Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Даже если мы дополнительно потребуем непрерывности функции распределения, этого не будет достаточно для абсолютной непрерывности распределения. Например, далее мы увидим, что функция распределения сингулярногораспределения непрерывна и дифференцируема почти всюду, однако плотности у этого распределения нет, так как производная функции распределения почти всюду равна нулю.Опираясь на свойства (f4) и (14), можно сформулировать такой критерий абсолютной непрерывности распределения: распределение с функциейраспределения Fξ (x) абсолютно непрерывно, если при всех xZxFξ (x) =Fξ0 (t) dt.−∞Из определения абсолютно непрерывного распределения и свойства 7сразу следует свойство:(f5) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то для любых a < b имеют место равенства:ZbP(a < ξ < b) = P(a 6 ξ < b) = P(a < ξ 6 b) = P(a 6 ξ 6 b) = fξ (t) dt.aГЛАВА 6.
Случайные величины и их распределения63Функция распределения сингулярного распределения. Для полноты картины посмотрим, какие свойства имеет функция распределения сингулярного распределения. Согласно определению 31, случайная величина ξс сингулярным распределением принимает с единичной вероятностью лишьзначения из некоторого борелевского множества B с нулевой лебеговоймерой. Поэтому P(ξ ∈ R \ B) = 0. Но согласно равенству (13), еслиP(ξ ∈ [a, b)) = 0, то Fξ (b) = Fξ (a), т. е. расти функция распределенияможет лишь в точках множества B. На всём остальном множестве R \ Bфункция распределения имеет нулевую производную (в точках, где эта производная существует, т.
е. почти всюду). Тем не менее, Fξ (x) всюду непрерывна, поскольку P(ξ = x) = 0 для любой точки x ∈ R. Примером такойфункции распределения служит лестница Кантора:Fξ (x)16013231-xФункция распределения смешанного распределения. Функция распределения смешанного распределения есть линейная комбинация функцийраспределения дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений.Если смешивать только дискретное и абсолютно непрерывноераспределения, то функция распределения будет иметь разрывы в точкахзначений дискретного распределения и участки непрерывного роста, приращение функции на которых восстанавливается по её производной.§ 7. Свойства нормального распределенияУстановим связь между функциями Φa, σ2 (x) и Φ0, 1 (x).Свойство 9.
Для любого x ∈ R справедливо соотношение:x − aΦa, σ2 (x) = Φ0, 1.σДоказательство.x−aZxZσx − a−(t−a)2 / 2σ2211√ e√ e−y / 2 dy = Φ0, 1Φa, σ2 (x) =dt =.σσ 2π2π−∞−∞Мы сделали замену переменных y = (t − a) / σ, dt = σ dy, верхняя границаинтегрирования t = x при такой замене перешла в y = (x − a) / σ.То же самое для случайных величин можно сформулировать так:64ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения= NСледствие 2.
Если ξ ⊂a, σ2 , то η =ξ−aσ= N⊂0, 1 .Доказательство. Убедимся, что случайная величина η имеет функциюраспределения Φ0, 1 (x):ξ − aFη (x) = P(η < x) = P< x = P(ξ < σx + a) =σ σx + a − a = Φa, σ2 (σx + a) = Φ0, 1= Φ0, 1 (x).σ= NСледствие 3. Если ξ ⊂a, σ2 , тоP(x1 < ξ < x2 ) = Φa, σ2 (x2 ) − Φa, σ2 (x1 ) = Φ0, 1x − a2σ− Φ0, 1x − a1σ.Видим, что вычисление любых вероятностей для нормально распределённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения Φ0, 1 (x). Она обладает следующими свойствами (нарисуйте их на графике п л о т н о с т и стандартного нормального распределения):Свойство 10. Φ0, 1 (0) = 0,5, Φ0, 1 (−x) = 1 − Φ0, 1 (x).= NСвойство 11.
Если ξ ⊂0,1 , то для любого x > 0P(|ξ| < x) = 1 − 2Φ0, 1 (−x) = 2Φ0, 1 (x) − 1.Доказательство. При x > 0 имеем:P(|ξ| < x)= P(−x < ξ < x) = Φ0, 1 (x) − Φ0, 1 (−x) == 1 − 2Φ0, 1 (−x) = 2Φ0, 1 (x) − 1.= NСвойство 12 (п р а в и л о т р е х с и г м). Если ξ ⊂a, σ2 , тоP(|ξ − a| > 3σ) = 0,0027 (совсем мало).Доказательство. Перейдём к противоположному событию:ξ − aP |ξ − a| > 3σ = 1 − P |ξ − a| < 3σ = 1 − P <3 .σНо величина η = (ξ − a) / σ имеет стандартное нормальное распределение,и можно использовать свойство 11: 1 − P(|η| < 3) = 1 − (1 − 2Φ0, 1 (−3)) == 2Φ0, 1 (−3) = 2 · 0,00135 = 0,0027 (найти в таблице!).Большого смысла в запоминании числа 0,0027 нет, но полезно помнить,что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границахот a − 3σ до a + 3σ.ГЛАВА 7Преобразования случайных величин. .
. По данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями.И. Ньютон, Метод флюксий и бесконечных рядов...Пусть на вероятностном пространстве hΩ, F, Pi задана случайная величина ξ. Если функция g : R → R такова, что g(ξ) — случайная величина, тонужно уметь находить распределение g(ξ) по распределению ξ. Эта проблема возникает, например, при моделировании случайных величин с заданнымраспределением. Датчик случайных чисел может генерировать лишь значения случайных величин с равномерным распределением.
