Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для этого нужно заставить отрезокдлины 1 / n, на котором ξn (ω) = n7 , «бегать» по отрезку [0, 1], чтобы любая точкаω ∈ [0, 1] попадала внутрь этого отрезка бесконечное число раз, и, тем самым, длялюбого ω существовала подпоследовательность ξnk (ω) → ∞.Однако заметим, что если вероятности P(ξn = n7 ) сходятся к нулю достаточнобыстро (например, равны 1/n2 — чтобы ряд из них сходился), то сходимость п. н.
кнулю всегда имеет место (см. теорему 2 § 1 гл. 6 на стр. 134 учебника А. А. Боровкова«Теория вероятностей»).Сходимость по вероятности не обязательно сопровождается сходимоpстью математических ожиданий или моментов других порядков: из ξn −→ ξн е с л е д у е т, что E ξn → E ξ. Действительно, в примере 60 имеет местоpсходимость ξn −→ ξ = 0, но E ξn = n6 6→ E ξ = 0. При этом вообще последовательность E ξn неограниченно возрастает.А если вместо значения n7 взять n (с той же вероятностью 1/ n), то получим E ξn = 1 6→ E ξ = 0.
Но теперь хотя бы предел у последовательностиматематических ожиданий конечен.√Если же ξn принимает √значения 0 и n с теми же вероятностями, что ив примере 60, то E ξn = 1/ n → E ξ = 0, но уже вторые моменты сходитьсяко второму моменту ξ не будут: E ξ2n = 1 6→ E ξ2 = 0.Сходимость по вероятности обладает обычными свойствами пределовчисловых последовательностей — например, такими:ppСвойство 16.
Если ξn −→ ξ и ηn −→ η, то:pp1. ξn + ηn −→ ξ + η ;2. ξn · ηn −→ ξ · η .Д о к а з а т е л ь с т в о. При первом прочтении его можно пропустить.1. В доказательстве мы будем пользоваться свойством монотонности вероятности: если из события A следует событие B (A влечёт B), то вероятность A непревосходит вероятности B: если A ⊆ B, то P(A) 6 P(B).Остановимся и ответим на следующие «глупые вопросы». Верно ли, что:а) модуль суммы не превосходит суммы модулей?б) если a > b и c > a, то c > b?в) если a + b > 2, то хоть одно из чисел a, b больше единицы?г) вероятность объединения событий не превосходит суммы их вероятностей?д) вероятность пересечения событий не превосходит вероятности каждого?102ГЛАВА 11. Куда и как сходятся последовательности случайных величинЕсли на все вопросы вы ответили «да», можно двигаться дальше.
Если не навсе — ваш контрпример ошибочен. Если вы вообще не поняли, о чём это, лучше вернуться к началу курса.Докажем, что для сходимости по вероятности предел суммы равен сумме пределов. Зафиксируем ε > 0. Требуется доказать, что P(|ξn + ηn − ξ − η| > ε) → 0 приn → ∞. Но (ср. с вопросами выше):(а)|ξn + ηn − ξ − η| 6 |ξn − ξ| + |ηn − η|,поэтому(б)(в){|ξn +ηn −ξ−η| > ε} ⊆ {|ξn −ξ|+|ηn −η| > ε} ⊆ {|ξn −ξ| > ε/2}∪{|ηn −η| > ε/2}.Тогда по свойству монотонности вероятностиP(|ξn + ηn − ξ − η| > ε) (г)P |ξn − ξ| > ε/2 или |ηn − η| > ε/2 66(г)P(|ξn − ξ| > ε/2) + P(|ηn − η| > ε/2) → 06ppпри n → ∞ в силу того, что ξn −→ ξ и ηn −→ η.2.
