Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Доказать, что если Ω состоит из n элементов, то в множествевсех его подмножеств ровно 2n элементов.Сигма-алгебра событий. В теории вероятностей часто возникаетнеобходимость объединять счётные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказываетсянедостаточно: из него не вытекает, что объединение счётной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумноналожить более суровые ограничения на класс событий.Определение 11. Множество F, элементами которого являются подмножества множества Ω (не обязательно все) называется σ-а л г е б р о й (σалгеброй событий), если выполнены следующие условия:(S1) Ω ∈ F (σ-алгебра событий содержит достоверное событие);(S2) если A ∈ F, то A ∈ F (вместе с любым событием σ-алгебра содержит противоположное событие);(S3) если A1 , A2 , .
. . ∈ F, то A1 ∪ A2 ∪ . . . ∈ F (вместе с любымс ч ё т н ы м набором событий σ-алгебра содержит их объединение).Упражнение.а) Доказать, что вместо (S1) достаточно предположить непустоту множества F.б) Вывести из (S1) и (S2), что ∅ ∈ F.Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества F относительно счётного числа любых других операций над событиями. В частности,аналогично свойству 1 проверяется следующее утверждение.24ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностейСвойство 2. В определении 11 можно заменить (S3) на (S4):(S4) если A1 , A2 , .
. . ∈ F, то A1 ∩ A2 ∩ . . . ∈ F.Как показывает следующее свойство, всякая σ-алгебра есть алгебра.Свойство 3. Если F — σ-алгебра, то она удовлетворяет свойству (A3), т. е. для любых A ∈ F и B ∈ F выполняется A ∪ B ∈ F.Доказательство. Превратим пару A, B в счётную последовательность событий так: A, B, B, B, B, .
. . , т. е. положим A1 = A, Ai = B привсех i > 2. Объединение A ∪ B совпадает с объединением всех множествAi из этой бесконечной последовательности. А так как F — σ-алгебра, то∞[A∪B =Ai ∈ F.i=1Упражнение. Докажите, что для любых A, B ∈ F выполнено A \ B ∈ F.Итак, всякая σ-алгебра автоматически является алгеброй, но не наоборот.
Приведём пример алгебры, не являющейся σ-алгеброй.Пример 16. Пусть Ω = R, и пусть A — множество, содержащее любыеконечные подмножества R (т. е. состоящие из конечного числа точек, в томчисле пустое) и их дополнения. В частности, множество {0, 2, π} принадлежит A, множество (−∞, −7,2) ∪ (−7,2, 5) ∪ (5, ∞) принадлежит A.Легко проверить, что множество A является алгеброй. Действительно,пустое множество и само Ω = R там содержатся, дополнение к любому конечному подмножеству множества вещественных чисел содержится в A поопределению, дополнение к множеству вида R \ A для конечных A совпадает с A и также принадлежит A по определению. Свойство (A3) проверяетсянепосредственно: объединение любых конечных множеств снова конечно ипоэтому принадлежит A.
Объединение конечного множества с множествомвида R \ A, где A конечно, есть снова множество вида R \ B, где B конечно(или пусто). Объединение двух множеств R \ A и R \ B, являющихся дополнениями до R конечных множеств A и B, есть снова множество такого жевида.Однако алгебра A не содержит ни одного счётного множества точек.Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный ряд Nне принадлежит A. Поэтому A не является σ-алгеброй: для бесконечной,но счётной последовательности одноточечных множеств Ai = {i} из A ихобъединение N = A1 ∪ A2 ∪ .
. . не принадлежит A.Все алгебры из примера 15 являются σ-алгебрами, поскольку содержатлишь конечное число элементов. Вообще, на конечном множестве Ω понятия алгебры и σ-алгебры совпадают. Множество всех подмножеств Ω является σ-алгеброй для любого Ω.ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей25Борелевская5 σ-алгебра в R. Приведём пример σ-алгебры, котораянам будет необходима в дальнейшем,— σ-алгебры б о р е л е в с к и х множеств на вещественной прямой.Борелевской сигма-алгеброй в R называется самая маленькая средивсех возможных σ-алгебр, содержащих любые интервалы на прямой.
Разумеется, σ-алгебры, содержащие все интервалы, существуют. Например,множество всех подмножеств R — это σ-алгебра, и она содержит все интервалы. Что же такое «самая маленькая σ-алгебра» из нескольких данных? Обратимся к примерам.Пример 17. Пусть Ω = R — вещественная прямая.
Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся σ-алгебрами, и увидим, как ихможно дополнить до σ-алгебр.1. Множество A = {R, ∅, [0, 1], {0}} не является σ-алгеброй,так как, например, [0, 1] = R \ [0, 1] = (−∞, 0) ∪ (1, ∞) 6∈ A. Самый маленький набор множеств, содержащий A и являющийся σ-алгеброй(м и н и м а л ь н а я σ-алгебра), получится, если включить в него всевозможные объединения, пересечения и дополнения множеств из A:F = { R, ∅, [0, 1], {0}, (−∞, 0) ∪ (1, ∞), (0, 1], (−∞, 0] ∪ (1, ∞),(−∞, 0) ∪ (0, ∞)}. Более точно:Определение 12.
