Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Чему равна вероятность встречи этихлиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанногочаса независимо от другого?Р е ш е н и е. Будем считать интервал с 14 до 15 часов отрезком [0, 1] длиной в 1 час. Пусть ξ («кси») и η («эта») — моменты прихода X и Y — точкиотрезка [0, 1]. Пространством элементарных исходов будет квадрат со стороной 1: Ω = {(ξ, η) | 0 6 ξ 6 1, 0 6 η 6 1} = [0, 1]×[0, 1]. Можно считать,что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этомблагоприятными исходами являются точки множества A:η 6A = {(ξ, η) | |ξ − η| 6 1/6}(10 минут = 1/6 часа).
Попадание в множествоA наудачу брошенной в квадрат точки означает,что X и Y встретятся. Тогда вероятность встречиравна1/61ξP(A) =µ(A)µ(Ω)2=1 − (5/6)11=.136Задача Бюффона2 .Пример 13. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена игладлины 2l < 2a. Какова вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудьпрямую?Р е ш е н и е. Поймем, что означает здесь «наудачу брошена игла».Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причём две эти переменные (поло2 GeorgesLouis Leclerc Comte de Buffon (7.09.1707 — 16.04.1788, France)20ГЛАВА 2.
Геометрическая вероятностьжение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга.Обозначим через x ∈ [0, a] расстояние от се6редины иглы до ближайшей прямой, а черезlϕ ∈ [0, π] — угол между каким-то направлением2aпрямых и иглой. Множество возможных положеϕlний иглы целиком определяется выбором наудачуx?точки из прямоугольника Ω = [0, π] × [0, a].Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: x 6 l sin ϕ. Площадь областиxA ⊂ Ω, точки которой удовлетворяют таa 6кому неравенству, равнаx = l · sin ϕπZπµ(A) =l · sin ϕ dϕ = −l · cos ϕ = 2l.0π0ϕ0Поделим на µ(Ω) = aπ и получим, что искомая вероятность равна P(A) = 2l / aπ.§ 2.
Существование неизмеримых множествЗаканчивая обсуждение понятия геометрической вероятности, сделаемочень важное для дальнейшего замечание.Замечание 5. Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, далеко не для всех множеств A ⊂ Ω вероятность может бытьвычислена как отношение меры A к мере Ω. Причиной этого является существование так называемых «неизмеримых» множеств, т. е. множеств, мера которых несуществует. Не путать с точкой — множеством нулевой меры!Пример 14 (м н о ж е с т в о В и т а л и3 ).
В этом примере мы построиммножество на отрезке, «длина» которого не существует. Нам понадобятся лишь следующие очевидные свойства «длины» множества: длина множества остается неизменной при сдвиге всех точек этого множества; длинамножества, составленного из счётного объединения попарно непересекающихся множеств, равняется сумме длин этих множеств.Рассмотрим окружность единичного радиуса (то же, что отрезок [0, 2π]).Возьмём любое иррациональное число α.
Поскольку оно иррационально,число nα не является целым ни при каком целом n 6= 0 (т. е. число 2πnαравно 2πk лишь при n = k = 0).Поэтому если взять произвольную точку x ∈ [0, 2π] на окружности и перечислить все точки, которые получаются поворотом точки x на угол 2πnα,n = ±1, ±2, . . ., то мы ни разу не вернёмся в точку x. Точек, получившихсяиз точки x такими поворотами, счётное число.
Объединим их в один класс3 GiuseppeVitali (26.08.1875 — 29.02.1932, Italy)ГЛАВА 2. Геометрическая вероятность21точек. С любой другой точкой окружности можно тоже связать класс точек,получающихся из неё поворотами на 2πnα при целых n. Таким образом, всяокружность разбивается на классы точек. В каждом классе счётное числоточек, и все точки в одном классе получаются друг из друга такими поворотами. Разные классы не пересекаются. Заметим, что таких классов несчётное число, т. к. объединением счётного числа счётных множеств нельзя получить несчётное число точек окружности.Искомое множество A0 определим так: возьмём из каждого такого класса ровно по одной точке. Пусть множество An получается поворотом всехточек множества A0 на угол 2πnα, n = ±1, ±2, .
