Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Классическая вероятностная схема7множества A. Т. е. всего возможно km пар, в которых первый элемент выбран из множества A, а второй — из множества B.а)б)в)г)д)Упражнение. С помощью теоремы 1 доказать, что:при подбрасывании трёх монет возможно 2 · 2 · 2 = 8 различных результатов;бросая дважды игральную кость, получим 6 · 6 = 36 различных результатов;трёхзначных чисел бывает 9 · 10 · 10 = 900;трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9 · 9 · 8;чётных трёхзначных чисел возможно 9 · 10 · 5;Урны и шарики.
Есть урна (ящик), содержащая n пронумерованныхобъектов (шаров). Мы выбираем из этой урны k шаров; результатом выбора является набор из k шаров. Нас интересует, сколькими способами можновыбрать k шаров из n, или с к о л ь к о р а з л и ч н ы х р е з у л ь т а т о в может получиться. На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мыне определимся: а) с тем, как организован выбор (можно ли шары возвращать в урну), и б) с тем, что понимается под р а з л и ч н ы м и результатамивыбора.Рассмотрим следующие возможные способы выбора.1.
Выбор с в о з в р а щ е н и е м: каждый вынутый шар возвращаетсяв урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. В полученномнаборе из k номеров шаров могут встречаться одни и те же номера.2. Выбор б е з в о з в р а щ е н и я: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера.Условимся, какие результаты выбора (наборы из k номеров шаров) мыбудем считать р а з л и ч н ы м и. Есть ровно две возможности.1. Выбор с у ч ё т о м п о р я д к а: два набора номеров шаров считаютсяразличными, если они отличаются составом или порядком номеров.Так, при выборе трёх шаров из урны, содержащей 5 шаров, наборы(1, 5, 2), (2, 5, 1) и (4, 4, 5) различны, если порядок учитывается.2.
Выбор б е з у ч ё т а п о р я д к а: два набора номеров шаров считаютсяразличными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишьпорядком следования номеров, считаются одинаковыми.Так, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот жерезультат выбора, если порядок не учитывается.Подсчитаем, сколько возможно различных результатов для каждой изчетырёх схем выбора (выбор с возвращением или без, и в каждом из этихслучаев — с учётом порядка или без).Упражнение.
Перечислить все возможные результаты в каждой из четырёхсхем при выборе двух шаров из четырёх.Например, при выборе с возвращением и без учёта порядка: (1, 1), (1, 2), (1, 3),(1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4).8ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схемаВыбор без возвращения, с учётом порядка.Теорема 2. Общее количество различных наборов при выборе kэлементов из n без возвращения и с учётом порядка равняетсяn!Akn = n(n − 1) · . . . · (n − k + 1) =(n − k)!и называется числом размещений из n элементов по k элементов.Доказательство. Первый шар можно выбрать n способами, его номер — любой из n возможных.
При любом выборе первого шара есть n − 1способ выбрать второй шар. По теореме 1, число возможных пар(номер первого шара, номер второго шара)равно n(n − 1). Для каждой такой пары есть n − 2 способа выбрать третийшар. По теореме 1, число возможных троек(номер первого шара, номер второго шара), номер третьего шараравно произведению числа пар n(n − 1) и числа способов выбора третьегошара, т. е. равно n(n − 1)(n − 2).
Продолжая рассуждения, получим, чтообщее число возможных наборов из k шаров равно n(n − 1) · . . . · (n − k + 1).В этом произведении k сомножителей последний множитель n − k + 1 естьчисло способов выбора k-го шара, когда уже выбраны предыдущие.Следствие 1. Если в множестве n элементов, то существуетровно n! перестановок этих элементов.Доказательство. Перестановка — результат выбора без возвращения и с учётом порядка n элементов из n. Поэтому общее число перестановок равно Ann = n!Упражнение. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:а) из колоды в 36 карт без возвращения, с учётом порядка вынимают три карты;б) Вася, Петя, Оля и Лена занимают какие-то четыре из десяти мест в классе;в) из русского алфавита выбирают четыре разные буквы и составляют слово;г) из различных цифр, не равных нулю, составляется трёхзначное число.Выбор без возвращения и без учёта порядка.Теорема 3. Общее количество различных наборов при выборе kэлементов из n без возвращения и без учёта порядка равняетсяCnk =Aknn!=k!k!(n − k)!и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.Доказательство.
