Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. P(ξ = 0) = 1.Доказательство. Это свойство мы докажем, заранее предполагая, чтоξ имеет дискретное распределение с неотрицательными значениями ai > 0.PРавенство E ξ = ai pi = 0 означает, что все слагаемые в этой сумме равнынулю, т. е. все вероятности pi нулевые, кроме вероятности, соответствующей значению ai = 0.Из свойств (E5) и (E6) вытекает множество полезных утверждений:Следствие 11. Если ξ 6 η п. н., то E ξ 6 E η.Следствие 12. Если ξ 6 η п.
н., но E ξ = E η, то ξ = η п. н.Следствие 13. Если a 6 ξ 6 b п. н., то a 6 E ξ 6 b.84ГЛАВА 9. Числовые характеристики распределенийE7. Математическое ожидание произведения независимых случайныхвеличин равно произведению их математических ожиданий: если ξ и η независимы и их математические ожидания существуют, тоE (ξη) = E ξ E η.Доказательство. В дискретном случае:XE (ξη) =(xk yn ) P(ξ = xk , η = yn ) ==k, nXkxk P(ξ = xk )Xyn P(η = yn ) = E ξ E η.nЗамечание 20. Обратное утверждение к свойству (E7) неверно: из равенстваE (ξη) = E ξ E η н е с л е д у е т независимость величин ξ и η.Пример 40.
Пусть ξ принимает значения 0 и ±1 с вероятностямипо 1/3 каждое, и η = ξ2 . Это зависимые случайные величины:1 1P(ξ = 1, η = 0) = P(ξ = 1, ξ2 = 0) = 0 6= · = P(ξ = 1) P(η = 0).3 3Однако E ξ = 0 и E (ξη) = E (ξ3 ) = 0, поэтому E (ξη) = E ξ E η.= UПример 41. Пусть ϕ ⊂0, 2π , и пусть ξ = cos ϕ и η = sin ϕ — заведомо зависимые случайные величины (доказать). Но математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданийиз-за симметричности распределений ξ, η и ξη относительно нуля. Действительно, по свойству (E1) имеем:Z 2πZ 2π11cos x dx = 0, E η =sin x dx = 0,Eξ =2π2π00Z 2π1cos x sin x dx = 0 = E ξ E η.E ξη =2π0§ 3. Дисперсия и моменты старших порядковОпределение 44.
Пусть E |ξ|k < ∞. Число E ξk называется моментомпорядка k или k-м моментом случайной величины ξ, число E |ξ|k называетсяабсолютным k-м моментом, E (ξ − E ξ)k называется центральным k-м моментом, и E |ξ − E ξ|k — абсолютным центральным k-м моментом случайнойвеличины ξ. Число D ξ = E (ξ −E ξ)2 (центральный момент второго порядка)называется д и с п е р с и е й случайной величины ξ.Пример 42. Пусть, скажем, случайная величина ξ принимает значение0 с вероятностью 0,99999, и значение 100 с вероятностью 0,00001.
Посмотрим, как моменты разных порядков реагируют на большие, но маловероят-ГЛАВА 9. Числовые характеристики распределений85ные значения случайной величины:Eξ=0 · 0,99999 + 100 · 0,00001 = 0,001,E ξ2=02 · 0,99999 + 1002 · 0,00001 = 0,1,E ξ4=04 · 0,99999 + 1004 · 0,00001 = 1 000,E ξ6=06 · 0,99999 + 1006 · 0,00001 = 10 000 000.Пример 43. Дисперсия D ξ = E (ξ −E ξ)2 есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величины ξ от своего среднего».
Посмотрим, зачто эта величина отвечает.Пусть случайная величина ξ принимает значения ±1 с равными вероятностями, а случайная величина η — значения ±10 с равными вероятностями. Тогда E ξ = E η = 0, поэтому D ξ = E ξ2 = 1, D η = E η2 = 100. Говорят, что дисперсия характеризует с т е п е н ь р а з б р о с а значений случайной величины вокруг её математического√ ожидания.Определение 45.
Число σ = D ξ называют с р е д н е к в а д р а т и ч е с к и м о т к л о н е н и е м случайной величины ξ.Чтобы прояснить связь моментов разных порядков, докажем несколько неравенств. Во-первых, очевидное утверждение, обеспечивающее существование моментов меньших порядков, если существуют моменты болеевысокого порядка:Теорема 29. Если существует момент порядка t > 0 случайнойвеличины ξ, то существуют и её моменты порядка s, 0 < s < t.Доказательство. Для любого числа x верно неравенство:|x|s 6 max{ |x|t , 1} 6 |x|t + 1.Действительно, |x|s 6 |x|t при |x| > 1, и |x|s 6 1 при |x| 6 1. Из этогонеравенства следует, что |ξ(ω)|s 6 |ξ(ω)|t + 1 для всех ω. Но следствие 11позволяет из неравенства для случайных величин получить такое же неравенство для их математических ожиданий:E |ξ|s 6 E |ξ|t + 1.Момент порядка t существует, т.
