Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Можнозаписать соответствие между значениями случайных величин ξ и η и вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»:ξ123456η149162536P161616161616P161616161616Здесь P(ξ = 1) = . . . = P(ξ = 6) = P(η = 1) = . . . = P(η = 36) = 16 .2.
Пусть σ-алгебра событий F состоит из четырёх множеств:F = Ω, ∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6} ,т. е. событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение чётного или нечётного числа очков. Убедимся, что при такой сравнительно бедной σ-алгебре ни ξ, ни η не являются случайными величинами, поскольку они неизмеримы. Возьмём, скажем, B = {4}. Видим, что{ω | ξ(ω) = 4} = {4} 6∈ F и {ω | η(ω) = 4} = {2} 6∈ F.Упражнение.а) Какие функции измеримы относительно F = Ω, ∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6} ?б) Доказать, что ξ и η не являются случайными величинами, если F = {Ω, ∅}.в) Доказать, что относительно тривиальной σ-алгебры измеримы только функциивида ξ(ω) = c (постоянные).Пример 31.
Пусть Ω = [0, 2π], F = B(R) ∩ [0, 2π] — сигма-алгебраборелевских подмножеств отрезка [0, 2π], P(·) = λ(·) — мера Лебега на Fи A — неизмеримое множество Витали, построенное нами в примере 14.Функция(1, если ω ∈ A,ξ(ω) = IA (ω) =0, если ω 6∈ Aне является случайной величиной, поскольку, например, прообраз единицыξ−1 ({1}) = {ω | ξ(ω) = 1} = A не принадлежит F. И вероятность для ξпопасть в единицу P(ξ = 1) = λ(A) просто не существует.Познакомимся с важным понятием — «распределение» случайной величины и опишем различные типы распределений случайных величин.ГЛАВА 6.
Случайные величины и их распределения49§ 2. Распределения случайных величинОпределение 28. Распределением случайной величины ξ называетсявероятностная мера µ(B) = P(ξ ∈ B) на множестве борелевских подмножеств R.Можно представлять себе распределение случайной величины ξ как соответствие между множествами B ∈ B(R) и вероятностями P(ξ ∈ B).Распределения случайных величин суть основные объекты изученияв теории вероятностей. Мы не будем, как правило, интересоваться тем, изкакого множества действует функция и каким именно элементарным исходам сопоставляет свои возможные значения. Нас будет интересоватьлишь, с к а к о й в е р о я т н о с т ь ю эти значения принимаются. Приведёмнесколько примеров совершенно разных случайных величин, имеющих одно и то же распределение (одинаково распределённых).Пример 32.1.
Один раз бросается правильная монета. Пространство Ω состоит издвух элементарных исходов — герб и решка. В качестве σ-алгебры рассмотрим множество всех подмножеств Ω. Вероятность зададим как в классической схеме. Построим две случайные величины ξ и η так: положимξ(ω) = 1, если ω = герб, и ξ(ω) = 0, если ω = решка;η(ω) = 0, если ω = герб, и η(ω) = 1, если ω = решка.Очевидно, что для любого множества B ⊆ R вероятности принадлежатьB для ξ и η одинаковы. Тем не менее ни для одного элементарного исхода ωзначения ξ(ω) и η(ω) не совпадают. Т. е.
ξ и η одинаково распределены, но неодинаковы как функции.2. Точка наудачу бросается на отрезок [0, 1]. В этом случае Ω есть отрезок [0, 1] с σ-алгеброй борелевских подмножеств [0, 1] и мерой Лебегав качестве вероятности. Предлагаю читателю убедиться, что две совершенно разные функции: ξ(ω) = ω и η(ω) = 1 − ω (расстояния до упавшей точки от левого и от правого концов отрезка соответственно) обладают одинаковыми вероятностями принимать значения внутри любых борелевскихмножеств B. Вероятности эти равны мере Лебега пересечения множеств Bи [0, 1].
Таким образом, эти случайные величины снова одинаково распределены, но не одинаковы: их значения совпадают лишь при одном элементарном исходе ω = 0,5 (нарисовать графики функций ξ(ω) и η(ω)).3. На том же отрезке [0, 1] построим две функции: ξ(ω) = 0 при всех ω;η(ω) = 0 при всех ω, кроме ω = 0,5, а в точке ω = 0,5 положим η(ω) = −17.Поскольку мера Лебега точки (она же — вероятность) равна нулю, распределения величин ξ и η одинаковы. Теперь ξ(ω) и η(ω) снова не совпадаюткак функции, но отличаются их значения лишь на множестве нулевой веро-50ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределенияятности — только в точке ω = 0,5. В этом случае говорят, что ξ и η совпадают «почти наверное»: P(ξ = η) = 1.Опишем различные типы распределений случайных величин.
Вся вероятностная масса может быть сосредоточена в нескольких точках прямой,может быть «размазана» по некоторому интервалу или по всей прямой.В зависимости от типа множества, на котором сосредоточена вся единичная вероятностная масса, распределения делят на дискретные, абсолютнонепрерывные, сингулярные и их смеси.Определение 29. Cлучайная величина ξ имеет д и с к р е т н о ераспределение, если существует конечный или счётный набор чисел{a1 , a2 , . .