Согласно следствию 1, k различных номеров шаровможно упорядочить k! способами. Поэтому из каждого набора, выбранногоГЛАВА 1. Классическая вероятностная схема9без возвращения и без учёта порядка, можно образовать k! наборов, отличающихся друг от друга порядком следования номеров.
Т. е. при выборе безвозвращения и с учётом порядка возможно в k! раз больше наборов, чемпри выборе без учёта порядка. Поэтому число наборов при выборе без учёта порядка равно Akn /k! = Cnk .Упражнение. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:а) из колоды в 36 карт без возвращения, без учёта порядка вынимают три карты;б) из русского алфавита выбрасывают четыре буквы.Выбор с возвращением и с учётом порядка.Теорема 4.
Общее количество различных наборов при выборе kэлементов из n с возвращением и с учётом порядка равняется nk .Доказательство. Первый шар можно выбрать n способами. Прикаждом из этих способов второй шар можно выбрать также n способами,и так k раз. Общее число наборов равно n · n · . . .
· n = nk .Упражнение. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:а) из колоды в 36 карт тянут три раза карту с учётом порядка и с возвращением;б) пятизначное число составляется из одних нечётных цифр;в) обезьяна напечатала на машинке слово из десяти букв.Выбор с возвращением и без учёта порядка.
Рассмотрим урну с двумя пронумерованными шарами и перечислим результатывыбора двух шариков из этой урны при выборе с возвращением.Видим, что в схеме «без учёта порядка» получилось три различныхрезультата, в отличие от четырёх результатовбез учётас учётомпорядкапорядкав схеме «с учётом порядка». Заметим также, что(1, 1)(1, 1)никаким делением на «число каких-нибудь пере(2, 2)(2, 2)становок»,которое помогло избавиться от учётаo(1, 2)порядкапривыборе без возвращения, число 3 из(1, 2)(2, 1)числа 4 получить не удастся.Теорема 5. Общее количество различных наборов при выборе kэлементов из n с возвращением и без учёта порядка равняетсяn−1kCn+k−1= Cn+k−1.Упражнение.
Проверить, что при n = 2 и k = 2 получается ровно 3.Доказательство. Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора. Нам не важен порядок номеров, т. е. мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе из k номеровшаров появился каждый номер.
Поэтому результат выбора можно представить набором чисел k1 , k2 , . . . , kn , в котором ki — число появлений шара10ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схеманомер i в наборе, и k1 + . . . + kn = k. Числа ki принимают значения из множества N∪{0}. Два результата выбора в схеме выбора с возвращением и безучёта порядка различаются, если соответствующие им наборы k1 , k2 , . .
. , knне совпадают (здесь порядок следования элементов ki учитывается).Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты, и посчитаем их количество. Есть n ящиков, в которых размещаютсяk шаров. Нас интересует только ч и с л о шаров в каждом ящике. Результатом эксперимента снова является набор чисел k1 , k2 , . . . , kn , где ki равночислу шаров в ящике с номером i, и k1 + .
. . + kn = k. Числа ki принимаютнатуральные значения или равны нулю.А теперь изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а точки — находящиеся в ящиках шары:|•••||•|••|••||•|Мы видим результат размещения девяти шаров по семи ящикам. Первыйящик содержит три шара, второй и шестой ящики пусты, третий ящик содержит один шар, в четвёртом и пятом ящиках лежит по два шара.
Переложим один шар из первого ящика во второй и изобразим таким же образомещё два результата размещения:|••|•|•|••|••||•||||||||•••••••••|Видим, что все размещения можно получить, меняя между собой шары и перегородки, или расставляя k шаров на n−1+k местах. Число n−1+k получается так: у n ящиков есть ровно n + 1 перегородка, считая крайние, но изних перемещать можно лишь n−1 внутреннюю перегородку. Таким образом,имеется n−1+k мест, которые можно занять шарами либо внутренними перегородками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
