Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Её распределение найдём по формуле полной вероятности:P(ξ ∈ B) = P(ξ1 ∈ B, ϕ = 1) + P(ξ2 ∈ B, ϕ = 2) + P(ξ3 ∈ B, ϕ = 3).В силу независимости событий под знаком каждой из вероятностей,P(ξ ∈ B) = p1 P(ξ1 ∈ B) + p2 P(ξ2 ∈ B) + p3 P(ξ3 ∈ B).Никаких других видов распределений, кроме перечисленных выше, не существует (доказано Лебегом).ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения53§ 3. Функция распределенияОписание распределения набором вероятностей P(ξ ∈ B) не оченьудобно: слишком много существует борелевских множеств. Мы описалидискретные распределения таблицей распределения, абсолютно непрерывные — плотностью распределения.
Попробуем поискать какой-нибудь универсальный способ описать любое возможное распределение.Можно поставить вопрос иначе: распределение есть набор вероятностейпопадания в любые борелевские множества на прямой. Нельзя ли обойтисьзнанием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набор множествна прямой? Борелевская σ-алгебра B(R) порождается интервалами (равнокак и лучами (−∞, x)), поэтому можно ограничиться только вероятностямипопадания в такие лучи для всех x ∈ R. А уже с их помощью можно будетопределить и вероятность попасть в любое борелевское множество.Замечание 13. Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы (−∞, x], или в (x, ∞), или в [x, ∞).Определение 33.
Ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я случайной величины ξ называется функция Fξ : R → [0, 1], при каждом x ∈ R равнаявероятности случайной величине ξ принимать значения, меньшие x:Fξ (x) = P(ξ < x) = P{ω : ξ(ω) < x}.Перечислим основные дискретные и абсолютно непрерывные распределения и найдём их функции распределения.§ 4. Примеры дискретных распределенийВырожденное распределение.
Говорят, что случайная величина ξ= I , если ξимеет вырожденное распределение в точке c ∈ R, и пишут: ξ ⊂cпринимает единственное значение c с вероятностью 1, т. е. P(ξ = c) = 1.Функция распределения ξ имеет вид:Fξ (x)6(qb10, x 6 c;Fξ (x) = P(ξ < x) = P(c < x) =1, x > c.rcxРаспределение Бернулли. Говорят, что случайная величина ξ имеет= B , если ξ принираспределение Бернулли с параметром p, и пишут: ξ ⊂pмает значения 1 и 0 с вероятностями p и 1 − p соответственно.
Случайнаявеличина ξ с таким распределением равна ч и с л у у с п е х о в в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха p : ни одного успеха или одинξ01успех. Таблица распределения ξ имеет вид:.P1−p p54ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределенияФункция распределения случайной величины ξ такова:x 6 0;0,Fξ (x) = P(ξ < x) = 1 − p, 0 < x 6 11,x > 1.Fξ (x)p161−p br0brp-1xБиномиальное распределение.
Говорят, что случайная величина ξимеет биномиальное распределение с параметрами n ∈ N и p ∈ (0, 1), и пи= Bшут: ξ ⊂n,p , если ξ принимает значения k = 0, 1, . . . , n с вероятностямиP(ξ = k) = Cnk pk (1 − p)n−k . Случайная величина с таким распределением имеет смысл ч и с л а у с п е х о в в n и с п ы т а н и я х схемы Бернулли свероятностью успеха p. Таблица распределения ξ имеет вид:ξP0(1 − p)n1np(1 − p)n−1......kCnk pk (1 − p)n−k......n.pnРаспределение Бернулли совпадает с распределением B1, p .Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величина τимеет геометрическое распределение с параметром p ∈ (0, 1), и пи= G , если τ принимает значения k = 1, 2, 3, .
. . с вероятностямишут τ ⊂pP(τ = k) = p(1 − p)k−1 . Случайная величина с таким распределением имеетсмысл н о м е р а п е р в о г о у с п е ш н о г о и с п ы т а н и я в схеме Бернуллис вероятностью успеха p. Таблица распределения τ имеет вид:τP1p2p(1 − p)......kp(1 − p)k−1.......Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величина ξ имеет= Π , еслираспределение Пуассона с параметром λ, где λ > 0, и пишут: ξ ⊂λξ принимает значения k = 0, 1, 2, . . . с вероятностями P(ξ = k) =λkk!Таблицу распределения ξ читатель может нарисовать самостоятельно.e−λ .Гипергеометрическое распределение.
Говорят, что случайная величина ξ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N и K,где K 6 N , n 6 N , если ξ принимает целые значения k такие, чтоn−kkn0 6 k 6 K, 0 6 n−k 6 N −K, с вероятностями P(ξ = k) = CKCN−K / CN .Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N − K не белых.Упражнение. Построить графики функций распределения для распределенияПуассона, биномиального и геометрического распределения.ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения55§ 5.
Примеры абсолютно непрерывных распределенийРавномерное распределение. Говорят, что ξ имеет равномерное рас= Uпределение на отрезке [a, b], и пишут: ξ ⊂a,b , если плотность распределения ξ постоянна на отрезке [a, b] и равна нулю вне него:6fξ (x) 1 , если x ∈ [a, b],1b−afξ (x) = b − a 0,если x 6∈ [a, b].axbОчевидно, что площадь под графиком этой функции равна единицеи fξ (x) > 0. Поэтому fξ (x) является плотностью распределения.= UСлучайная величина ξ ⊂a,b имеет смысл к о о р д и н а т ы т о ч к и,в ы б р а н н о й н а у д а ч у на отрезке [a, b].
