Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Если ξ ⊂α168ГЛАВА 7. Преобразования случайных величинКвантильное преобразование.Теорема 25. Пусть функция распределения F (x) = Fξ (x) непрерывна. Тогда случайная величина η = F (ξ) имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение.Доказательство. Найдём функцию распределения случайной величины η. Заметим, что всегда 0 6 η 6 1. Предположим сначала, что функцияF всюду возрастает. Тогда она обратима, и поэтомуесли x 6 0,0,−1(15)Fη (x) = P(F (ξ) < x) = P(ξ < F (x)), если x ∈ (0, 1),1,если x > 1.−1−1= UНо P(ξ < F (x)) = F F (x) = x, т.

е. η ⊂0,1 .Если функция F не является всюду возрастающей, то у неё есть участкипостоянства. В этом случае просто обозначим через F −1 (x) самую левуюточку из замкнутого множества {t | F (t) = x} прообразов точки x ∈ (0, 1).При таком понимании «обратной» функции равенства (15) остаютсясправедливыми вместе с равенством P(ξ < F −1 (x)) = F F −1 (x) = x длялюбого x ∈ (0, 1).Теорему 25 можно использовать для построения случайных величинс заданным распределением по равномерно распределённой случайной величине (например, по результату датчика случайных чисел). Следующееутверждение верно не только для непрерывных, но для любых функций распределения F . Обозначим через F −1 (x) точную нижнюю грань множестватех t, для которых F (t) > x:F −1 (x) = inf{t | F (t) > x}.Для непрерывной функции F это определение «обратной функции» совпадает с введённым в доказательстве теоремы 25.= UТеорема 26.

Пусть η ⊂0,1 , а F — произвольная функция распределения. Тогда случайная величина ξ = F −1 (η ) («квантильное преобразование» над η ) имеет функцию распределения F .= UСледствие 8. Пусть η ⊂0, 1 . Верны соотношения:1= C== E ,− ln(1 − η) ⊂a + σ tg(πη − π/2) ⊂Φ−1αa,σ ,0,1 (η) ⊂ N0,1 .αУпражнение. Доказать теорему 26 и следствие 8, а также продолжить списоксоотношений.

Как получить случайную величину с распределением Парето? А с нормальным распределением? (Указание: так её никто не получает).ГЛАВА 8Многомерные распределенияНе следует множить сущности сверх необходимости.Принцип «бритва У. Оккам໧ 1. Совместное распределениеПусть случайные величины ξ1 , . . . , ξn заданы на одном вероятностномпространстве hΩ, F, Pi.Определение 34. ФункцияFξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) = P(ξ1 < x1 , .

. . , ξn < xn )называется функцией распределения вектора (ξ1 , . . . , ξn ) или функциейс о в м е с т н о г о распределения случайных величин ξ1 , . . . , ξn .Перечислим свойства функции совместного распределения. Для простоты обозначений ограничимся вектором (ξ1 , ξ2 ) из двух величин.(F0) Для любых x1 , x2 верно неравенство: 0 6 Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) 6 1.(F1) Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) не убывает по каждой координате вектора (x1 , x2 ).(F2) Для любого i = 1, 2 существует lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = 0. Сущеxi →−∞ствует двойной пределlimlim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = 1.x1 →+∞ x2 →+∞(F3) Функция Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) по каждой координате вектора (x1 , x2 )непрерывна слева.(F4) Чтобы по функции совместного распределения восстановить функции распределения ξ1 и ξ2 в отдельности, следует устремить мешающую переменную к +∞:lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = Fξ2 (x2 ),x1 →+∞lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = Fξ1 (x1 ).

(16)x2 →+∞Доказательство всех этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю. Но теперь свойств (F0)—(F3) не хватает для описания класса функций совместного распределения. Т. е. выполнение этих свойств длянекоторой функции F : R2 → R не гарантирует, что эта функция являетсяфункцией распределения некоторого случайного вектора.70ГЛАВА 8. Многомерные распределенияУпражнение. Доказать, что функция(0, если x1 6 0 или x2 6 0 или x1 + x2 6 1;F (x1 , x2 ) =1, если одновременно x1 > 0, x2 > 0, x1 + x2 > 1.удовлетворяет всем свойствам (F0)—(F3), но не является функцией распределенияникакого вектора (ξ1 , ξ2 ) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдётся и прямоугольник [a1 , b1 ) × [a2 , b2 ), «вероятность» попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:P(a1 6 ξ1 < b1 , a2 6 ξ2 < b2 ) < 0.Легко доказать (убедиться, что легко), что для любых a1 < b1 , a2 < b2справедливо равенство: P(a1 6 ξ1 < b1 , a2 6 ξ2 < b2 ) = Fξ1 , ξ2 (b1 , b2 ) ++ Fξ1 , ξ2 (a1 , a2 ) − Fξ1 , ξ2 (a1 , b2 ) − Fξ1 , ξ2 (b1 , a2 ).Дополнительно к свойствам (F0)—(F3) от функции F требуют неотрицательности этого выражения (при любых a1 < b1 , a2 < b2 ).§ 2.

