Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Перебрав все возможные способы расставить k шаров на этихn−1+k местах (заполняя оставшиеся места перегородками), переберем всенужные размещения.n−1kОсталось заметить, что существует Cn−1+k= Cn+k−1способов расставить k шаров на n − 1 + k местах. Именно столько есть способов выбратьиз n − 1 + k номеров мест k номеров мест для шаров.Упражнение.а) Найти количество способов разложить натуральное число k в сумму n целыхнеотрицательных слагаемых, если важен порядок следования этих слагаемых.б) Найти число различных производных порядка k функции n переменных.в) Найти число возможных результатов подбрасывания двух игральных костей, если кости считаются неразличимыми. То же самое для трёх игральных костей.ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схема11§ 2.
Элементарная теория вероятностейПредмет теории вероятностей. Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее.Невозможность предсказать результат отличает с л у ч а й н о е явление отд е т е р м и н и р о в а н н о г о.Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в однихи тех же условиях.
Случайность и хаос — не одно и то же. Оказывается, чтои в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например свойство «статистической устойчивости»: если A — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, тодоля n(A) / n экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов n,приближаясь к некоторому числу P(A).
Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию A произойти.Следует помнить, что мы занимаемся математикой и имеем дело не с реальностью, а лишь с её математической моделью. Мы и будем изучать только математические модели, а приложение их к реальности оставим на долюматематической и практической статистики.Пространство элементарных исходов.Определение 1. П р о с т р а н с т в о м э л е м е н т а р н ы х и с х о д о в Ω(«омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
Элементы этого множества называют э л е м е н т а р н ы м ии с х о д а м и и обозначают буквой ω («омега»).Определение 2. С о б ы т и я м и мы будем называть подмножествамножества Ω. Говорят, что в результате эксперимента п р о и з о ш л ос о б ы т и е A ⊆ Ω, если в эксперименте произошел один из элементарныхисходов, входящих в множество A.Замечание 2. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно любые подмножества множества Ω, а лишь элементы некоторого набора подмножеств.О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.Пример 1. Один раз подбрасывается кубик — игральная кость.
Рассмотрим пространство элементарных исходов Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} == { , , , , , }, элементарные исходы здесь соответствуют числувыпавших очков.Примеры событий: A = {1, 2} = { , } — выпало одно или два очка;B = {1, 3, 5} = { , , } — выпало нечётное число очков.12ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схемаПример 2. Два раза подбрасывается игральная кость. Или, что то жесамое, один раз подбрасываются две игральные кости. Будем считать пространством элементарных исходов множество пар чисел (i, j), где i (сответственно, j) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: Ω = {(i, j), где 1 6 i, j 6 6}.Примеры событий:A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} — при первом подбрасываниивыпало одно очко;B = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)} — при втором подбрасываниивыпало одно очко;C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} — на костях выпало одинаковоечисло очков;D = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} — на обеихкостях выпало нечётное число очков.Пример 3.
На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты. Пространство элементарных исходов — множество точек стола. Если нам не безразличенугол поворота монеты, то можно добавить к множеству положений центра величину этого угла. В этом случае Ω есть множество пар {(x, ϕ)}, гдеx ∈ R2 — точка стола и ϕ ∈ [0, 2π) — угол поворота. Число элементарныхисходов такого эксперимента несчётно.Пример 4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверхгербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, носчётного числа исходов: Ω = { г, рг, ррг, рррг, ррррг, рррррг, .
. .}, где розначает выпадение решки, а г — герба при одном подбрасывании.Определение 3. 1. Д о с т о в е р н ы м называется событие, котороеобязательно происходит в результате эксперимента, т. е. единственное событие, включающее все элементарные исходы — событие Ω.2. Н е в о з м о ж н ы м называется событие, которое не может произойтив результате эксперимента, т. е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ∅).