Для доказательства второго утверждения нам понадобится, кроме положительных ответов на «глупые вопросы» (а)–(д), следующее «хорошее свойство»: длялюбой случайной величины ζ, согласно свойству (F2) функций распределения, вероятность P(|ζ| > M ) стремится к нулю при M → ∞.Представим |ξn ηn − ξη| как |(ηn − η)(ξn − ξ) + ξ(ηn − η) + η(ξn − ξ)|. Затемполучим из (а) и монотонности вероятности, чтоP(|ξn ηn − ξη| > ε)6P(|ηn − η| |ξn − ξ| > ε/3) + P(|ξ| |ηn − η| > ε/3) ++P(|η| |ξn − ξ| > ε/3).Подумайте, что делать с первым слагаемым в правой части, а мы пока рассмотримвторое слагаемое (третье ничем принципиально от второго не отличается).
Обозначим через An = {|ξ| |ηn − η| > ε/3} событие под знаком второй вероятности. Зафиксируем некоторое M > 0 и разобьем событие An по полной группе событийB = {|ξ| > M } и B = {|ξ| < M }:P(An ) = P(AB) + P(AB) = P An , |ξ| > M + P An , |ξ| < M .Первую вероятность оцениваем в соответствии с вопросом (д), вторую — пользуясь тем, что из неравенств |ξ| |ηn − η| > ε/ 3 и |ξ| < M следует неравенствоM |ηn − η| > ε/ 3. Получаем:εε P(An ) 6 P(|ξ| > M ) + P M |ηn − η| >= P(|ξ| > M ) + P |ηn − η| >.33MОсталось для любого фиксированного M > 0 устремить n к бесконечности, получив для верхнего предела оценку lim P(An ) 6 P(|ξ| > M ), после чего мы можемn→∞устремить к бесконечности M , пользуясь «хорошим свойством».Сходимость по вероятности, так же как и любая другая сходимость,не портится под действием непрерывной функции.ГЛАВА 11.
Куда и как сходятся последовательности случайных величин103Свойство 17.pp1. Если ξn −→ ξ и g(x) — непрерывная функция, то g(ξn ) −→ g(ξ).pp2. Если ξn −→ c и g(x) непрерывна в точке c, то g(ξn ) −→ g(c).Доказательство. Простое доказательство первого утверждения можно предложить в двух случаях, которыми мы и ограничимся: если ξ = c == const (и тогда достаточно, чтобы g была непрерывна в точке c) или еслифункция g равномерно непрерывна (а что это значит?).И в том, и в другом случае для любого ε > 0 найдётся такое δ > 0, чтодля любого ω, удовлетворяющего условию |ξn (ω) − ξ(ω)| < δ, выполняетсянеравенство |g(ξn(ω)) − g(ξ(ω))| < ε.Т.
е. событие |ξn − ξ| < δ влечёт событие |g(ξn (ω)) − g(ξ(ω))| < ε .Следовательно, вероятность первого не больше вероятности второго. Но,какое бы ни было δ > 0, вероятность первого события стремится к единицепо определению сходимости по вероятности:1 ←− P |ξn − ξ| < δ 6 P |g(ξn (ω)) − g(ξ(ω))| < ε 6 1.Следовательно, вероятность второго события также стремится к единице.Предлагаю поразмышлять над тем, как доказывать первую часть свойства 17 в общем случае.Сходимость «почти наверное» сильнее сходимости по вероятности.pСвойство 18.
Если ξn → ξ п. н., то ξn −→ ξ.Д о к а з а т е л ь с т в о. При первом прочтении его можно пропустить. Ограничимсядля простоты случаем, когда ξn (ω) → ξ(ω) д л я л ю б о г о ω ∈ Ω.Зафиксируем ω ∈ Ω. По определению предела, ξn (ω) → ξ(ω) при n → ∞, еслидля всякого ε > 0 найдётся N = N (ω, ε) > 0 такое, что для всех n > N выполняетсянеравенство |ξn (ω) − ξ(ω)| < ε. Ничто не мешает нам дополнительно потребовать,чтобы |ξN (ω) − ξ(ω)| было не меньше ε, т. е.
