Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωN }. Предположим, чтоиз каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходыр а в н о в о з м о ж н ы м и. Тогда вероятность любого из них принимаетсяравной 1 / N .
Эти соображения не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте (симметричнаямонета, хорошо перемешанная колода карт, правильная кость).Если событие A = {ωi1 , . . . , ωik } состоит из k элементарных исходов, товероятность этого события равняется отношению k / N :|A|1P(A) = pi1 + . . . + pik = k ·=,N|Ω|где символом |A| обозначено число элементов конечного множества A.ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схема15Определение 7. Говорят, что эксперимент удовлетворяет «классическому определению вероятности», если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа |Ω| = N равновозможных исходов.
В этомслучае вероятность любого события A вычисляется по формуле|A|,|Ω|называемой к л а с с и ч е с к и м о п р е д е л е н и е м в е р о я т н о с т и.Формулу P(A) = |A| / |Ω| читают так: «вероятность события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию A, к общему числуисходов». Полезно сравнить это определение с классической формулировкой Якоба Бернулли1 : «Вероятность есть степень достоверности и отличается от неё как часть от целого» (Ars Conjectandi, 1713 г.)Мы видим, что вычисление вероятности в классической схеме сводитсяк подсчёту общего числа «шансов» и числа шансов, благоприятствующихсобытию.
Число шансов считают с помощью формул комбинаторики.Рассмотрим урновые схемы из параграфа 1. Будем исходить из предположения о том, что появление любого шара равновозможно. Тогда три схемы: с возвращением и с учётом порядка, без возвращения и с учётом порядка, а также без возвращения и без учёта порядка, удовлетворяют классическому определению вероятности. Общее число элементарных исходовв этих схемах подсчитано в теоремах 4, 2, 3 и равно соответственно nk , Akn ,Cnk . Четвёртая же схема — схема выбора с возвращением и без учёта порядка — имеет заведомо н е р а в н о в о з м о ж н ы е исходы.Пример 5. Рассмотрим выбор двух шариков из двух или, что то же самое, дважды подбросим монету.
Если учитывать порядок, то исходов получится четыре, и все они равновозможны, т. е. имеют вероятность по 1/4:P(A) =(г е р б, г е р б), (р е ш к а, р е ш к а), (р е ш к а, г е р б), (г е р б, р е ш к а).Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента, и получить не четыре, а три исхода:(д в а г е р б а), (д в е р е ш к и), (о д и н г е р б и о д н а р е ш к а).Первые два исхода имеют вероятности по 1/4, а последний — вероятность1/4 + 1/4 = 1/2.Упражнение. Посчитать число элементарных исходов в примере 2. Какимстанет пространство элементарных исходов, если порядок костей не учитывать? Посчитать число элементарных исходов в таком пространстве (пользуясь теоремой 5или прямым подсчётом). Убедиться, что их ровно C72 = 21.
Равновозможны ли этиисходы? Посчитать вероятность каждого.1 JacobBernoulli (27.12.1654 — 16.08.1705, Basel, Switzerland)16ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схемаГипергеометрическое распределение.Пример 6. Из урны, в которой K белых и N −K чёрных шаров, наудачуи без возвращения вынимают n шаров, n 6 N . Термин «наудачу» означает,что появление любого набора из n шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано k белых и n − k чёрных шаров.Р е ш е н и е. При k > K или n − k > N − K искомая вероятностьравна нулю, так как соответствующее событие невозможно.
Пусть k 6 Kи n − k 6 N − K.Результатом эксперимента является набор из n шаров. Можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров. Вероятность не должназависеть от способа подсчёта.Выбор без учёта порядка. Общее число элементарных исходов естьчисло n-элементных подмножеств множества, состоящего из N элементов:n|Ω| = CNпо теореме 3.Обозначим через Ak событие, вероятность которого требуется найти.Событию Ak благоприятствует появление любого набора, содержащего kбелых шаров и n − k чёрных.
Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа способов выбрать k белых шаров из K и числаn−kk· CNспособов выбрать n − k чёрных шаров из N − K, т. е. |Ak | = CK−K .Вероятность события Ak равнаP(A) =n−kkCNCK−K.nCN(1)Выбор с учётом порядка. Общее число элементарных исходов естьчисло способов разместить N элементов на n местах. По теореме 2|Ω| = AnN = N (N − 1) · .
. . · (N − n + 1).При подсчёте числа благоприятных исходов нужно учесть число способов выбрать k белых и n − k чёрных шаров и число способов расположитьэти шары среди n. Можно, скажем, посчитать число способов выбрать kмест среди n, равное Cnk , затем число способов разместить на этих k местахK белых шаров, равное AkK , и затем число способов разместить на оставшихся n − k местах N − K чёрных шаров, равное An−kN −K . Перемножив (почему?) эти числа, получим|Ak | = Cnk · AkK · An−kN −K ,P(Ak ) =n−kkCKCNCnk AkK An−k−KN −K=.nAnNCNВ рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из k белых иn − k чёрных шаров вероятность P(Ak ) получить этот набор при выборе nшаров из урны, содержащей K белых и N − K чёрных шаров.ГЛАВА 1.
