Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Говорят, что ξ имеет распределение Коши14= Cс параметрами a ∈ R, σ > 0, и пишут: ξ ⊂a,σ , если ξ имеет следующуюплотность распределения:σ1для любого x ∈ R.fξ (x) =π σ2 + (x − a)2Плотность распределения Коши симметрична относительно прямой x == a и похожа на плотность нормального распределения, но имеет болеетолстые «хвосты» на ±∞. Функция распределения случайнойвеличины ξ11x−aпри всех x.с распределением Коши равна Fξ (x) = + arctg2πσРаспределение Парето. Говорят, что ξ имеет распределение Парето15с параметром α > 0, если ξ имеет следующие плотность и функцию распределения:( α1 − 1 , если x > 1,,еслиx>1,α+1xfξ (x) =Fξ (x) =xα0,0,если x < 1;если x < 1.Часто рассматривают более широкий класс распределений Парето, сосредоточенных не на [1, ∞), а на [c, ∞) при c > 0.С другими абсолютно непрерывными распределениями (хи-квадратПирсона, распределениями Стью́дента, Фишера, Колмогорова, Лапласа)мы познакомимся при изучении математической статистики.
С распределе14 Augustin15 VilfredoLouis Cauchy (21.08.1789 — 23.05.1857, France)Pareto (15.07.1848 — 20.08.1923, France, Italy, Switzerland)ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения59ниями Вейбулла, логарифмически нормальным и некоторыми другими читатель познакомится в дальнейших курсах.§ 6. Свойства функций распределенияОбщие свойства функций распределения. Функцией распределенияслучайной величины ξ мы назвали функцию Fξ (x) = P(ξ < x). Основныесвойства этой функции заключены в теореме:Теорема 20.
Любая функция распределения обладает следующими свойствами:(F1) она не убывает: если x1 < x2 , то Fξ (x1 ) 6 Fξ (x2 );(F2) cуществуют пределы lim Fξ (x) = 0 иx→−∞lim Fξ (x) = 1;x→+∞(F3) она в любой точке непрерывна слева:Fξ (x0 − 0) =limx→x0 −0Fξ (x) = Fξ (x0 ).Доказательство с в о й с т в а (F1). Для любых чисел x1 < x2 событие {ξ < x1 } влечёт событие {ξ < x2 }, т. е. {ξ < x1 } ⊆{ξ < x2 }. Но вероятность — монотонная функция событий, поэтомуFξ (x1 ) = P{ξ < x1 } 6 P{ξ < x2 } = Fξ (x2 ).Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойствонепрерывности вероятностной меры (глава 3, 2, стр.
28, лемма 2).Доказательство с в о й с т в а (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции Fξ (x). Остается лишь доказать равенства lim Fξ (x) =x→−∞= 0, lim Fξ (x) = 1 иx→+∞limx→x0 −0Fξ (x) = Fξ (x0 ). Для этого в каждом случаедостаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности {xn }, таккак существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов.Докажем, что Fξ (−n) → 0 при n → ∞. Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий Bn = {ξ < −n}:Bn+1 = ξ < −(n+1) ⊆ Bn = ξ < −n для любых n > 1.Пересечение B всех этих событий состоит из тех и только тех ω, для которых ξ(ω) меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода ω значение ξ(ω) вещественно, и не может быть меньше всехвещественных чисел.
Иначе говоря,T пересечение событий Bn не содержитэлементарных исходов, т. е. B = Bn = ∅. По свойству непрерывностимеры, Fξ (−n) = P(Bn ) → P(B) = 0 при n → ∞.Точно так же докажем остальные свойства.60ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределенияПокажем, что Fξ (n) → 1 при n → ∞, т. е.
1−Fξ (n) = P(ξ > n) → 0.Обозначим через Bn событие Bn = {ξ > n}. События Bn вложены:Bn+1 = ξ > (n + 1) ⊆ Bn = ξ > n для любых n > 1,а пересечение B этих событий снова пусто — оно означает, что ξ большелюбого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, 1−Fξ (n) == P(Bn ) → P(B) = 0 при n → ∞.Доказательство с в о й с т в а (F3). Достаточно доказать, что Fξ (x0 −− 1/n) → Fξ (x0 ) при n → ∞. Иначе говоря, доказать сходимость к нулюследующей разности:111Fξ (x0 ) − Fξ x0 −= P(ξ < x0 ) − P ξ < x0 −= P x0 − 6 ξ < x0 .nnnУпражнение.
Обозначьте событие {x0 − 1/n 6 ξ < x0 } через Bn , и попробуйте снова воспользоваться свойством непрерывности меры.Следующая теорема говорит о том, что три доказанных свойства полностью описывают класс функций распределения. То, что любая функцияраспределения ими обладает, мы с вами доказали, а теорема утверждает,что любая функция с такими свойствами есть функция распределения.Теорема 21. Если функция F : R → [0, 1] удовлетворяет свойствам (F1)–(F3), то F есть функция распределения некоторой случайной величины ξ, т. е.
