Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Центральная предельная теорема119Упражнение. Доказать, что0,999999nZlimn→∞1y n−1 e−y dy = 0;(n − 1)!0Znlimn→∞11y n−1 e−y dy = ;(n − 1)!201,000001nZlimn→∞1y n−1 e−y dy = 1.(n − 1)!0У к а з а н и е. Каждый из интегралов равен значению в некоторойточке функции распределения суммы независимых случайных величин с каким-то показательным распределением. Вспомнить, что такоегамма-распределение и «устойчивость относительно суммирования».Пример 65. Пусть ξ1 , ξ2 , . . .
— последовательность независимых иодинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсиейD ξ1 = σ2 > 0. Докажем, что для любых вещественных чисел a < blim P(a 6 Sn 6 b) = 0.n→∞Преобразуем событие под знаком вероятности: a − nE ξS − nE ξb − nE ξ1 √ 1 6 n √ 1 6√P(a 6 Sn 6 b) = P.σ nσ nσ n√По ЦПТ последовательность (Sn − nE ξ1 ) / (σ n) слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Предельная функция распределения всюду непрерывна, и можно применять теорему 37.a − nE ξ1b − nE ξ1√√и yn =стремятся к −∞σ nσ nс ростом n. Если E ξ1 < 0, то xn → +∞ и yn → +∞.
Если же E ξ1 = 0, тоЕсли E ξ1 > 0, то xn =xn → 0 и yn → 0 при n → ∞. По теореме 37,Sn − nE ξ1√P xn 66 yn → Φ0, 1 lim yn − Φ0, 1 lim xn = 0,n→∞n→∞σ nпоскольку при любой величине E ξ1 значения Φ0, 1 (x) в точках lim xn и lim ynсовпадают (либо оба равны нулю, либо оба равны единице, либо 1/2).Упражнение. Верно ли утверждение данного примера, если σ2 = 0, т. е. еслиξ1 имеет вырожденное в точке c распределение? Рассмотрите отдельно случаи c = 0и c 6= 0.Г Л А В А 13Характеристические функцииЯ напрямик спросил, какую пользу можно извлечь от изучения его работ о покере. «Примерно такую же, как от чтения персидской поэзии»,— ответил фон Нейман.Д.
Мак-Дональд, Игра называется бизнес√В этой главе i = −1 — мнимая единица, t — вещественная переменная, eit = cos t + i sin t — формула Эйлера, E (η + iζ) = E η + i E ζ — способ вычисления математического ожидания комплекснозначной случайнойвеличины η + iζ, если математические ожидания её действительной (η) имнимой (ζ) частей существуют.Как всегда, модулемp it комплексного числа z = x + iy называется |z| =22= x + y , так что e = 1.Определение 54. Функция ϕξ (t) = E eitξ вещественной переменной tназывается х а р а к т е р и с т и ч е с к о й ф у н к ц и е й случайной величины ξ.§ 1. Примеры вычисленияПример 66. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром p. Её характеристическая функция равнаϕξ (t) = E eitξ = eit·0 P(ξ = 0) + eit·1 P(ξ = 1) = 1 − p + peit .Пример 67.
Пусть случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p. Её характеристическая функция равнаϕξ (t)= E eitξ =nXeit·k P(ξ = k) =k=0=nXCnk peitnXn−keit·k Cnk pk (1 − p)k=0kn−k(1 − p)= 1 − p + peitk=0Последнее равенство есть бином Ньютона.n.=ГЛАВА 13. Характеристические функции121Пример 68. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ. Её характеристическая функция равна= E eitξ =ϕξ (t)∞Xeit·k P(ξ = k) =eit·kk=0k=0∞Xλeit= e−λk!∞Xkλkk!e−λ =it= e−λ eλe = exp{λ eit − 1 }.k=0Пример 69.
Пусть случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром α > 0. Её характеристическая функция равна∞∞∞ZZZitξit·xitx−αxϕξ (t) = E e = efξ (x) dx = e αedx = αe−x(α−it) dx ==0αα − it0∞ −e−x(α−it) =0αα − it0,посколькупри x → +∞ модуль величины e−x(α−it) = e−αx eitx стремится −x(к нулю: e α−it) = e−αx → 0.Пример 70. Пусть случайная величина ξ имеет гамма-распределение спараметрами α и λ. Её характеристическая функция равна∞∞ZZαλϕξ (t) = E eitξ = eit·x fξ (x) dx = eitxxλ−1 e−αx dx =Γ(λ)=α∞Zλ00λ−1xΓ(λ)−x(α−it)eαdx =α − itλ1−=itα−λ.0Интеграл мы вычислили с помощью гамма-функции: замена y = x(α − it)даёт∞∞ZZ1Γ(λ)λ−1 −x(α−it)xedx =y λ−1 e−y dy =.λλ(α − it)(α − it)00Пример 71. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение.
Её характеристическая функция равна∞∞ZZ2211itx −x2 /2ϕξ (t) = √e edx = √e−t /2 e−(x−it) /2 dx =2π2π−∞2= e−t/21√2π−∞∞Ze−(x−it)−∞2/22d(x − it) = e−t/2.122ГЛАВА 13. Характеристические функцииПри интегрировании мы выделили полный квадрат в показателе экс21поненты и вспомнили, чему равен интеграл по R от функции √ e−u /22π(а чему он равен?).Самое время остановиться и спросить: «Ну и что? Зачем нам эти функции и какой от них прок?» Приглашаю читателя познакомиться с замечательными свойствами характеристических функций.§ 2.
