Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Мера и вероятностная мераМера как неотрицательная σ-аддитивная функция множеств.Определение 14. Пусть Ω — некоторое множество и F — σ-алгебраего подмножеств. Функция µ : F → R ∪ {+∞} называется м е р о й на(Ω, F), если она удовлетворяет условиям:(µ1) для любого множества A ∈ F его мера неотрицательна: µ(A) > 0;(µ2) для любого счётного набора попарно непересекающихся множествA1 , A2 , A3 , . . . ∈ F (т. е. такого, что Ai ∩ Aj = ∅ при всех i 6= j) мера ихобъединения равна сумме их мер:[ X∞∞µAi =µ(Ai )i=1i=1(«счётная аддитивность» или «σ-аддитивность» меры).Упражнение. Зачем в свойстве (µ2) требуется, чтобы события не пересекались? Может ли какая-нибудь функция µ : F → R удовлетворять свойствуµ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) при любых событиях A и B?Упражнение.
Указать область определения и область значений функции µ.Для каких A ⊂ Ω определено значение µ(A)?Пример 18. Пусть Ω = {a, b, c}, F = 2Ω — множество всех подмножеств Ω. Зададим меру µ на F так: µ{a} = 3, µ{b} = 17, µ{c} = 1,µ{a, b} = 20, µ{a, c} = 4, µ{b, c} = 18, µ{a, b, c} = 21, µ(∅) = 0. Длякраткости записи мы вместо µ({a}) писали всюду µ{a}.Пример 19. Пусть Ω = N, F = 2N — множество всех подмножеств натурального ряда. Зададим меру µ на F так: µ(A) = |A| — число элементовв множестве A (µ(A) = ∞, если множество A не является конечным).6 HenriLéon Lebesgue (28.06.1875 — 26.07.1941, France)28ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностейПример 20 (м е р а Л е б е г а6 ).
Когда мы говорили о геометрическойвероятности, мы использовали термин «мера области A в Rm », имея в виду «длину» на прямой, «площадь» на плоскости, «объем» в трёхмерномпространстве. Являются ли все эти «длины-площади-объемы» настоящими мерами в смысле определения 14? Мы решим этот вопрос для прямой,оставляя плоскость и пространство большей размерности читателю.Замечание 6.
Если вам уже расхотелось читать дальше, сообщаем: мерой Лебега в задачниках и учебниках называют как раз «длину-площадь-объем», так чтовсё в порядке, дальнейшее до п. 2 можно смело пропустить.Рассмотрим вещественную прямую с σ-алгеброй борелевских множеств.
Эта σ-алгебра, по определению, есть наименьшая σ-алгебра, содер-жащая любые интервалы. Для каждого интервала (a, b) ⊂ R число b − aназовём д л и н о й интервала (a, b).Мы не станем доказывать следующее утверждение:Лемма 1. Существует единственная м е р а λ на (R, B(R)),значение которой на любом интервале равно его длине: λ(a, b) == b − a. Эта мера называется м е р о й Л е б е г а.Замечание 7. Это утверждение является следствием теоремы Каратеодори7 опродолжении меры с алгебры на σ-алгебру, применительно к (R, B(R)).Нам пригодится свойство, которым обладает любая мера.
Это свойствон е п р е р ы в н о с т и м е р ы иногда называют а к с и о м о й непрерывности,имея в виду, что ею можно заменить (µ2) в определении 14.Лемма 2 (с в о й с т в о н е п р е р ы в н о с т и м е р ы). Пусть данаубывающая последовательность B1 ⊇ B2 ⊇ B3 ⊇ . . . множеств из F∞Tтакая, что µ(B1 ) < ∞ и B =Bn . Тогда µ(B) = lim µ(Bn ).n→∞n=1Доказательство.