е. E |ξ|t < ∞. Поэтому и E |ξ|s < ∞.Докажем ещё одно чрезвычайно полезное неравенство.Теорема 30 (неравенство Йенсена16 ). Пусть функция g : R → Rвыпукла («выпукла вниз», т. е. её н а д г р а ф и к есть выпуклое множество). Тогда для любой случайной величины ξ с конечным первыммоментом верно неравенство: E g(ξ) > g(E ξ).Доказательство.
Нам понадобится следующее свойство.16 JohanLudwig William Valdemar Jensen (8.05.1859 — 5.03.1925, Denmark)86ГЛАВА 9. Числовые характеристики распределенийЛемма 8. Пусть функция g выпукла. Тогда для всякого y найдётся число c(y) такое, что при всех xg(x) > g(y) + c(y)(x − y).Это свойство очевидно и означает, что график выпуклой функции лежитполностью выше любой из касательных к этому графику.Возьмём в условиях леммы y = E ξ, x = ξ. Тогдаg(ξ) > g(E ξ) + c(E ξ)(ξ − E ξ).Вычислим математическое ожидание обеих частей неравенства. Так какE (ξ − E ξ) = 0, и неравенство между математическими ожиданиями сохраняется по следствию 11, то E g(ξ) > g(E ξ).Следующее неравенство связывает моменты разных порядков.tСледствие 14.
Если E |ξ| < ∞, то для любого 0 < s < tqqtstsE |ξ| 6 E |ξ|Доказательство. Поскольку 0 < s < t, то g(x) = |x|t/s — выпуклаяфункция. По неравенству Йенсена для η = |ξ|s ,(E |ξ|s )t/s = (E η)t/s = g(E η) 6 E g(η) = E |η|t/s = E |ξ|s·t/s = E |ξ|t .Осталось извлечь из обеих частей корень степени t.§ 4.
Свойства дисперсииСвойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания. Заметим, что из существования второго момента следует существование математического ожидания случайной величины и конечность дисперсии. Во всех свойствах ниже предполагается существованиевторых моментов случайных величин.2D1. Дисперсия может быть вычислена по формуле: D ξ = E ξ2 − (E ξ) .Доказательство.
Положим для удобства a = E ξ. ТогдаD ξ = E (ξ − a)2 = E (ξ2 − 2aξ + a2 ) = E ξ2 − 2aE ξ + a2 = E ξ2 − a2 .D2. При умножении случайной величины на постоянную c дисперсияувеличивается в c2 раз: D (cξ) = c2 D ξ.Упражнение. Доказать.D3. Дисперсия всегда неотрицательна: D ξ > 0. Дисперсия обращаетсяв нуль лишь для вырожденного распределения: если D ξ = 0, то ξ = constп. н., и наоборот.Доказательство. Дисперсия есть математическое ожидание почтинаверное неотрицательной случайной величины (ξ − E ξ)2 , и неотрицательность дисперсии следует из свойства (E5).ГЛАВА 9. Числовые характеристики распределений87По свойству (E6), если D ξ = 0, то (ξ − E ξ)2 = 0 п. н., т.
е. ξ = E ξ п. н.И наоборот: если ξ = c п. н., то D ξ = E (c − E c)2 = 0.D4. Дисперсия не зависит от сдвига случайной величины на постоянную: D (ξ + c) = D ξ.Упражнение. Доказать.D5. Если ξ и η независимы, то D (ξ + η) = D ξ + D η.Доказательство. Действительно,D (ξ + η) = E (ξ + η)2 − (E (ξ + η))2 =22= E ξ2 + E η2 + 2E (ξη) − (E ξ) − (E η) − 2E ξE η = D ξ + D η,так как математическое ожидание произведения независимых случайныхвеличин равно произведению их математических ожиданий.Замечание 21. См.
замечание 20.Следствие 15. Если ξ и η независимы, тоD (ξ − η) = D (ξ + η) = D ξ + D η.Доказательство. Из свойств (D5) и (D2) получим:D (ξ − η) = D (ξ + (−η)) = D ξ + D (−η) = D ξ + (−1)2 D η = D ξ + D η.Следствие 16. Для произвольных случайных величин ξ и η с конечными вторыми моментами имеет место равенство:D (ξ + η) = D ξ + D η + 2 E (ξη) − E ξ E η .D6. Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины ξот точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение ξот своего математического ожидания: D ξ = E (ξ − E ξ)2 = min E (ξ − a)2 .aДоказательство.