Свойства характеристических функций(Ф1). Характеристическая функция всегда существует:|ϕξ (t)| = E eitξ 6 1.Доказательство. Воспользуемся свойством D η > 0, равносильным2неравенству E η 6 E η2 :222|ϕξ (t)|2 = E cos(tξ) + iE sin(tξ) = E cos(tξ) + E sin(tξ) 66 E cos2 (tξ) + E sin2 (tξ) = E cos2 (tξ) + sin2 (tξ) = E 1 = 1.(Ф2).
По характеристической функции однозначно восстанавливаетсяраспределение (функция распределения, плотность или таблица распределения). Т. е. если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих величин совпадают.Формулы, с помощью которых по характеристической функции восстанавливается распределение, в анализе называют формулами «обратногопреобразования Фурье». Например, если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой, то у случайной величины есть плотностьраспределения, и она находится по формуле∞Z1fξ (x) =e−itx ϕξ (t) dt.2π−∞Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится.(Ф3).
Характеристическая функция случайной величины a + bξ связанас характеристической функцией случайной величины ξ равенством:ϕa+bξ (t) = E eit(a+bξ) = eita E ei(tb)ξ = eita ϕξ (tb).Пример 72. Вычислим характеристическую функцию случайной величины ξ, имеющей нормальное распределение с параметрами a и σ2 .
Мы знаем, что у «стандартизованной» случайной величины η = (ξ − a)/ σ характе2ристическая функция равна ϕη (t) = e−t /2 . Тогда характеристическая функция величины ξ = a + ση равнаϕξ (t) = ϕa+ση (t) = eita ϕη (tσ) = eita e−(tσ)2/2.ГЛАВА 13. Характеристические функции123(Ф4). Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: еслислучайные величины ξ и η независимы, то, по свойству (E7) математическихожиданий,ϕξ+η (t) = E eit(ξ+η) = E eitξ E eitη = ϕξ (t) ϕη (t).Замечание 30. Чтобы характеристическая функция суммы n случайных величин распадалась в произведение их характеристических функций, попарной независимости слагаемых не хватит. То же самое можно сказать про свойство (E7) математических ожиданий.Замечательным свойством (Ф4) мы сразу же воспользуемся, как обещали, для доказательства леммы 5, утверждающей устойчивость нормальногораспределения относительно суммирования.= N=Доказательство л е м м ы 5.
Пусть ξ ⊂a1 , σ21 и η ⊂ Na2 , σ22 независимы. Характеристическая функция суммы ξ + η равнаita1 −t2 σ21 / 2 ita2 −t2 σ22 / 2ϕξ+η (t) = ϕξ (t) ϕη (t) = eeeeit(a1 +a2 ) −t2 (σ21 +σ22 )/2=ee.Видим, что характеристическая функция суммы есть характеристическаяфункция нормального распределения с параметрами a1 + a2 и σ21 + σ22 . Сле= Nдовательно, ξ + η ⊂a1 +a2 , σ21 +σ22 по свойству (Ф2).Доказательство л е м м 3, 4, 7.
Докажем свойства устойчивости посуммированию биномиального распределения, распределения Пуассона игамма-распределения, используя характеристические функции из примеров 66— 70.Для независимых случайных величин с распределениями Пуассона Πλи Πµ характеристическая функция суммыϕξ+η (t) = exp λ eit − 1exp µ eit − 1 = exp (λ + µ) eit − 1равна характеристической функции распределения Пуассона Πλ+µ .Для независимых случайных величин с биномиальными распределениями Bn,p и Bm,p характеристическая функция суммыnmn+mϕξ+η (t) = ϕξ (t) ϕη (t) = 1 − p + peit1 − p + peit= 1 − p + peitравна характеристической функции биномиального распределения с параметрами n + m и p.Для n независимых (в совокупности) случайных величин с показательным распределением Eα характеристическая функция суммы−n n α n itϕξ +...+ξ (t) = ϕξ (t)==1−1n1α − itαравна характеристической функции гамма-распределения Γα, n .124ГЛАВА 13.
Характеристические функции(Ф5.) Пусть существует момент порядка k ∈ N случайной величины ξ,т. е. E |ξ|k < ∞. Тогда характеристическая функция ϕξ (t) непрерывно дифференцируема k раз, и её k-я производная в н у л е связана с моментом порядка k равенством: kd(k)itξ = E ik ξk eitξ = ik E ξk .Eeϕξ (0) =d tkt=0t=0Существование и непрерывность k-й производной, равно как и законность переноса производной под знак математического ожидания мы доказывать не будем.Упражнение. Доказать, что для случайной величины ξ со стандартным нормальным распределением момент чётного порядка 2k равенE ξ2k = (2k − 1)!! = (2k − 1) · (2k − 3) · . . . · 3 · 1.Доказать по определению, что все моменты нечётных порядков стандартного нормального распределения существуют и равны нулю.Как только появились производные высших порядков, самое время разложить функцию в ряд Тейлора24 .(Ф6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