А если нам необходимы значения показательно распределённой случайной величины, нужнознать, какое преобразование применить, чтобы из равномерного распределения получить показательное.§ 1. Измеримость функций от случайных величинВопрос об измеримости g(ξ) решает следующая теорема.Теорема 22. Пусть ξ — случайная величина, а g : R → R —б о р е л е в с к а я (измеримая по Борелю) функция, т. е. такая, чтодля всякого борелевского множества B его прообраз g −1 (B) есть снова борелевское множество. Тогда g(ξ) — случайная величина.Доказательство. Проверим, что прообраз любого борелевского множества при отображении g(ξ) : Ω → R является событием.
Возьмём произвольное B ∈ B(R) и положим B1 = g −1 (B). Множество B1 борелевское,так как функция g измерима по Борелю. Найдём (g(ξ))−1 (B):{ω | g(ξ(ω)) ∈ B} = {ω | ξ(ω) ∈ g −1 (B) = B1 } = ξ−1 (B1 ) ∈ F,поскольку B1 ∈ B(R) и ξ — случайная величина.Борелевскими являются все привычные нам функции. Функцией, неизмеримой по Борелю, будет, например, индикаторная функция неизмеримогомножества Витали. Вообще говоря, неизмеримые функции суть объекты экзотические, в обычной жизни не встречающиеся.66ГЛАВА 7.
Преобразования случайных величин§ 2. Распределения функций от случайных величинЛинейные и монотонные преобразования. Если ξ имеет дискретноераспределение, то для любой борелевской функции g величина g(ξ) также имеет дискретное распределение, и таблица её распределения находитсяпросто по определению.
Поэтому мы будем рассматривать преобразованияслучайных величин с абсолютно непрерывными распределениями.Пусть случайная величина ξ имеет функцию распределения Fξ (x) иплотность распределения fξ (x). Построим с помощью борелевской функции g : R → R случайную величину η = g(ξ). Требуется найти функциюраспределения и, если существует, плотность распределения величины η.Замечание 16. Плотность распределения случайной величины η = g(ξ) существует далеко не при любых функциях g. Так, если функция g кусочно-постоянна, тоη имеет дискретное распределение, и плотность её распределения не существует.Упражнение. Привести пример плотности распределения случайной величины ξ и н е п р е р ы в н о й функции g таких, что η = g(ξ) имеет:а) дискретное распределение; б) невырожденное дискретное распределение.Плотность распределения величины η = g(ξ) заведомо существует, ес-ли, например, функция g (строго) монотонна.
В общем случае мы не можемпросто продифференцировать функцию распределения, поскольку не знаем,существует ли плотность. Следует доказать, что распределение абсолютнонепрерывно. Но доказывая это, мы попутно найдём и плотность распределения. Действительно, у нас есть следующий путь доказательства абсолютнойнепрерывности распределения. Если, согласно равенству (14), можно длялюбого x представить функцию распределения величины η в видеZxFη (x) =h(y) dy, где h(y) > 0,−∞то плотность распределения величины η существует и равна подынтегральной функции: fη (x) = h(x). Другой путь — продифференцировать функциюраспределения и убедиться, что производная является плотностью распределения, т.
е. обладает свойствами (f1) и (f2).Теорема 23. Пусть ξ имеет функцию распределения Fξ (x) и плотность распределения fξ (x), и постоянная a отлична от нуля. Тогдаслучайная величина η = aξ + b имеет плотность распределения1 x − bfη (x) =fξ.|a|aДоказательство. Пусть сначала a > 0.(x−b)/aZx − bx − bFη (x) = P(aξ + b < x) = P ξ <= Fξ=fξ (t) dt.aa−∞ГЛАВА 7. Преобразования случайных величин67Сделаем замену переменной в последнем интеграле. Переменную t заменимна новую переменную y так: t = (y − b) / a.
Тогда dt = dy / a, верхняяграница области интегрирования t = (x − b) / a перейдёт в y = x, нижняяt = −∞ перейдёт в y = −∞. ПолучимZx1 y − bFη (x) =fξdy.aa−∞Функция под интегралом — плотность распределения fη (y) случайной величины η = aξ + b при a > 0.Пусть теперь a < 0.+∞Zx − bFη (x) = P(aξ + b < x) = P ξ >=fξ (t) dt.a(x−b)/aСделаем ту же замену переменной t = (y − b) / a, y = at + b. Но теперьграница интегрирования t = +∞ перейдёт в y = −∞, поскольку a < 0.Получим−∞ZxZ1 y − b1 y − bfξfξdy =dy.Fη (x) =aa|a|ax−∞Функция под интегралом и есть плотность распределения fη (y) случайнойвеличины η = aξ + b при a < 0.Для произвольной монотонной функции g справедливо утверждение:Теорема 24.
Пусть ξ имеет плотность распределения fξ (x), ифункция g : R → R монотонна. Тогда случайная величина η = g(ξ)имеет плотность распределения0fη (x) = g −1 (x) fξ g −1 (x) .0Здесь g −1 — функция, обратная к g, и g −1 (x) — её производная.Упражнение. Доказать теорему 24.Из теоремы 23 следуют уже знакомые нам утверждения:= N= NСледствие 4. Если ξ ⊂0,1 , то η = σξ + a ⊂a,σ2 .Доказательство. Действительно,(x−a)21 x − a1fη (x) = fξ= √ e− 2σ2 .σσσ 2π= N= N2Следствие 5. Если ξ ⊂,то(ξ − a) / σ ⊂0,1 .a,σ==Следствие 6. Если ξ ⊂ U0, 1 , то aξ + b ⊂ Ub, a+b при a > 0.= E , то αξ ⊂= E .Следствие 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