Вычислим по определению 30функцию распределения случайной величины ξ: xR0 dt,x < a,−∞Zx R0Rx 10 dt +dt,a 6 x 6 b,Fξ (x) = P(ξ < x) = fξ (t) dt =−∞a b−a−∞RaRxRb 1dt + 0 dt, x > b.0 dt +−∞a b−abПолучим следующую непрерывную функцию распределения:Fξ (x)60,если x < a;1x − a, если a 6 x 6 bFξ (x) =b−a1,если x > b.ab-xПоказательное распределение. Говорят, что ξ имеет показательное= E ,(экспоненциальное) распределение с параметром α > 0, и пишут: ξ ⊂αесли ξ имеет следующую плотность распределения:(0,fξ (x) =αe−αx ,если x < 0,если x > 0.αfξ (x)60xФункция распределения случайной величины ξ непрерывна:(0,Fξ (x) = P(ξ < x) =1 − e−αx ,если x < 0,если x > 0.Fξ (x)160x56ГЛАВА 6.
Случайные величины и их распределенияПоказательное распределение является единственным абсолютнонепрерывным распределением, для которого выполнено свойство «нестарения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретногогеометрического распределения).= E . Тогда для любых x, y > 0Теорема 19. Пусть ξ ⊂αP(ξ > x + y | ξ > x) = P(ξ > y).(11)Упражнение. Доказать теорему 19. Доказать далее, что если неотрицательнаяслучайная величина ξ с абсолютно непрерывным распределением обладает свойством (11) при любых x, y > 0, то она имеет показательное распределение с некоторым параметром α.Нормальное распределение. Говорят, что ξ имеет нормальное (гауссовское11 ) распределение с параметрами a и σ2 , где a ∈ R, σ > 0, и пишут:= Nξ⊂a, σ2 , если ξ имеет следующую плотность распределения:fξ (x) 62(x−a)1fξ (x) = √ e− 2σ2 ,σ 2πx ∈ R.-axУбедимся, что fξ (x) является плотностью распределения.
Так какfξ (x) > 0 для всех x ∈ R, то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):"#∞∞ZZзамена переменных(x−a)21− 2 σ2x−a√ edx ==fξ (x) dx =t=, dx = σ dtσ 2π−∞−∞∞Z=−∞211√ e−t /2 σ dt = √σ 2π2π∞Zσ2e−t−∞/2Idt = √= 1,2πгде через I обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона12 )∞Z√2I=e−x /2 dx = 2π.−∞11 Johann12Carl Friedrich Gauss (30.04.1777 — 23.02.1855, Germany)Этот интеграл вычисляется так:∞∞∞ZZZ ∞Z2222I2 =e−x /2 dxe−y /2 dy =e−(x +y )/2 dx dy.−∞−∞−∞ −∞Далее полярная замена переменных: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dx dy = r dr dϕ, x2 + y 2 = r 2 :22Zπ ∞ZZπ ∞Z√22−r 2 /2I =redr dϕ =e−r /2 d(r 2 /2) dϕ = 2π, I = 2π.0 00 0ГЛАВА 6.
Случайные величины и их распределения57Нормальное распределение N0, 1 с параметрами a = 0 и σ2 = 1 называется с т а н д а р т н ы м н о р м а л ь н ы м распределением. Плотность стан21дартного нормального распределения равна fξ (x) = √ e−x /2 .2πВвиду особой роли нормального распределения в теории вероятностей(мы ещё узнаем о ней) существует даже специальное обозначение Φa, σ2 (x)для функции распределения нормального закона Na, σ2 .
Из курса мате2матического анализа читателю известно, что первообразная функции e−xне может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функциюΦa, σ2 (x) можно записать лишь в виде интеграла:Zx(t−a)261− 2σ21√ edt,Φa, σ2 (x) =σ 2π−∞ZxΦ0, 1 (x)=−∞0,5t21√ e− 2 dt.2π-axФункция Φ0, 1 (x) табулирована, т. е. её значения при различных вещественных x вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.Гамма-распределение. Говорят, что ξ имеет гамма-распределение= Γс параметрами α > 0, λ > 0, и пишут: ξ ⊂α, λ , если ξ имеет следующуюплотность распределения:(0,если x 6 0,fξ (x) =λ−1 −αxc·x e, если x > 0,где постоянная c вычисляется из свойства (f2) плотности так:∞∞∞ZZZcc1=fξ (x) dx = c xλ−1 e−αx dx = λ (αx)λ−1 e−αx d(αx) = λ Γ(λ),−∞αα00откуда c = αλ / Γ(λ). Здесь через Γ(λ) обозначен интеграл∞ZΓ(λ) = xλ−1 e−x dx = (λ − 1)Γ(λ − 1),0называемый гамма-функцией Эйлера13 ; Γ(k) = (k − 1)! при целых поло√жительных k, Γ(1) = 1.
Замена в интеграле Пуассона даст Γ(1/2) = π.Полезно отметить, что показательное распределение есть частный случай гамма-распределения: Eα = Γα, 1 .13 LeonhardEuler (15.04.1707 — 18.09.1783, Switzerland, Россия)58ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределенияУпражнение. Нарисовать график плотности распределения Γα, λ при λ < 1,при λ = 1 и при λ > 1, отметить на этом графике точки экстремума, точки перегиба и иные особенности графика.Функцию распределения гамма-распределения можно записать, вообщеговоря, только в виде интеграла:Zxαλtλ−1 e−αt dt.Fξ (x) =Γ(λ)0Но при целых значениях параметра λ интегрированием по частям этот интеграл можно превратить в сумму:Fξ (x) = 1 −λ−1X(αx)kk=0k!e−αx =∞X(αx)kk=λk!e−αx .(12)Упражнение. Доказать первое из равенств (12) при целых значениях λ.= Παx .Доказать следующее забавное равенство: Fξ (x) = P(η > λ), где η ⊂Распределение Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