Типы многомерных распределенийОграничимся рассмотрением двух типичных случаев: когдас о в м е с т н о е распределение координат случайного вектора (ξ1 , ξ2 )либо дискретно, либо абсолютно непрерывно. Заметим, что сингулярныесовместные распределения тоже не являются редкостью, в отличие отодномерного случая: стоит бросить точку наудачу на отрезок на плоскости,и мы получим сингулярное совместное распределение (доказать).Дискретное совместное распределение.Определение 35.

Говорят, что случайные величины ξ1 , ξ2 имеют дискретное совместное распределение, если существует конечный или счётныйнабор {ai , bj } такой, что∞ X∞XP(ξ1 = ai , ξ2 = bj ) = 1.i=1 j=1Таблицу, на пересечении i-й строки и j-го столбца которой стоит вероятность P(ξ1 = ai , ξ2 = bj ), называют таблицей совместного распределенияслучайных величин ξ1 и ξ2 .Таблицы распределения каждой из случайных величин ξ1 , ξ2 в отдельности (таблицы частных, или м а р г и н а л ь н ы х распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью формул:∞∞XXP(ξ1 = ai ) =P(ξ1 = ai , ξ2 = bj ), P(ξ2 = bj ) =P(ξ1 = ai , ξ2 = bj ).j=1i=1Так, первое равенство следует из того, что набор {ξ2 = b1 }, {ξ2 = b2 }, . . .есть полная группа событий, и поэтому событие {ξ1 = ai } раскладываетсяГЛАВА 8. Многомерные распределения71в объединение попарно несовместных событий:∞[{ξ1 = ai } ={ξ1 = ai , ξ2 = bj }.j=1Абсолютно непрерывное совместное распределение.Определение 36.

Говорят, что случайные величины ξ1 , ξ2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если существует неотрицательная функция fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) такая, что для любого множества B ∈ B(R2 )имеет место равенствоZZP((ξ1 , ξ2 ) ∈ B) =fξ1 , ξ2 (s1 , s2 ) ds1 ds2 .BЕсли такая функция fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) существует, она называется плотностьюсовместного распределения случайных величин ξ1 , ξ2 .Достаточно, если двойной интеграл по множе6ству B читатель будет понимать как объём об-x2ласти под графиком функции fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) надмножеством B в плоскости переменных (x1 , x2 ),Bx1как показано на рисунке справа.Если случайные величины ξ1 , ξ2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, то для любых x1 , x2 имеет место равенство:xxZ1Z2Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) = P(ξ1 < x1 , ξ2 < x2 ) =fξ1 , ξ2 (s1 , s2 ) ds2  ds1 .−∞−∞Плотность совместного распределения обладает такими же свойствами,как и плотность распределения одной случайной величины:(f1) Неотрицательность: fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) > 0 для любых x1 , x2 ∈ R;ZZ(f2) Нормированность:fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) dx1 dx2 = 1.R2Справедливо и обратное: любая функция, обладающая этими свойствами, является плотностью некоторого совместного распределения.

Доказательство этого факта ничем не отличается от одномерного случая.По функции совместного распределения его плотность находится каксмешанная частная производная:∂2(f3) fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) =Fξ , ξ (x1 , x2 ) для почти всех (x1 , x2 ).∂x1 ∂x2 1 2Из существования плотностей ξ1 и ξ2 не следует абсолютная непрерывность совместного распределения этих случайных величин. Например, век-72ГЛАВА 8. Многомерные распределениятор (ξ, ξ) принимает значения только на диагонали в R2 и уже поэтому неимеет плотности совместного распределения (его совместное распределение сингулярно).

Обратное же свойство, как показывает следующая теорема, всегда верно: если совместное распределение абсолютно непрерывно, тои частные распределения тоже таковы.Теорема 27. Если случайные величины ξ1 и ξ2 имеют абсолютнонепрерывное совместное распределение с плотностью f (x1 , x2 ), тоξ1 и ξ2 в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями:∞∞ZZfξ1 (s1 ) =f (s1 , s2 ) ds2 ; fξ2 (s2 ) =f (s1 , s2 ) ds1 .−∞−∞Для n > 2 плотности случайных величин ξ1 , . . . , ξn по плотности их совместного распределения f (x1 , . . . , xn ) находятся интегрированием функции f по всем «лишним» координатам.Доказательство.

Например, в силу равенств (16),xxZ1 ∞ZZ1Fξ1 (x1 ) = lim Fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) =f (s1 , s2 ) ds2 ds1 = fξ1 (s1 ) ds1 .x2 →+∞−∞−∞−∞Аналогично устанавливается и справедливость второго равенства.§ 3. Примеры многомерных распределенийПриведём два наиболее употребительных примера абсолютно непрерывных многомерных распределений.Равномерное распределение. Пусть S ⊂ Rn — борелевское множество с конечной лебеговой мерой λ(S). Говорят, что вектор (ξ1 , . . . , ξn )имеет равномерное распределение в области S, если плотность совместного распределения fξ1 , ..., ξn (x1 , .

Характеристики

Список файлов книги