Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Из урны наудачу (без возвращения)выбираются n шаров. Вероятность PN,K (n, k) того, что будет выбрано ровно k белых и n − k чёрных шаров, находится по формуле (см. определение 8гипергеометрического распределения вероятностей):PN,K (n, k) =n−kkCKCN−K.nCNЕсли число шаров в урне очень велико, то извлечение одного, двух, трёхшаров почти не меняет пропорцию белых и чёрных шаров в урне, так чтоГЛАВА 5. Схема Бернулли43вероятности PN,K (n, k) не очень отличаются от вероятностей в процедуревыбора с в о з в р а щ е н и е м: k n−kKKkP(νn = k) = Cn1−.NNСформулируем и докажем нашу первую предельную теорему.Теорема 14. Если N → ∞ и K → ∞ так, что K/N → p ∈ (0, 1), тодля любых фиксированных n и 0 6 k 6 nPN,K (n, k) =n−kkCNCK−K−→ Cnk pk (1 − p)n−k .nCNДоказательство.
Перепишем PN,K (n, k) следующим образом:PN,K (n, k) =K!(N − K)!n!(N − n)!=k!(K − k)! (n − k)!(N − K − (n − k))!N!n−kk}|{z}|{zk K(K −1) . . . (K −k+1) (N −K)(N −K −1) . . . (N −K −(n−k)+1)= Cn.N (N −1) . . . (N −n+1)|{z}n=k+(n−k)И в числителе, и в знаменателе дроби — произведение фиксированного числа n сомножителей, поэтому и дробь есть произведение n сомножителей.Каждый из первых k сомножителей имеет вид (K − a) / (N − b) при некоторых фиксированных a и b и стремится к p при K/N → p.
Каждый из оставшихся n − k сомножителей имеет вид (N − K − a) / (N − b) и стремитсяк 1−p при K/N → p. Окончательно имеемK→ p.PN,K (n, k) → Cnk pk (1 − p)n−k приN§ 5. Теорема Пуассона10 для схемы БернуллиПредположим, нам нужна вероятность получить не менее семи успеховв тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений, вычислитькоторые довольно сложно:1X000C1k 000 (0,003)k (0,997)1 000−k = 1 −k=76XC1k 000 (0,003)k (0,997)1 000−k .k=0Сформулируем теорему о приближённом вычислении вероятностикакого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли10 SiméonDenis Poisson (21.06.1781 — 25.04.1840, France)44ГЛАВА 5. Схема Бернуллис маленькой вероятностью успеха.
Термин «большое число» должен означать n → ∞. Если при этом p = pn 6→ 0, то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха p = pn стремиласьк нулю одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли). Поэтому нам придётся рассмотреть так называемую «схему серий»:если испытание одно, то вероятность успеха в нём равна p1 , если испытаний два, то вероятность успеха в каждом — p2 , и т. д.
Если испытаний n, тов каждом из них вероятность успеха равна pn . Вероятность успеха меняетсяне внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общеечисло испытаний.Теорема 15 (т е о р е м а П у а с с о н а). Пусть n → ∞ и pn → 0 так,что npn → λ > 0. Тогда для любого k > 0 вероятность получитьk успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха pnстремится к величине λk e−λ / k! :λke−λ .k!Доказательство. Положим λn = n · pn → λ > 0. Тогда pn = λn /n иn−kkλnk kn−kk λn=Cn pn (1 − pn )= Cn k 1 −nnn −kn(n−1) .
. . (n−k+1) λknλnλnλk −λ=1−1−−→e . (8)knnnk!|{z} k! |{z}|{z}↓↓↓1e−λ1n−kCnk pkn (1 − pn )−→В соотношении (8) мы воспользовались тем, что λkn → λk и замечательnным пределом (1 − λn /n) → e−λ . Докажем последнее свойство:n 2 λnλnλnλnln 1 −= n ln 1 −=n −+O→ −λ.nnnn2n koλОпределение 25. Набор чиселe−λ , k = 0, 1, 2, . . . называетсяk!р а с п р е д е л е н и е м П у а с с о н а с параметром λ > 0.По теореме 15 можно приближённо посчитать вероятность получить неменее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностьюуспеха 0,003, с вычисления которой мы начали. Поскольку n = 1 000 «велико», а pn = 0,003 «мало», то, взяв λ = npn = 3, можно записать прибли-ГЛАВА 5. Схема Бернулли45жённое равенство1−6XC1k 000 (0,003)k (0,997)1 000−k ≈ 1 −k=06X3kk=0k!e−3 =∞X3kk=7k!= табличное значение Π3 (7) ≈ 0,034.e−3 =(9)3Осталось решить, а достаточно ли n = 10 велико, а pn = 0,003 мало,чтобы заменить точную вероятность P(νn = k) на приближённое значениеλk e−λ / k! Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими двумя вероятностями.Следующую очень полезную теорему мы, исключительно из экономиивремени, доказывать не станем.Теорема 16 (уточнённая теорема Пуассона).
Пусть A — произвольное множество целых неотрицательных чисел, νn — число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p, и пустьλ = np. Cправедливо неравенство: XX λkX λk k kn−k2−λ −λ P(νn ∈ A) −Cp(1−p)−=een 6 np .k!k!k∈Ak∈Ak∈AТаким образом, теорема 16 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли n велико, а p мало, руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в формуле (9)? Взяв A == {0, 1, .
