случайных величин.ЗАДАЧИ13329.
Доказать, что случайная величина с вырожденным распределениемнезависима с любой другой случайной величиной.30. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина η равна знаку ξ. Проверить, независимы лислучайные величины |ξ| и η.31. Доказать, что из независимости в совокупности n случайных величинследует их попарная независимость.32. Доказать, что случайные величины ξ и η независимы тогда и толькотогда, когда для любых двух борелевских функций f и g независимы случайные величины f (ξ) и g(η).33. Может ли какое-нибудь из стандартных дискретных распределенийбыть устойчивым относительно: а) умножения на некоторую постоянную?б) умножения на произвольную постоянную? в) произвольного линейногопреобразования?Здесь устойчивость — сохранение того же вида распределения.34.
Какие из стандартных абсолютно-непрерывных распределенийустойчивы относительно: а) умножения на некоторую постоянную? б)умножения на произвольную постоянную? в) произвольного линейногопреобразования?35. Привести пример случайных величин ξ и η с одинаковым нормальнымраспределением, сумма которых имеет вырожденное распределение.36. Привести пример случайных величин ξ и η с пуассоновскими распределениями, сумма которых имеет распределение, отличное от пуассоновского.37. Привести пример случайных величин ξ и η с пуассоновскими распределениями с параметрами λ 6= µ, сумма которых имеет распределение, отличное от пуассоновского.См.
пример 55.= N= N38. Пусть ξ ⊂1,9 и η ⊂1,1 — независимые случайные величины. Какое распределение имеет ξ − η ?39. Когда возможно равенство E |ξ| = 0?40. Пусть четвёртый момент случайной величины ξ конечен, и имеет место равенство E ξ2 = E ξ3 = E ξ4 . Доказать, чтоP(ξ = 0) + P(ξ = 1) = 1.Распределение Бернулли, и только оно, обладает свойством ξ2 = ξ .41. Привести пример случайной величины с дискретным распределением, у которой существует первый момент, но не существует дисперсия.42. Сравнить E (ξ4 ) и (E ξ)4 .134ЗАДАЧИ43.
Привести пример случайной величины с абсолютно непрерывнымраспределением, у которой существует второй момент, но не существуеттретий.44. Привести пример случайных величин ξ и η таких, что E (ξ + η) существует, но ни E ξ, ни E η не существуют.45. Привести пример случайных величин ξ и η таких, что E ξ и E η существуют, но не существует E (ξη).46. Привести пример одинаково распределённых случайных величин ξ,η и ζ таких, что все три величины ξ + η, ξ + ζ и η + ζ имеют различныераспределения.Достаточно, если каждая будет принимать три значения.47.
Привести пример одинаково распределённых случайных величин ξ иη таких, что величиныξξ+ηиηξ+ηимеют разные распределения.48. Привести пример, показывающий что для одинаково распределённыхηξ= E, даже если этислучайных величин ξ и η не обязательно Eηξматематические ожидания существуют.49. Привести пример, показывающий, что следующее утверждениеневерно: «Для любых унимодальных распределений медиана всегда лежитмежду математическим ожиданием и модой».Попробуйте распределение с плотностью fξ (t) = pβeβt при t < 0 и fξ (t) == (1 − p)αe−αt при t > 0, где 0 < p < 1, α > 0, β > 0 — параметры.50. Привести пример того, что в ЗБЧ Хинчина существенно условиенезависимости.ξ + .