. ..Так как все точки одного класса можно получить, поворачивая любуюиз них на угол 2πnα, n = ±1, ±2, . . ., а в множестве A0 собрано по однойточке из каждого класса, то поворачивая это множество, получим все точкиокружности.∞SОчевидно, чтоAn = [0, 2π]. Предположим, что «длина» l(A0 ) мноn=−∞жества A0 существует. Тогда все множества An имеют ту же длину, так какполучены из A0 поворотом. И так как все эти множества не пересекаются,то «длина» их объединения равна сумме их длин:!(∞∞∞[XX∞, если l(A0 ) > 0,2π = lAn =l(An ) =l(A0 ) =0, если l(A0 ) = 0.n=−∞n=−∞n=−∞Полученное противоречие означает, что длина множества A0 простон е с у щ е с т в у е т.Итак, мы построили множество на отрезке, длина которого не существует (неизмеримое множество).
Пользуясь геометрическим определениемвероятности, мы не можем определить вероятность попадания точки в такое неизмеримое множество. А если не для всех подмножеств Ω мы можемопределить вероятности, следует сузить класс множеств, называемых «событиями», оставив в этом классе только те множества, вероятность которыхопределена.В следующей главе мы займёмся, следуя Колмогорову4 , построением аксиоматики теории вероятностей: познакомимся с понятиями σ-алгебры (илиполя) событий, вероятностной меры, вероятностного пространства, а такжедокажем сформулированные в параграфе 2 главы 1 свойства вероятности.4 АндрейНиколаевич Колмогоров (25.04.1903 — 20.10.1987)ГЛАВА 3Аксиоматика теории вероятностейМатематик должен знать меру, норму и предел(фольклор ММФ НГУ)§ 1.
Алгебра и сигма-алгебра событийАлгебра событий. Пусть Ω — пространство элементарных исходовнекоторого случайного эксперимента (т. е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств Ω, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию,определённую т о л ь к о на множестве событий.Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества Ω, а лишьэлементы некоторого выделенного набора подмножеств Ω.
При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был з а м к н у т относительно обычных операций над событиями, т. е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры событий.Определение 10. Множество A, элементами которого являются подмножества множества Ω (не обязательно все) называется а л г е б р о й (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:(A1) Ω ∈ A (алгебра событий содержит достоверное событие);(A2) если A ∈ A, то A ∈ A (вместе с любым событием алгебрасодержит противоположное событие);(A3) если A ∈ A и B ∈ A, то A ∪ B ∈ A (вместе с любыми двумясобытиями алгебра содержит их объединение).Из (A1) и (A2) следует, что пустое множество ∅ = Ω также содержитсяв A.
Из (A3) следует, что вместе с любым к о н е ч н ы м набором событийалгебра содержит их объединение: для любого n > 2, для любых A1 , . . . ,An ∈ A выполнено A1 ∪ . . . ∪ An ∈ A. Вместо замкнутости относительнообъединения можно требовать замкнутость относительно пересечения.Свойство 1. В определении 10 можно заменить (A3) на (A4):(A4) если A ∈ A и B ∈ A, то A ∩ B ∈ A.ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей23Доказательство.
Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3)следует (A4). Если A, B ∈ A, то A ∈ A, B ∈ A по свойству (A2). Тогдаиз (A3) следует, что A ∪ B ∈ A, и, по (A2), дополнение A ∪ B к этому множеству также принадлежит A. В силу формул двойственности, дополнениек объединению как раз и есть пересечение дополнений:A ∩ B = A ∪ B ∈ A.Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т.
е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.Пример 15. Пусть Ω = {♠, ♣, ♦, ♥} — пространство элементарныхисходов. Следующие наборы подмножеств Ω являются алгебрами (проверьте это по определению):1. A = {Ω, ∅} = {{♠, ♣, ♦, ♥}, ∅} — т р и в и а л ь н а я алгебра.2. A = {Ω, ∅, {♦}, Ω \ {♦}} = {{♠, ♣, ♦, ♥}, ∅, {♦}, {♠, ♣, ♥}}.3. A = {Ω, ∅, A, A} = {♠, ♣, ♦, ♥}, ∅, A, A , где A — произвольное подмножество Ω (в предыдущем примере A = {♦}).4. A = 2Ω — множество всех подмножеств Ω.Упражнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