. } такой, что∞XP(ξ = ai ) = 1.i=1Итак, случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если онапринимает не более чем счётное число значений. Значения эти иначе называют а т о м а м и: ξ имеет атом в точке x, если P(ξ = x) > 0.Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, то для любого B ⊆ RXP(ξ ∈ B) =P(ξ = ai ).ai ∈BДискретное распределение удобно задавать следующей таблицей, в которой pi = P(ξ = ai ):ξa1a2a3...Pp1p2p3...Определение 30.
Cлучайная величина ξ имеет а б с о л ю т н он е п р е р ы в н о е распределение, если существует неотрицательнаяфункция fξ (x) такая, что для любого борелевского множества B имеетместо равенство:ZP(ξ ∈ B) =fξ (x) dx.BФункцию fξ (x) называют плотностью распределения величины ξ.Замечание 12. Интеграл выше есть интеграл Лебега, а не Римана. Вполне достаточно, если читатель, не знакомый с интегралом Лебега, будет представлять егосебе просто как площадь под графиком подынтегральной функции над множествомB.
При этом площадь над множеством B, имеющим нулевую меру Лебега, равна нулю. Заметим, что любая функция, отличающаяся от функции fξ (x) лишь в конечномили счётном числе точек (или на множестве нулевой меры Лебега), будет являться плотностью того же распределения, так как интеграл не изменится от измененияподынтегральной функции на множестве меры нуль.ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения51Теорема 17. Плотность распределения обладает свойствами:∞Z(f1) fξ (x) > 0 для любого x;(f2)fξ (t) dt = 1.−∞Доказательство.
(f1) выполнено по определению плотности, (f2) также следует из определения:ZP(ξ ∈ R) = 1 = fξ (x) dx.RЭти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:Теорема 18. Если функция f обладает свойствами (f1) и (f2), тосуществует вероятностное пространство и случайная величина ξна нём, для которой f является плотностью распределения.Доказательство. Пусть Ω есть область, заключенная между осьюабсцисс и графиком функции f . Площадь области Ω равна единице по свойству (f2). Пусть F — множество борелевских подмножеств Ω, а P — мера Лебега (площадь) на множествах из F.
И пусть случайная величина ξесть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область. Тогда для любогоB ∈ B(R) выполнено:Zплощадь DBP(ξ ∈ B) = P(точка попала в DB ) == f (x) dx.(10)площадь ΩBf (x)DBBxЗдесь область DB есть криволинейная трапеция под графиком плотности,с основанием B. По определению, равенство (10) означает, что функция fявляется плотностью распределения случайной величины ξ.Свойство 7. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то P(ξ = x) = 0 для любого x ∈ R.Д о к а з а т е л ь с т в о сразу следует из определения 30 и замечания 12,так как интеграл по области интегрирования, состоящей из одной точки, равен нулю.Можно выделить ещё один особый класс распределений, сосредоточенных, в отличие от абсолютно непрерывных распределений, на множественулевой меры Лебега, но не имеющих, в отличие от дискретных, атома нив одной точке этого множества.52ГЛАВА 6.
Случайные величины и их распределенияОпределение 31. Говорят, что случайная величина ξ имеетс и н г у л я р н о е распределение, если существует борелевское множество B с нулевой лебеговой мерой λ(B) = 0 такое, что P(ξ ∈ B) = 1,но при этом P(ξ = x) = 0 для любой точки x ∈ B.Можно отметить следующее свойство сингулярных распределений.Множество B, на котором сосредоточено всё распределение, не может состоять из конечного или счётногоPчисла точек. Действительно, если B конечно или счётно, то P(ξ ∈ B) =P(ξ = xi ), где суммирование ведётся повсем xi ∈ B. Последняя сумма равна нулю как сумма счётного числа нулей,что противоречит предположению P(ξ ∈ B) = 1.Таким образом, любое сингулярное распределение сосредоточено нанесчётном множестве с нулевой мерой Лебега.
Примером такого множестваможет служить канторовское совершенное множество, а примером такогораспределения — лестница Кантора (выяснить, что это такое!).Наконец, распределение может быть выпуклой линейной комбинациейдискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений.Определение 32. Говорят, что случайная величина ξ имеетс м е ш а н н о е распределение, если найдутся такие случайные величины ξ1 , ξ2 и ξ3 — с дискретным, абсолютно непрерывным и сингулярнымраспределениями соответственно (или такие три распределения), и числаp1 , p2 , p3 ∈ [0, 1), p1 + p2 + p3 = 1, что для любого B ∈ B(R) имеет месторавенство:P(ξ ∈ B) = p1 P(ξ1 ∈ B) + p2 P(ξ2 ∈ B) + p3 P(ξ3 ∈ B).По заданным на одном вероятностном пространстве случайным величинам ξ1 , ξ2 , ξ3 и числам p1 +p2 +p3 = 1 можно построить случайную величинусо смешанным распределением так: пусть ϕ — случайная величина с дискретным распределением на том же вероятностном пространстве такая, чтоP(ϕ = k) = pk для k = 1, 2, 3, и при любом k и любом B ∈ B(R) события{ϕ = k} и {ξk ∈ B} независимы.Построим случайную величину ξ так: ξ(ω) = ξk (ω), если ϕ(ω) = k, гдеk = 1, 2, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