Сравним величину E (ξ − a) с дисперсией:2E (ξ − a)2 = E (ξ − E ξ) + (E ξ − a) =22= D ξ + E ξ − a + 2(E ξ − E ξ) E ξ − a = D ξ + E ξ − a > D ξ,2и последнее неравенство превращается в равенство лишь при a = E ξ.§ 5. Математические ожидания и дисперсиистандартных распределенийПример 44 (вырожденное распредел е н и е Ic ). Математическоеожидание и дисперсию этого распределения мы знаем из свойств (E2) и(D3): E c = c, D c = 0.Пример 45 (распределение Бернулли Bp ). Вычислим два момента и дисперсию: E ξ = 1 · p + 0 · q = p; E ξ2 = 12 · p + 02 · q = p;2D ξ = E ξ2 − (E ξ) = p − p2 = pq.88ГЛАВА 9.
Числовые характеристики распределенийПример 46 (биномиальное распредел е н и е Bn, p ). Используемсвойство устойчивости биномиального распределения относительно суммирования — лемму 4 (стр. 79). Возьмём на каком-нибудь вероятностном пространстве n независимых случайных величин ξ1 , . . . , ξn с распределениемБернулли Bp = B1, p . Тогда их сумма Sn = ξ1 + .
. . + ξn имеет распределение Bn, p , и по свойству (E4) имеем:E Sn =nXE ξi = nE ξ1 = np.i=1А поскольку ξi независимы, и дисперсия каждой равна pq, тоnXD Sn =D ξi = nD ξ1 = npq.i=1= BИтак, E ξ = np, D ξ = npq для ξ ⊂n, p .Пример 47 (г еометрическое распредел е н и е Gp ). Вычислим математическое ожидание ξ:∞∞∞XXXdq kk q k−1 = pk p q k−1 = pEξ ==dqk=1k=1k=1!∞d X kdq11= pq=p=p= .2dqdq 1 − q(1 − q)pk=1Вычислим так называемый «второй факториальный момент» ξ:E ξ(ξ − 1)=∞Xk(k − 1) p q k−1 = p qk=1∞Xd2 q kk=0d2= pq 2dq11−q= pqdq 2d2= pq 2dq∞X!qk=k=022q= 2.(1 − q)3pНайдём дисперсию через второй факториальный момент:2q112q − 1 + pqD ξ = E ξ(ξ − 1) + E ξ − (E ξ)2 = 2 + − 2 == 2.pp pp2pПример 48 (распределение Пуассона Πλ ). Вычислим математическое ожидание ξ:∞∞∞XXXλk −λλkλkEξ =ke = e−λk= e−λ=k!k!(k − 1)!k=0k=1k=1∞∞XXλk−1λm= λe−λ= λe−λ= λe−λ eλ = λ.(k − 1)!m!m=0k=1ГЛАВА 9.
Числовые характеристики распределений89Моменты более высоких порядков легко находятся через факториальныемоменты E ξ[m] = E ξ(ξ − 1) . . . (ξ − m + 1) порядка m. Так, второй факториальный момент ξ равен∞∞XXλk −λλk−22 −λE ξ(ξ − 1) =k(k − 1)e =λ e= λ2 e−λ eλ = λ2 .k!(k − 2)!k=0k=2Поэтому E ξ2 = E ξ(ξ − 1) + E ξ = λ2 + λ и D ξ = E ξ2 − (E ξ)2 = λ.Пример 49 (равномерное распределе н и е Ua,b ).
Вычислим первые два момента:∞ZZb1a+bEξ =xfξ (x) dx = xdx =;b−a2−∞a∞ZE ξ2 =Zbx2 fξ (x) dx = x2−∞1b3 − a3a2 + ab + b2dx ==.b−a3(b − a)3aДисперсия равна D ξ = E ξ − (E ξ)2 = (b − a)2 / 12.Пример 50 (стандартное нормально е р а с п р е д е л е н и е N0, 1 ).Математическое ожидание этого распределения существует в силу конечности E |ξ|:∞∞ZZ2222−x2/2E |ξ| = √xedx = √e−x /2 d(x2/2) = √ < ∞.2π2π2π200Математическое ожидание ξ равно∞∞ZZ21Eξ =xfξ (x) dx = √x e−x /2 dx = 0,2π−∞−∞так как под сходящимся интегралом стоит нечётная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