Заметим, что всегда ∅ ⊂ Ω.Операции над событиями. В теории вероятностей существуют ровноте же операции над множествами, что и в теории множеств.Определение 4. 1. О б ъ е д и н е н и е м A ∪ B событий A и Bназывается событие, состоящее в том, что произошлоA∪BAлибо A, либо B, либо оба события одновременно.На языке теории множеств A ∪ B есть множество, соBдержащее как элементарные исходы из множества A,так и элементарные исходы из множества B.ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схема132. П е р е с е ч е н и е м A ∩ B событий A и B называется событие,состоящее в том, что произошли оба события A и BAодновременно.
На языке теории множеств A ∩ B естьA∩Bмножество, содержащее элементарные исходы, входяBщие в пересечение множеств A и B.3. П р о т и в о п о л о ж н ы м (или дополнительным)к событию A называется событие A = Ω\A, состоящееAв том, что событие A в результате эксперимента не произошло. Т. е. множество A состоит из элементарных исAходов, не входящих в A.4. Д о п о л н е н и е м A\B события B до A называA\Bется событие, состоящее в том, что произошло событие A, но не произошло B.
Т. е. множество A\B содерABжит элементарные исходы, входящие в множество A, ноне входящие в B.Определение 5.1. События A и B называют н е с о в м е с т н ы м и, если A ∩ B = ∅.2. События A1 , . . . , An называются п о п а р н оAн е с о в м е с т н ы м и, если для любых i 6= j, где1 6 i, j 6 n, события Ai и Aj несовместны.B3. Говорят, что событие A в л е ч ё т событие B,и пишут A ⊆ B, если всегда, как только происходит событие A, происходит и событие B. На языке теориимножеств это означает, что любой элементарный исход,ABвходящий в множество A, одновременно входит и в множество B, т. е.
A содержится в B.Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов.Пространство элементарных исходов назовём д и с к р е т н ы м, если оно конечно или счётно: Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn , . . . }.Так, эксперименты из примеров 1, 2 и 4 (но не 3) приводят к дискретнымпространствам элементарных исходов.Замечание 3. Множество счётно, если существует взаимно-однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных чисел. Счётнымимножествами являются множество натуральных чисел, множество целых чисел (доказать), множество рациональных чисел (доказать), множество чётных чисел и т. д.Множество конечно, если оно состоит из конечного числа элементов.Чтобы определить вероятность любого события на дискретном пространстве элементарных исходов, достаточно присвоить вероятность каждому элементарному исходу.
Тогда вероятность любого события определяется как сумма вероятностей входящих в него элементарных исходов.14ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схемаОпределение 6. Поставим каждому элементарному исходу ωi ∈ Ωв соответствие число pi ∈ [0, 1] так, чтоXpi = 1.ωi ∈ΩНазовём число pi вероятностью элементарного исхода ωi . Вероятностьюсобытия A назовём числоXP(A) =pi ,ωi ∈Aравное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих в множество A. В случае A = ∅ положим P(A) = 0.Замечание 4. Позднее, познакомившись с аксиоматикой теории вероятностей,мы зададим вероятности событий непосредственно, а не через вероятности элементарных исходов. Тем более, что сложением вероятностей элементарных исходовможно получить лишь вероятность события, состоящего не более чем из счётногочисла элементарных исходов (иначе само понятие суммирования не определено).
Нона дискретном пространстве элементарных исходов определить вероятности событий так, как это сделано в определении 6, всегда возможно.Перечислим очевидные в случае дискретного пространства свойства вероятности, которые мы скоро докажем сразу в общем случае.1. 0 6 P(A) 6 1;P(Ω) = 1;P(A) = 1 − P(A);2. Если A и B несовместны, то P(A ∪ B) = P(A) + P(B);3. В общем случае P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B);4. Если A ⊆ B, то P(A) 6 P(B).Упражнение. Доказать свойства 1 — 4, пользуясь определением 6.Рассмотрим частный случай такой вероятности — так называемую«классическую вероятность».Классическое определение вероятности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