Обозначим через Cn кольца: Cn == Bn \ Bn+1 . Множества B, C1 , C2 , C3 , . . . попарно непересекаются. Тогда из представлений[[∞∞B1 = B ∪Ci ,Bn = B ∪CiB3B2B1i=1i=nвытекают, в силу аксиомы (µ2), соответствующие равенства и для мер:∞∞XXµ(B1 ) = µ(B) +µ(Ci ),µ(Bn ) = µ(B) +µ(Ci ).i=1Первая сумма∞Pi=nµ(Ci ) в силу условия µ(B1 ) < ∞ есть сумма абсолютноi=1сходящегося ряда (составленного из неотрицательных слагаемых). Из схо7 ConstantinCarathéodory (13.09.1873 — 2.02.1950, Germany)ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностейдимости этого ряда следует, что «хвост» ряда, равный29∞Pµ(Ci ), стремитсяi=nк нулю при n → ∞. Поэтому∞Xµ(Bn ) = µ(B) +µ(Ci ) −→ µ(B) + 0 = µ(B).i=nn→∞В полезности этого свойства легко убедиться упражнениями.Упражнение.
Используя аксиому непрерывности меры для убывающей последовательности множеств Bn = (x − 1/n, x + 1/n), доказать, что мера Лебегаодноточечного подмножества {x} вещественной прямой равна нулю: λ {x} = 0. Используя этот факт, доказать, что λ (N) = 0, λ (Z) = 0, λ (Q) = 0, λ (a, b) = λ [ a, b ].Замечание 8. В отсутствие предположения µ(B1 ) < ∞ (или µ(Bn ) < ∞ длянекоторого n > 1), заставляющего меры вложенных множеств быть конечными,свойство µ(B) = lim µ(Bn ) может не выполняться.n→∞Например, зададим меру на B(R) так: µ(B) = 0, если B не более чем счётно,иначе µ(B) = ∞.
Тогда для множеств Bn = (x − 1/n, x + 1/n) имеем:B=∞\Bn = {x},µ(Bn ) = ∞ 6→ µ(B) = 0.n=1И вот наконец мы в состоянии определить понятие в е р о я т н о с т и.Вероятность как нормированная мера.Определение 15. Пусть Ω — непустое множество и F — σ-алгебраего подмножеств. Мера µ : F → R называется н о р м и р о в а н н о й, еслиµ(Ω) = 1. Другое название нормированной меры — в е р о я т н о с т ь илив е р о я т н о с т н а я м е р а.То же самое ещё раз и подробно:Определение 16.
Пусть Ω — пространство элементарных исходов, F — σ-алгебра его подмножеств (событий). В е р о я т н о с т ь ю илив е р о я т н о с т н о й м е р о й на (Ω, F) называется функция P : F → R,обладающая свойствами:(P1) для любого события A ∈ F выполняется неравенство P(A) > 0;(P2) для любого счётного набора попарно несовместных событийA1 , A2 , A3 , . . .
∈ F имеет место равенство[ X∞∞PAi =P(Ai );i=1i=1(P3) вероятность достоверного события равна единице: P(Ω) = 1.Свойства (P1) — (P3) называют аксиомами вероятности.Определение 17. Тройка hΩ, F, Pi, в которой Ω — пространство элементарных исходов, F — σ-алгебра его подмножеств и P — вероятностнаямера на F, называется в е р о я т н о с т н ы м п р о с т р а н с т в о м.30ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностейДокажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом.
Ниже мы не будем всякий раз оговаривать, что имеем дело только с событиями.С в о й с т в о 0. P(∅) = 0.B События Ai = ∅, где i > 1, попарно несовместны, и их объединениеесть также пустое множество. По аксиоме (P2),∞∞XXP(∅) =P(Ai ) =P(∅).i=1i=1Это возможно только в случае P(∅) = 0.Аксиома счётной аддитивности вероятности (P2) тем более верна дляконечного набора попарно несовместных событий.С в о й с т в о 1. Для любого к о н е ч н о г о набора попарно несовместных событий A1 , .
. . , An ∈ F имеет место равенство[ XnnAi =PP(Ai ).i=1i=1B Положим Ai = ∅ при любом i > n. Вероятности этих событий, посвойству 0, равны нулю. События A1 , . . . , An , ∅, ∅, ∅, . . . попарно несовместны, и по аксиоме (P2),[[ Xn∞∞nXAi = PAi =PP(Ai ) =P(Ai ).i=1i=1i=1i=1Сразу несколько следствий можно получить из этого свойства.С в о й с т в о 2. Для любого события A выполнено: P(A) = 1 − P(A).B Поскольку A ∪ A = Ω, и события A и A несовместны, из аксиомы(P3) и свойства 1 получим P(A) + P(A) = P(Ω) = 1.С в о й с т в о 3. Если A ⊆ B, то P(B \ A) = P(B) − P(A).B Представим B в виде объединения двух несовместных событий: B == A ∪ (B \ A).