Минимальной σ-алгеброй, содержащей набор множеств A, называется пересечение всех σ-алгебр, содержащих A.Ещё раз напомним, что пересекать в определении 12 есть что: хотя быодна σ-алгебра, содержащая данный набор множеств, всегда найдётся —это σ-алгебра всех подмножеств Ω (в данном случае Ω = R).Упражнение. Доказать, что пересечение д в у х σ-алгебр, содержащих набормножеств A, снова является σ-алгеброй (невероятно!), содержащей A.Упражнение.
Найти минимальную σ-алгебру, содержащую следующий наборподмножеств R : A = {R, ∅, [0, 1], {3}}.2. Пусть множество A подмножеств вещественной прямой R состоитиз в с е в о з м о ж н ы х открытых интервалов (a, b), где a < b:A = {(a, b) | − ∞ < a < b < ∞}.Упражнение. Проверить, что множество A всех интервалов ни в коем случаене является ни алгеброй, ни σ-алгеброй! Указание: привести примеры двадцатимножеств из A, дополнения к которым не принадлежат A; привести примеры пятимножеств из A, любые объединения которых не принадлежат A.Определение 13. Минимальная σ-алгебра, содержащая множество Aвсех интервалов на вещественной прямой, называется б о р е л е в с к о й σ-алгеброй в R и обозначается B(R).5 FélixEdouard Justin Emile Borel (7.01.1871 — 3.02.1956, France)26ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностейПеречислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в B(R)по определению.
Таковы все привычные нам множества. Чтобы получитьмножество, не содержащееся в B(R), требуются специальные построения.Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат B(R), и B(R) —σ-алгебра. Отсюда сразу следует, что B(R) содержит любое множество, которое можно получить из интервалов с помощью счётного числа операцийобъединения или пересечения, а также взятием дополнения.В частности, R принадлежит B(R). Это сразу следует из свойства (S1)σ-алгебры, но может быть доказано и исходя из свойств (S2), (S3).B Интервал (−n, n) принадлежит A, а значит, принадлежит и B(R)при любом n ∈ N, т. е. (−n, n) ∈ B(R).
Но B(R) — σ-алгебра, и содержитсчётное объединение любых своих элементов, поэтому∞[(−n, n) ∈ B(R).R=n=1Далее, любой интервал вида (a, b ] (или [a, b), или [a, b ]), где a < b, принадлежит B(R).B Интервал (a, b + 1/ n) принадлежит B(R) при любом n ∈ N. Тогдасчётное пересечение этих интервалов∞ \1(a, b ] =a, b +nn=1по свойству (S4) также принадлежит B(R).Упражнение. Докажите, что (a, b ] =∞T(a, b + 1/n) по определению пере-n=1сечения множеств: x ∈ A ∩ B тогда и только тогда, когда x ∈ A и x ∈ B.Любое одноточечное подмножество {b} ⊂ R принадлежит B(R).B Действительно, {b} = (a, b ] \ (a, b), а разность A \ B = A ∩ B двухмножеств из σ-алгебры снова принадлежит σ-алгебре.Упражнение.
Докажите, что множества вида (a1 , b1 ) ∪ (a2 , b2 ) принадлежатB(R), что множество натуральных чисел N принадлежит B(R), множество рациональных чисел Q принадлежит B(R).3. Борелевская σ-алгебра в Rn строится совершенно так же, как в R.Это должна быть минимальная σ-алгебра, содержащая все множества вида(a1 , b1 ) × . . . × (an , bn ) — уже не интервалы, как в R, а прямоугольникив R2 , параллелепипеды в R3 и т.
д. Вместе с ними B(Rn ) содержит любыемножества, являющиеся «предельными» для объединений измельчающихся прямоугольников. Например, круг в R2 является борелевским множеством — можно изнутри или снаружи приблизить его объединениями прямоугольников.ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей27Итак, мы определили специальный класс F подмножеств пространстваэлементарных исходов Ω, названный σ-алгеброй событий, причём применение счётного числа любых операций (объединений, пересечений, дополнений) к множествам из F снова дает множество из F, т. е.
не выводитза рамки этого класса. С о б ы т и я м и будем называть только множестваA ∈ F.Определим теперь понятие в е р о я т н о с т и как функции, определённой на множестве событий (функции, которая каждому событию ставит всоответствие число — вероятность этого события).А чтобы читателю сразу стало понятно, о чём пойдёт речь, добавим: вероятность мы определим как н е о т р и ц а т е л ь н у ю н о р м и р о в а н н у юм е р у, заданную на σ-алгебре F подмножеств Ω. Следующий параграф познакомит нас с понятиями меры и вероятностной меры.§ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
