Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Нужно доказать, что Fξn (xn ) → Fξ (−∞) = 0.По определению, xn → −∞ с ростом n, если для всякого M > 0 найдётся номер N такой, что для всех n > N выполнено неравенство: xn 6 −M .В силу монотонности функций распределения, 0 6 Fξn (xn ) 6 Fξn (−M ).В точке −M , как и в любой иной точке, имеет место сходимость функцийраспределения Fξn (−M ) → Fξ (−M ). Выбором M величина Fξ (−M ) можетбыть сделана сколь угодно близкой к нулю. Тем самым верхний предел последовательности Fξn (xn ) оказывается зажат между нулём и сколь угодномалой величиной, т. е.
равняется нулю.Случай x0 = +∞ проверяется аналогично.Несколько содержательных примеров слабой сходимости мы рассмотрим в следующей главе. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа р а с п р е д е л е н и й с у м м независимых и одинаковораспределённых случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема.§ 3. Центральная предельная теоремаМы будем называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова21 », носформулируем и докажем теорему Ляпунова только в частном случае — дляпоследовательности независимых и одинаково распределённых случайныхвеличин.
Как и ранее, через Sn обозначена сумма первых n случайных величин в последовательности: Sn = ξ1 + . . . + ξn .21 АлександрМихайлович Ляпунов (6.06.1857 — 3.11.1918)ГЛАВА 12. Центральная предельная теорема115Теорема 38 (Ц П Т Л я п у н о в а ). Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимыеи одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: 0 < D ξ1 < ∞.
Тогда имеет место слабая сходимостьS n − n E ξ1√⇒ N0,1n D ξ1последовательности центрированных и нормированных сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению.Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости и заметив,что функция распределения Φa,σ2 (x) любого нормального закона непрерывна всюду на R (почему?), утверждение ЦПТ можно сформулировать любымиз следующих способов:Следствие 20. Пусть ξ1 , ξ2 , . . .
— независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией.Тогда выполнены утверждения:а) для любых вещественных x < y при n → ∞ имеет место сходимостьZy21Sn − n E ξ16 y → Φ0,1 (y) − Φ0,1 (x) = √ e−t /2 dt;P x6 √n D ξ12πxб) если η — произвольная случайная величина со стандартнымнормальным распределением, тоp√SnS n − n E ξ1= N√n− E ξ1 =⇒ D ξ1 · η ⊂0,D ξ1 .nnЗамечание 28. Еще раз напомним, что функция распределения стандартногонормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либос помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахожденияпервообразной.Мы докажем ЦПТ и ЗБЧ в форме Хинчина несколькими главами позднее.
Нам потребуется для этого познакомиться с мощным математическиминструментом, который в математике обычно называют «преобразованиямиФурье», а в теории вероятностей — «характеристическими функциями».§ 4. Предельная теорема Муавра — ЛапласаПолучим в качестве следствия из ЦПТ предельную теорему Муавра22 —Лапласа23 . Подобно ЗБЧ Бернулли, теорема Муавра — Лапласа имеет дело со схемой Бернулли.22 Abrahamde Moivre (26.05.1667 — 27.11.1754, France, England)Laplace (23.03.1749 — 5.03.1827, France)23 Pierre-Simon116ГЛАВА 12.
Центральная предельная теоремаТеорема 39 (п р е д е л ь н а я т е о р е м а М у а в р а — Л а п л а с а).Пусть событие A может произойти в любом из n независимыхиспытаний с одной и той же вероятностью p и пусть νn (A) — числоосуществлений события A в n испытаниях. Тогдаν (A) − nppn⇒ N0,1 при n → ∞,np(1 − p)т. е. для любых вещественных x < y имеет место сходимость!Zy2νn (A) − np1P x6 p6 y → Φ0,1 (y) − Φ0,1 (x) = √ e−t /2 dt;2πnp(1 − p)xДоказательство.
Величина νn (A) есть сумма независимых, одинаково распределённых случайных величин, имеющих распределение Бернуллис параметром, равным(вероятности успеха p: νn (A) = ξ1 + . . . + ξn , где1, если A произошло в i-м испытании;ξi = Ii (A) =0, если A не произошло в i-м испытании;E ξ1 = p,D ξ1 = p(1 − p).Осталось воспользоваться ЦПТ.§ 5. Примеры использования ЦПТПример 63. Задача из примера 61. Монета подбрасывается 10 000 раз.Оценим вероятность того, что частота выпадения герба отличается от половины на одну сотую или больше.1νР е ш е н и е .
Требуется найти P n − > 0,01 , где n = 10 000,n2νn = ξ1 + . . . + ξn = Sn — число выпадений герба, а ξi — независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Вычислим вероятность дополнительного√ события. Домножимn = 100 и поделим наобе части неравенстваподзнакомвероятностина√корень из дисперсии D ξ1 = 1/2. √ √ νn1 n Snn=P − < 0,01 = P √− E ξ1 < 0,01 √n2D ξ1 nD ξ1 √ n SnSn − nE ξ1=P √− E ξ1 < 2 = P −2 < √<2 ≈D ξ1 nnD ξ1≈ Φ0,1 (2) − Φ0,1 (−2) = 1 − 2Φ0,1 (−2) = 1 − 2 · 0,0228 = 1 − 0,0456.Искомая вероятность примерно равна 0,0456: νn νn1P − > 0,01 = 1 − P −n2n1 <0,01≈ 0,0456.2ГЛАВА 12.