. . + ξn51. Проверить, имеет ли место сходимость 1к нулю по вероnятности для последовательности ξ1 , ξ2 , . . . независимых случайных величинсо стандартным распределением Коши.52. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — последовательность независимых и одинаковораспределённых случайных величин с невырожденным распределением.Доказать, что не существует случайной величины ξ, к которой данная последовательность сходилась бы по вероятности. Сходится ли эта последовательность по распределению?53. Доказать, что в условиях ЦПТ последовательностьSn − nE ξ1√неnDξ1сходится по вероятности ни к какой случайной величине.Рассмотрите отдельно и вместе сумму первых и следующих n слагаемых.Предметный указательАбсолютно непрерывноераспределение, 50совместное распределение, 71Алгебра, 22тривиальная, 23Атом, 50Бернуллизакон больших чисел, 108распределение, 53схема, 39формула, 40Берри — Эссеена неравенство, 117Биномиальное распределение, 40, 54дисперсия, 88математическое ожидание, 88характеристическая функция, 120Борелевскаяσ-алгебра, 25функция, 65Бюффона задача об игле, 19Вероятностиаксиомы, 29свойства, 30Вероятностное пространство, 29Вероятность, 29апостериорная, 38априорная, 38геометрическая, 18классическая, 14условная, 34Вложенные шары, 28Выборбез возвращения, 7, 8без учёта порядка, 7–9с возвращением, 7, 9с учётом порядка, 7–9Вырожденное распределение, 53дисперсия, 87математическое ожидание, 87Гамма-распределение, 57характеристическая функция, 121Гамма-функция Эйлера, 57Гаусса распределение, 56Геометрическая вероятность, 18Геометрическое распределение, 40, 54дисперсия, 88математическое ожидание, 88Гипергеометрическое распределение, 16, 54дисперсия, 96математическое ожидание, 96Дискретное пространство элементарных исходов, 13Дискретное распределение, 50Дисперсия, 84разности, 87распределенияБернулли, 87биномиального, 88геометрического, 88гипергеометрического, 96Коши, 90нормального, 89Парето, 90Пуассона, 88показательного, 90равномерного, 89стандартного нормального, 89суммы, 87, 91суммы n слагаемых, 92Достоверное событие, 12ЗадачаБюффона об игле, 19о встрече, 19о рассеянной секретарше, 32Закон больших чисел, 106Бернулли, 108Маркова, 107Хинчина, 107, 125Чебышёва, 106Игла Бюффона, 19136ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬИзмеримая функция, 46Индикатор события, 104Интеграл Пуассона, 56Кантора лестница, 63Квантильное преобразование, 68Классическая вероятность, 14Ковариация, 91Конечное множество, 13Коши распределение, 58Коэффициент корреляции, 93свойства, 94абсолютный, 84абсолютный центральный, 84центральный, 84факториальный, 89Муавра — Лапласа теорема, 116Невозможное событие, 12Независимостьиспытаний, 39случайных величинв совокупности, 75попарная, 75событий, 34Лестница Кантора, 63в совокупности, 36попарная, 36Максимума распределение, 127Неизмеримое множество, 20, 65Математическое ожиданиеабсолютно непрерывного распределе- Непрерывность меры, 28Неравенствония, 81Берри — Эссеена, 117дискретного распределения, 81Йенсена, 85постоянной, 83Маркова, 104произведения, 84Чебышёва, 105распределенияобобщённое, 105Бернулли, 87Несовместные события, 13биномиального, 88Номер первого успеха, 40геометрического, 88Нормальное распределение, 56гипергеометрического, 96дисперсия, 89Коши, 90математическое ожидание, 89нормального, 89свойства, 63Парето, 90характеристическая функция, 122Пуассона, 88показательного, 90Объединение событий, 12равномерного, 89Определение вероятностистандартного нормального, 89геометрическое, 18суммы, 83классическое, 15Мера, 27вероятностная, 29ПаретоЛебега, 28распределение, 58нормированная, 29Пересечение событий, 13минимальная σ-алгебра, 25Перестановка, 8Минимума распределение, 127ПлотностьМножествораспределения, 50Витали, 20, 65распределения суммы, 77всех подмножеств, 23совместного распределения, 71конечное, 13Показательное распределение, 55неизмеримое, 20дисперсия, 90пустое, 12математическое ожидание, 90счётное, 13характеристическая функция, 121Модуль комплексного числа, 120Полиномиальное распределение, 42МоментПолная группа событий, 37первый, 81Попарно несовместные события, 13порядка k, 84Правило трёх сигм, 64, 105ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬПримерБернштейна, 36Пространство элементарных исходов, 11дискретное, 13Противоположное событие, 13Пуассонаинтеграл, 