По свойству 1, P(B) = P(A) + P(B \ A).Сразу же заметим, что по аксиоме (P1) выражение в правой части равенства P(B) = P(A) + P(B \ A) больше либо равно P(A), что доказываетследующее свойство м о н о т о н н о с т и вероятности.С в о й с т в о 4. Если A ⊆ B, то P(A) 6 P(B).С в о й с т в о 5. Для любого события A выполнено: 0 6 P(A) 6 1.B P(A) > 0 по (P1). А так как A ⊆ Ω, то P(A) 6 P(Ω) = 1.С в о й с т в о 6.
Всегда P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).B Имеем A∩B ⊆ B, поэтому P(B \(A∩B)) = P(B)−P(A∩B) по свойству 3. Но A ∪ B = A ∪ (B \ (A ∩ B)), причём A и B \ (A ∩ B) несовместны.Снова пользуясь свойством 1, получим:P(A ∪ B) = P(A) + P(B \ (A ∩ B)) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей31Из этого свойства и аксиомы (P1) следуют два полезных свойства.Свойство 8 читатель докажет с помощью свойства 7.С в о й с т в о 7. Всегда P(A ∪ B) 6 P(A) + P(B).nPС в о й с т в о 8. Совершенно всегда P(A1 ∪ . . .
∪ An ) 6P(Ai ).i=1Следующее свойство называют формулойвключенияии с к л ю ч е н и я. Она оказывается весьма полезной в случае, когдадля вычисления вероятности некоторого события A нельзя разбить этособытие на удобные попарно несовместные события, но удаётся разбитьсобытие A на простые составляющие, которые, однако, совместны.С в о й с т в о 9. Для любого конечного набора событий A1 , . . ., An имеет место равенство:nXXP(A1 ∪ . .
. ∪ An ) =P(Ai ) −P(Ai Aj ) +i=1X+i<jn−1P(Ai Aj Am ) − . . . + (−1)P(A1 A2 . . . An ). (2)i<j<mB Воспользуемся методом математической индукции. Базис индукциипри n = 2 — свойство 6. Пусть свойство 9 верно при n = k − 1. Докажем,что тогда оно верно при n = k. По свойству 6,[ k−1kk−1[ [ Ai = PAi + P (Ak ) − P Ak ∩Ai .P(3)i=1i=1i=1По предположению индукции, первое слагаемое в правой части (3) равно k−1[ k−1XXPAi =P(Ai ) −P(Ai Aj ) +i=1i=1X+16i<j6k−1k−2P(Ai Aj Am ) − . . . + (−1)P(A1 A2 . . . Ak−1 ).
(4)16i<j<m6k−1Вычитаемое в правой части (3) равно k−1 k−1k−1[ [XP Ak ∩Ai = PAi Ak =P(Ai Ak ) −i=1+Xi=1i=1XP(Ai Aj Ak ) +16i<j6k−1k−2P(Ai Aj Am Ak ) − . . . + (−1)P(A1 A2 . . . Ak−1 Ak ). (5)16i<j<m6k−1Упражнение. Подставить (4), (5) в (3) и довести до конца шаг индукции.Приведём пример задачи, в которой использование свойства 9 — самыйпростой путь решения. Это известная «задача о рассеянной секретарше».32ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностейПример 21. Есть n писем и n подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу по одному. Найти вероятность того, что хотябы одно письмо попадет в предназначенный ему конверт, и предел этой вероятности при n → ∞.Р е ш е н и е.
Пусть событие Ai , i = 1, . . . , n, означает, что i-е письмопопало в свой конверт. ТогдаA = {хотя бы одно письмо попало в свой конверт} = A1 ∪ . . . ∪ An .Так как события A1 , . . ., An совместны, придётся использовать формулу (2). По классическому определению вероятности вычислим вероятностивсех событий Ai и их пересечений. Элементарными исходами будут всевозможные перестановки (размещения) n писем по n конвертам. Их общеечисло есть |Ω| = n!, и событию Ai благоприятны (n − 1)! из них, а именнолюбые перестановки всех писем, кроме i-го, лежащего в своём конверте.Поэтому P(Ai ) = (n − 1)! / n! = 1/ n для всех i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