Центральная предельная теорема117Центральной предельной теоремой пользуются для приближённого вычисления вероятностей, связанных с суммами большого числа независимыхи одинаково распределённых величин. При этом распределение центрированной и нормированной суммы заменяют на стандартное нормальное распределение. Насколько велика ошибка при такой замене (погрешность приближения)?Упражнение. Какие ещё предельные теоремы для схемы Бернулли вы знаете? Что такое теорема Пуассона? Найти её.
Какова погрешность пуассоновскогоприближения? Вычислить её. Объяснить, исходя из полученной величины, почемутеорема Пуассона не применима в задаче из примера 63.В примере 63 мы вычислили искомую вероятность тоже не точно, а приближённо — взгляните на равенство «≈» и спросите себя: насколько мыошиблись? Стоит ли доверять ответу «0,0456»? Следующий результат позволяет оценить погрешность приближения в ЦПТ.Теорема 40 (н е р а в е н с т в о Б е р р и — Э с с е́ е н а).
В условияхЦПТ для любого x ∈ R и для любого распределения ξ1 3E |ξ1 − E ξ1 | P Sn√− n E ξ1 < x − Φ0,1 (x) 6 C · √√3.n D ξ1n D ξ1Замечание 29. Про постоянную C известно, что:а) в общем случае C не превышает 0,7655,б) погрешность приближения наиболее велика, если слагаемые ξi имеют распределение Бернулли. Как показывают численные расчёты, даже в этом случае можно смело брать в качестве C число 0,4, особенно при малых n, когда и это значениепостоянной даёт слишком грубую оценку.Подробный обзор можно найти в монографии В.М.Золотарева «Современнаятеория суммирования независимых случайных величин», стр. 264–291.П р о д о л ж е н и е п р и м е р а 63.
Проверьте, что для с.в. ξ1 с распределением Бернулли333E |ξ1 − E ξ1 | = |0 − p| P(ξ1 = 0) + |1 − p| P(ξ1 = 1) = pq(p2 + q 2 ).Поэтому разница между левой и правой частями приближённого равенства«≈» в примере 63 при n = 104 и p = q = 1/2 не превышает величиныpq(p2 + q 2 )p2 + q 21C·√√ 3 = C · √n √pq 6 0,4 · 100 = 0,004,npq pq1νтак что искомая вероятность P n − > 0,01 не больше, чем 0,0456 +n2+0,004. Уместно сравнить этот ответ с оценкой, полученной с помощью ЗБЧв примере 61.118ГЛАВА 12. Центральная предельная теоремаСледующая проблема связана с распространённейшим среди студентовзаблуждением, которое выглядит так: при n → ∞SnP< E ξ1 → P (E ξ1 < E ξ1 ) = 0,nно ужеSn6 E ξ1 → P (E ξ1 6 E ξ1 ) = 1.PnПример 64.
Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией σ2 = D ξ1 ,Sn = ξ1 + · · · + ξn — сумма первых n случайных величин. При каких c имеет или не имеет место сходимостьSnP< c → P (E ξ1 < c) ?nР е ш е н и е. Согласно ЗБЧ, последовательность Sn / n сходится по вероятности, а, следовательно, и слабо, к E ξ1 .Слабая сходимость означает, что последовательность функций распределения Fn (c) = P (Sn / n < c) сходится к функции распределения F (c) == P (E ξ1 < c), если F (x) непрерывна в точке c (и ничего не означает, еслиF (x) разрывна в точке c). Но(0, c 6 E ξ1 ;F (c) = P (E ξ1 < c) =1, c > E ξ1есть функция распределения вырожденного закона и непрерывна в любойточке c, кроме c = E ξ1 .Итак, первый вывод: сходимость P (Sn / n < c) → P (E ξ1 < c) имеет место для любого c, кроме, возможно, c = E ξ1 .Убедимся, что для c = E ξ1 такой сходимости быть не может. СогласноЦПТ,√ Sn1n SnP< E ξ1 = P− E ξ1 < 0 → Φ0,1 (0) = ,nσn2тогда как P (E ξ1 < E ξ1 ) = 0 6= 1/2.
Аналогично, кстати, ведёт себя и вероятность P (Sn / n 6 E ξ1 ). Она тоже стремится к 1/2, а нек P (E ξ1 6 E ξ1 ) = 1. Совершенно, кстати, понятно появление 1/2 в пределе. Согласно ЦПТ, разность Sn / n − E ξ1 становится при больших n всёболее и более симметрично распределённой относительно нуля.И изящное упражнение на ту же тему.ГЛАВА 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