56приближение, 44распределение, 44, 54Пустое множество, 12Равномерное распределение, 55дисперсия, 89математическое ожидание, 89Разбиение пространства элементарных исходов, 37Размещение, 8Распределение, 17Бернулли, 53моменты, 87характеристическая функция, 120биномиальное, 40, 54моменты, 88характеристическая функция, 120вектораабсолютно непрерывное, 71дискретное, 70вырожденное, 53моменты, 87Гаусса, 56гамма, 57характеристическая функция, 121геометрическое, 40, 54моменты, 88гипергеометрическое, 16, 54моменты, 96Коши, 58моменты, 90максимума, 127маргинальное, или частное, 70минимума, 127многомерное нормальное, 73нормальное, 56моменты, 89свойства, 63характеристическая функция, 122Парето, 58моменты, 90Пуассона, 44, 54моменты, 88характеристическая функция, 121137показательное, 55моменты, 90характеристическая функция, 121полиномиальное, 42равномерное, 55моменты, 89равномерное в области, 72корреляция координат, 96Симпсона, 80случайной величины, 49абсолютно непрерывное, 50дискретное, 50сингулярное, 52смешанное, 52совместное, 69стандартное нормальное, 57моменты, 89характеристическая функция, 121числа успехов, 40экспоненциальное, 55моменты, 90характеристическая функция, 121Свойствонепрерывности меры, 28нестарениягеометрического распределения, 40показательного распределения, 56отсутствия последействиягеометрического распределения, 40показательного распределения, 56σ-алгебра, 23борелевская, 25минимальная, 25Сингулярное распределение, 52Случайная величина, 46Случайные величинынезависимыев совокупности, 75попарно, 75некоррелированные, 95отрицательно коррелированные, 95положительно коррелированные, 95Смешанное распределение, 52Событие, 11, 22, 27достоверное, 12невозможное, 12противоположное, или дополнительное,13Событиявложенные, 13138ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬнезависимые, 34в совокупности, 36попарно, 36несовместные, 13попарно несовместные, 13Сочетание, 8Среднее значение, 81Среднеквадратическое отклонение, 85Стандартное нормальное распределение, 57дисперсия, 89математическое ожидание, 89характеристическая функция, 121Статистическая устойчивость, 11Схема Бернулли, 39Сходимостьмоментов, 101по вероятности, 100свойства, 101по распределению, 111почти наверное, 99слабая, 111свойства, 111Счётная аддитивностьвероятности, 29меры, 27Счётное множество, 13Таблицараспределения, 50совместного распределения, 70Теоремазакон больших чиселБернулли, 108Маркова, 107Хинчина, 107, 125Чебышёва, 106Лебега, 52Леви, 124Муавра — Лапласа, 116неравенство Берри — Эссеена, 117о вложенных шарах, 28о двойном пределе, 113о непрерывном соответствии, 124о перемножении шансов, 6Пуассона, 44с оценкой точности, 45предельная для гипергеометрическогораспределения, 43умножения вероятностей, 34ЦПТ Ляпунова, 115, 126центральная предельная, 115, 126Тривиальная алгебра, 23Урновая схема, 7Условная вероятность, 34Устойчивость по суммированиюбиномиального распределения, 79гамма-распределения, 79нормального распределения, 79распределения Пуассона, 79Факториальный момент, 89ФормулаБайеса, 37Бернулли, 40включения-исключения, 31обратного преобразования Фурье, 122полной вероятности, 37свёртки, 77Эйлера, 120Функцияборелевская, 65измеримая, 46по Борелю, 65распределения, 53вектора, 69свойства, 59совместного распределения, 69характеристическая, 120свойства, 122Характеристическая функция, 120свойства, 122Центральная предельная теорема, 115, 126Числоперестановок, 8размещений, 8сочетаний, 8Экспоненциальное распределение, 55дисперсия, 90математическое ожидание, 90характеристическая функция, 121Элементарный исход, 11Литература1.2.3.4.Г н е д е н к о Б.
В. Курс теории вероятностей. М., 1988.Ч и с т я к о в В. П. Курс теории вероятностей. М., 1982.Б о р о в к о в А. А. Теория вероятностей. М., 1986.К о л е м а е в В. А., К а л и н и н а В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Инфра-М, 1997.5. К о р ш у н о в Д. А., Ф о с с С. Г. Сборник задач и упражнений по теориивероятностей. Новосибирск, 1997.6. С е в а с т ь я н о в Б.
А., Ч и с т я к о в В. П., З у б к о в А. М. Сборник задач по теории вероятностей. М., 1986.7. В е н т ц е л ь Е. С., О в ч а р о в Л. А. Теория вероятностей (Избранныеглавы высшей математики для инженеров и студентов втузов, задачи иупражнения). М., 1973..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