найдётся вероятностное пространствоhΩ, F, Pi и случайная величина ξ на нём такая, что F (x) ≡ Fξ (x).Эту теорему мы доказывать не станем. Хотя её можно попробовать доказать конструктивно — предъявив то вероятностное пространство (прощевсего отрезок Ω = [0, 1] с σ-алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега) и ту случайную величину, о существовании которых идёт речь.Упражнение. Непременно попробуйте сделать это! Например, можно попробовать, не подойдёт ли ξ(ω) = sup{x : F (x) < ω}.Помимо отмеченных в теореме 20, функции распределения обладаютследующими свойствами:(F4) В любой точке x0 разница Fξ (x0 + 0) − Fξ (x0 ) равна P(ξ = x0 ):Fξ (x0 + 0) − Fξ (x0 ) =limx→x0 +0Fξ (x) − Fξ (x0 ) = P(ξ = x0 ),или, иначе говоря, Fξ (x0 + 0) = Fξ (x0 ) + P(ξ = x0 ) = P(ξ 6 x0 ).Упражнение.
Докажите сами (так же, как мы доказывали (F2) и (F3)).Заметим, что разница Fξ (x0 +0)−Fξ (x0 ) между пределом при стремлениик x0 справа и значением в точке x0 есть величина скачка функции распределения. Эта величина равна нулю, если функция распределения непрерывна(справа) в точке x0 .
Слева функция распределения непрерывна всегда.ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения61Замечание 14. Очень часто функцией распределения называют P(ξ 6 x). Этафункция отличается от определённой выше лишь тем, что она непрерывна с п р а в а,а не слева. Соответственно, вероятность P(ξ = x0 ) для неё равна величине скачкаслева, а не справа.(F5) Для любой случайной величины ξ имеет место равенство:P(a 6 ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a).(13)Если же функция распределения Fξ (x) непрерывна в точках a и b, тоP(a 6 ξ < b) = P(a < ξ < b) = P(a 6 ξ 6 b) = P(a < ξ 6 b) = Fξ (b)−Fξ (a).Доказательство. Докажем только равенство (13).
Все остальные равенства следуют из него и свойства (F4).Заметим, что {ξ < a} ∪ {a 6 ξ < b} = {ξ < b}, и первые два события несовместны. Поэтому P{ξ < a} + P{a 6 ξ < b} = P{ξ < b},или Fξ (a) + P{a 6 ξ < b} = Fξ (b), что и требовалось доказать.Функция распределения дискретного распределения. Мы видели,как выглядят функции распределения некоторых дискретных распределений.
Согласно определению дискретного распределения, его функция распределения может быть найдена по таблице распределения так:XFξ (x) = P(ξ < x) =P(ξ = ak ).k : ak <xИз свойств (F4) и (F5) получаем следующее свойство.Свойство 8. Случайная величина ξ имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения Fξ (x) —ступенчатая функция. При этом значения ξ суть точки ai скачковFξ (x), и pi = P(ξ = ai ) = Fξ (ai + 0) − Fξ (ai ) — величины скачков.Упражнение. Доказать, что любая функция распределения имеет не более чемсчётное число точек разрыва (или «скачков»). Сколько скачков величиной более1/2 может иметь функция распределения? Не больше одного или не больше двух? Аскачков величиной более 1/3? Более 1/4?Свойства абсолютно непрерывного распределения. Пусть случайная величина ξ имеет абсолюлютно непрерывное распределение с плотностью fξ (t). Тогда функция распределения в любой точке x может быть найдена по плотности распределения так:ZxFξ (x) = P(ξ < x) = P(ξ ∈ (−∞, x)) =fξ (t) dt.(14)−∞Поскольку функция распределения однозначно определяет распределениеслучайной величины, можно считать возможность представить функцию62ГЛАВА 6.
Случайные величины и их распределенияраспределения интегралом (14) от неотрицательной функции определениемабсолютно непрерывного распределения.(f3) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то её функция распределения всюду непрерывна.Доказательство. Этот факт следует из свойства 7 и (F4). Заметим,что (f3) есть также следствие представления (14) и непрерывности интеграла как функции верхнего предела.(f4) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то её функция распределения дифференцируема почти всюду, иdFξ (x) для почти всех x.fξ (x) = Fξ0 (x) =dxЗамечание 15.
Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно)x из некоторого множества нулевой меры Лебега».Заметим, что л ю б а я функция распределения дифференцируема почти всюду. Например, функции распределения равномерного распределения и распределения Бернулли дифференцируемы всюду, кроме двух точек.Но у равномерного распределения плотность существует, а у распределенияБернулли — нет. Поэтому возможность дифференцировать функцию распределения никакого отношения к существованию плотности не имеет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