. . , 6}, имеем:6 X 3k −3 P(ν1000 > 7) − 0,034 = 1 − P(ν1000 6 6) − 1 −e=k!k=06X3k −3 = P(ν1000 6 6) −e 6 np2 = 0,009.k!k=0Можно утверждать, что искомая вероятность заключена в границах(0,034 − 0,009, 0,034 + 0,009) = (0,025, 0,043).На самом деле можно уточнить оценку в теореме 16. Например, можнодоказать, что погрешность даже меньше, чем min(p, np2 ). В нашем примереэто втрое уменьшает оценку для погрешности — 0,003 вместо 0,009, уточняяграницы для истинной вероятности: (0,031, 0,037).ГЛАВА 6Случайные величины и их распределенияАбстрагировать — это, по-видимому, значит переходить к сути дела.
Это значит освобождаться от случайных черт и сосредотачиватьвнимание на особо важных свойствах.M. Кац, Статистическая независимость в теориивероятностей, анализе и теории чисел§ 1. Случайные величиныМы уже видели, что для многих экспериментов нет никаких различийв подсчёте в е р о я т н о с т е й событий, тогда как элементарные исходы вэтих экспериментах очень различаются.
Но нас и должны интересоватьименно вероятности событий, а не структура пространства элементарныхисходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. Иначеговоря, каждому элементарному исходу поставить в соответствие некотороевещественное число, и работать только с числами.Пусть задано вероятностное пространство hΩ, F, Pi.Определение 26. Функция ξ : Ω → R называется с л у ч а й н о йв е л и ч и н о й, если для любого борелевского множества B ∈ B(R) множество ξ−1 (B) является событием, т. е.
принадлежит σ-алгебре F.Множество ξ−1 (B) = {ω | ξ(ω) ∈ B}, состоящее из тех элементарныхисходов ω, для которых ξ(ω) принадлежит B, называется полным прообразом множества B.Замечание 10. Вообще, пусть функция f действует из множества X в множество Y , и заданы σ-алгебры F и G подмножеств X и Y соответственно. Функцияf называется измеримой, если для любого множества B ∈ G его полный прообразf −1 (B) принадлежит F.Замечание 11. Читатель, не желающий забивать себе голову абстракциями,связанными с σ-алгебрами событий и с измеримостью, может смело считать, чтолюбое множество элементарных исходов есть событие, и, следовательно, случайная величина есть произвольная функция из Ω в R. Неприятностей на практике этоне влечёт, так что всё дальнейшее в этом параграфе можно пропустить.ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения47Теперь, избавившись от нелюбопытных читателей, попробуем понять,зачем случайной величине нужна измеримость.Если задана случайная величина ξ, нам может потребоваться вычислитьвероятности вида P(ξ = 5) = P{ω | ξ(ω) = 5}, P(ξ ∈ [−3, 7]), P(ξ > 3,2),P(ξ < 0) (и вообще самые разные вероятности попадания в борелевскиемножества на прямой).
Это возможно лишь если множества, стоящие подзнаком вероятности, являются событиями — ведь вероятность есть функция, определённая только на σ-алгебре событий. Требование измеримостиравносильно тому, что для любого борелевского множества B определенавероятность P(ξ ∈ B).Можно потребовать в определении 26 чего-нибудь другого. Например,чтобы событием было попадание в любой интервал: {ω | ξ(ω) ∈ (a, b)} ∈ F,или в любой полуинтервал: {ω | ξ(ω) < x} ∈ F.Убедимся, например, что эквивалентны определения 26 и 27:Определение 27. Функция ξ : Ω → R называется случайной величиной, если для любых вещественных a < b множество {ω | ξ(ω) ∈ (a, b)}принадлежит σ-алгебре F.Доказательство э к в и в а л е н т н о с т и о п р е д е л е н и й 26, 27.Если ξ — случайная величина в смысле определения 26, то она будет случайной величиной и в смысле определения 27, поскольку любой интервал(a, b) является борелевским множеством.Докажем, что верно и обратное.
Пусть для любого интервала (a, b)выполнено ξ−1 ((a, b)) ∈ F. Мы должны доказать, что то же самое верно и для любых борелевских множеств. Соберём в множествеA = {B ⊆ R | ξ−1 (B) ∈ F} все подмножества вещественной прямой, прообразы которых являются событиями. Множество A уже содержит все интервалы (a, b). Покажем теперь, что множество A является σ-алгеброй.По определению, B ∈ A тогда и только тогда, когда множество ξ−1 (B) == {ω | ξ(ω) ∈ B} принадлежит F.1.
Убедимся, что R ∈ A. Но ξ−1 (R) = Ω ∈ F и, следовательно, R ∈ A.2. Убедимся, что B ∈ A для любого B ∈ A. Пусть ξ−1 (B) ∈ F. Тогда−1ξ (B) = {ω | ξ(ω) 6∈ B} = Ω \ ξ−1 (B) ∈ F, так как F — σ-алгебра.3. Убедимся, что B1 ∪ B2 ∪ . . .
∈ A для любых B1 , B2 , . . . ∈ A.Пусть ξ−1 (Bi ) ∈ F для всех i > 1. Но F — σ-алгебра, поэтомуS n o∞∞∞SSξ−1Bi = ω ξ(ω) ∈Bi =ξ−1 (Bi ) ∈ F.i=1i=1i=1Мы доказали, что A — σ-алгебра и содержит все интервалы на прямой.Но B(R) — наименьшая из σ-алгебр, содержащих все интервалы на прямой. Следовательно, A содержит все множества из B(R) : B(R) ⊆ A.48ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределенияПриведём примеры измеримых и неизмеримых функций.Пример 30. Подбрасываем кубик. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, и двефункции из Ω в R заданы так: ξ(ω) = ω, η(ω) = ω2 . Пока не заданаσ-алгебра F, нельзя говорить об измеримости. Функция, измеримая относительно какой-то σ-алгебры F, может не быть таковой для другой F.1. Если F есть множество в с е х подмножеств Ω, то ξ и η являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходовпринадлежит F, в том числе и {ω | ξ(ω) ∈ B} или {ω | η(ω) ∈ B}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