чтобы среди всех возможных N (ω, ε)мы заранее выбрали наименьшее (примем N = 0, если |ξn (ω) − ξ(ω)| < ε при всехn > 1).Итак, событие A = {n > N (ω, ε)} влечёт событие B = {|ξn (ω) − ξ(ω)| < ε}.Но тогда1 > P(B) > P(A) = P N (ω, ε) < n = FN (ε,ω) (n) → 1 при n → ∞по свойству (F2) функций распределения. Тогда и P(B) = P |ξn (ω) − ξ(ω)| < εстремится к единице. В силу произвольности выбора ε, это означает сходимостьpξn −→ ξ.Осталось только проверить, является ли A = {n > N (ω, ε)} событием, т.
е. является ли при каждом ε функция N (ω, ε) измеримым отображением из Ω в N (случайной величиной). Для этого достаточно установить, что {N (ω, ε) = n} — событие.Имеем при n > 1:∞\{N (ω, ε) = n} = |ξn (ω) − ξ(ω)| > ε ∩|ξk (ω) − ξ(ω)| < ε ∈ F,k=n+1104ГЛАВА 11. Куда и как сходятся последовательности случайных величинпоскольку |ξk (ω) − ξ(ω)| — случайная величина. При n = 0 первый сомножитель{|ξn (ω)−ξ(ω)| > ε} просто отсутствует. Итак, {N (ω, ε) = n} ∈ F, что и требовалосьдоказать.Чтобы доказывать сходимость по вероятности, требуется уметь вычислять P (|ξn − ξ| > ε) при больших n.
Но для этого нужно знать распределение ξn , что не всегда возможно. Скажем, ξn может быть суммой (или ещёхуже!) нескольких других случайных величин, распределения которых неустойчивы по суммированию, и вычислить распределение их суммы по формуле свертки или как-то ещё будет слишком сложно.Если бы мы имели неравенства, позволяющие оценить P (|ξn − ξ| > ε)сверху чем-либо, что мы умеем устремлять к нулю и что проще вычисляется, то сходимость по вероятности мы получили бы по свойству зажатойпоследовательности: 0 6 P(...) 6 ...
→ 0. Итак, неравенства Чебышёва17 .§ 2. Неравенства ЧебышёваВсе неравенства в этом параграфе принято относить к одному классу «неравенств Чебышёва». Следующее неравенство часто называют собственно неравенством Чебышёва, хотя в такой форме оно появилось впервые, видимо, в работах Маркова18 .Теорема 32 (н е р а в е н с т в о М а р к о в а). Если E |ξ| < ∞, то длялюбого x > 0 E |ξ|P |ξ| > x 6.xДоказательство.
Нам потребуется следующее понятие.Определение 51. Назовём и н д и к а т о р о м события A случайнуювеличину I(A), равную единице, если событие A произошло, и нулю, еслиA не произошло.По определению, величина I(A) имеет распределение Бернулли с параметром p = P(I(A) = 1) = P(A), и её математическое ожидание равновероятности успеха p = P(A). Индикаторы прямого и противоположногособытий связаны равенством I(A) + I(A) = 1. Поэтому|ξ| = |ξ| · I(|ξ| < x) + |ξ| · I(|ξ| > x) > |ξ| · I(|ξ| > x) > x · I(|ξ| > x).ТогдаE |ξ| > E x · I(|ξ| > x) = x · P |ξ| > x .(21)Осталось разделить обе части неравенства (21) на положительное x.Следующее неравенство мы будем называть обобщённым неравенствомЧебышёва.17 Пафнутий18 АндрейЛьвович Чебышёв (16.05.1821 — 8.12.1894)Андреевич Марков (14.06.1856 — 20.07.1922)ГЛАВА 11. Куда и как сходятся последовательности случайных величин105Следствие 17 (обобщённое неравенство Чебышёва).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