Классическая вероятностная схема17Определение 8. Соответствие между числом k и вероятностьюn−kkCKCN−K,nCNгде k таково, что 0 6 k 6 n, k 6 K и n − k 6 N − K, называетсяг и п е р г е о м е т р и ч е с к и м р а с п р е д е л е н и е м.Здесь мы в первый, но далеко не в последний раз встретились с термином«распределение» вероятностей. Это слово всегда обозначает некий способразделить (распределить) общую единичную вероятность между какими-тоточками или множествами на вещественной прямой.В гипергеометрическом распределении единичная вероятность распределена между подходящими целыми числами k неравномерно. Каждому целому числу k сопоставлена своя вероятность P(Ak ).
На вещественной прямой можно единичную вероятность распределить по-разному. Этим однораспределение отличается от другого: тем, на каком множестве чисел «распределена» общая единичная вероятность, и тем, какие веса, или вероятности, присвоены отдельным точкам или частям этого множества.P(Ak ) =Упражнение. Понять последний абзац.Задание вероятностей на дискретном пространстве. Если пространство элементарных исходов счётно, но не конечно, нельзя всем элементарным исходам присвоить одинаковые вероятности (почему?). Приведём примеры того, какими могут быть вероятности на таком пространстве.Пример 7. Пусть Ω = N.
Зададим вероятность элементарного исходаi ∈ N так: pi = 1/2i . Проверим, что набор таких вероятностей удовлетворяет определению 6. По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1/2 и знаменателем 1/2 < 1 имеем:∞XX11/2pi === 1.i21−1/2i=1i∈NПример 8. На том же самом множестве Ω = N зададим вероятноститак: p1 = .
. . = p100 = 0,01, pi = 0 для i > 100.Пример 9. На том же Ω = N положим p1 = 0,3, p1372 = 0,7,остальные pi равны нулю. Читатель легко найдёт вероятность события A == {1000, 1001, . . . , 1500} ⊂ Ω.7i −7e для i =Пример 10. Пусть теперь Ω = N ∪ {0}. Положим pi =i!= 0, 1, 2, .
. . Проверим, равна ли единице сумма вероятностей всех элементарных исходов. Собрав разложенную в ряд Тейлора экспоненту, получим:∞XX7ipi = e−7= e−7 e7 = 1.i!i=0ωi ∈ΩГЛАВА 2Геометрическая вероятностьПусть будет поставлен следующий вопрос: если кто-нибудь стреляет наудачу, то какова вероятность, чтобы центр пули на пути своём прошел точно через центр того яблока, которое висит на этомдереве. Каждый должен признать, что многообразие всех возможных здесь случаев, отвечающих подобной h.
. . i вероятности, будетбесконечно, откуда следует, что степень этой вероятности имеет величину, которая равна 1/∞.Б. Больцано, Парадоксы бесконечного§ 1. Определения и примерыРассмотрим какую-нибудь область Ω в Rm (на прямой, на плоскости, в пространстве). Предположим, что «мера» Ω (длина, площадь,qобъем, соответственно) конечна. Пусть случайный'$эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаемв эту область точку. Термин «наудачу» означает, чтоΩвероятность попадания точки в любую часть A ⊂ ΩA&%не зависит от формы или расположения A внутри Ω.Определение 9.
Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы м о ж н о изобразить точками некоторой области Ω в Rm так, что вероятность попадания точки в любую часть A ⊂ Ω не зависит от формы или расположения A внутри Ω, а зависит лишь от меры области A и пропорциональна этой мере:µ(A)P(A) =,µ(Ω)где µ(A) обозначает меру области A (длину, площадь, объем и т.д.).Если для точки, брошенной в область Ω, выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка р а в н о м е р н ор а с п р е д е л е н а в области Ω.Пример 11. Точка наудачу бросается на отрезок [0, 1].
Вероятность ейпопасть в точку 0,5 равна нулю, так как равна нулю мера множества, состо-ГЛАВА 2. Геометрическая вероятность19ящего из одной точки («длина точки»). Но попадание в точку 0,5 не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента. Общее число элементарных исходов здесь бесконечно, но все онипо-прежнему «равновозможны» — уже не в смысле классического определения вероятности, применить которое здесь нельзя из-за бесконечностичисла исходов, а в смысле определения 9.Задача о встрече.Пример 12. Два лица X и Y условились встретиться в определённомместе между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другогов течение 10 минут, после чего уходит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
