Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 16
Текст из файла (страница 16)
. . , xn ) постоянна в области S и равна нулювне этой области: 1 , если (x , . . . , x ) ∈ S,1n(17)fξ1 , ...,ξn (x1 , . . . , xn ) = λ(S)0,если (x1 , . . . , xn ) 6∈ S.Убедимся, что эта функция является плотностью распределения:ZZ11fξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =dx1 . . . dxn =λ(S) = 1.λ(S)λ(S)RnSКак и в одномерном случае, вектор (ξ1 , . . . , ξn ) с равномерным распределением в области S есть просто вектор координат точки, брошенной наудачу в область S.ГЛАВА 8.
Многомерные распределения73Многомерное нормальное распределение. Пусть Σ > 0 — положительно определённая симметричная матрица (n × n), матрица Σ−1 — обратная к Σ, и ~a ∈ Rn — n-мерный вектор-столбец. Транспонированный вектормы будем обозначать так: ~aT = (a1 , .
. . , an ).Говорят, что вектор (ξ1 , . . . , ξn ) имеет многомерное нормальное распределение N~a, Σ с вектором средних ~a и матрицей ковариаций Σ, если плотность совместного распределения fξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) равна11f~ξ (~x) = √√ n exp − (~x − ~a)T · Σ−1 · (~x − ~a) .2detΣ 2πМы не будем проверять, что эта функция является плотностью совместногораспределения, поскольку для этого требуется умение заменять переменные в многомерном интеграле. Выражение (~x − ~a)T Σ−1 (~x − ~a) в показателеэкспоненты является квадратичной формой от переменных (xi − ai ): действительно, для матрицы B = Σ−1 с элементами bijnn XXbij (xi − ai )(xj − aj ).(~x − ~a)T B(~x − ~a) =i=1 j=1Подробно с многомерным нормальным распределением мы познакомимсяв курсе математической статистики, и там же выясним, что означают слова«с вектором средних ~a и матрицей ковариаций Σ».В частном случае, когда Σ — диагональная матрица с элементамиσ21 , . .
. , σ2n на диагонали, совместная плотность превращается в произведение плотностей нормальных случайных величин:()n11X 1f~ξ (~x) =(xi − ai )2 =√ n exp −2 i=1 σ2iσ1 . . . σn2π=1√σ1 2π−e(x−a)22σ21· ... ·1√σn 2π−e(x−a)22σ2n.Скоро мы увидим, что это равенство означает независимость случайных величин ξ1 , . . . , ξn .§ 4. Роль совместного распределенияЕсли нам известно совместное распределение двух или нескольких случайных величин, становится возможным отыскать распределение суммы,разности, произведения, частного, иных функций от этих случайных величин.
Заметим (но не будем доказывать), что применение к набору случайныхвеличин многих привычных нам функций не выводит нас из класса случайных величин. Интересующийся читатель может попробовать доказать, например, что сумма двух случайных величин есть снова случайная величина.74ГЛАВА 8. Многомерные распределенияСледующие два простых примера показывают, что знания только частных распределений двух случайных величин недостаточно для отысканияраспределения, например, суммы этих величин. Для этого необходимо знатьих совместное распределение. Распределение суммы (и любой иной функции) н е о п р е д е л я е т с я, вообще говоря, распределениями слагаемых:при одних и тех же распределениях слагаемых распределение суммы можетбыть разным в зависимости от с о в м е с т н о г о распределения слагаемых.Пример 33. Рассмотрим две случайные величины ξ и η с одним и темже распределением Бернулли с параметром p = 1/2 и следующей таблицейсовместного распределения: для 0 6 r 6 1/2 положимP(ξ = 0, η = 0) = r,P(ξ = 1, η = 0) =1− r,2P(ξ = 0, η = 1) =1− r,2P(ξ = 1, η = 1) = r,Если r = 0, то P(ξ + η = 1) = P(ξ = 0, η = 1) + P(ξ = 1, η = 0) = 1,т.
е. распределение ξ + η вырождено в точке 1.Если r = 1/2, то P(ξ + η = 0) = P(ξ + η = 2) = 1/2, т. е. ξ + η имеет невырожденное дискретное распределение, принимая значения 0 и 2 с равнымивероятностями.Взяв r = 1/4, получим P(ξ + η = 0) = 1/4, P(ξ + η = 2) = 1/4 и P(ξ ++ η = 1) = 1/2, т. е. ξ + η имеет биномиальное распределение с параметрами2 и 1/2.Если взять r = 1/3, получим уже P(ξ + η = 0) = 1/3, P(ξ + η = 1) = 1/3и P(ξ + η = 2) = 1/3, т.
е. ξ + η принимает значения 1, 2 и 3 с равнымивероятностями (это н е биномиальное распределение).Ещё раз отметим, что частные распределения ξ и η от r не зависят. Распределение суммы меняется вместе с совместным распределением ξ и η принеизменных частных распределениях величин ξ и η.Пример 34. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение.Возьмём η = −ξ. Тогда η тоже имеет стандартное нормальное распределение, а сумма ξ + η = 0 имеет вырожденное распределение.Возьмём теперь η = ξ.
Тогда сумма ξ + η = 2ξ имеет уже не вырожденное, а нормальное распределение N0, 4 (проверить!).Распределение функции от нескольких случайных величин может определяться их частными распределениями, если, например, потребовать независимости этих случайных величин.
В этом случае совместное распределение также полностью определяется частными распределениями (а именно,как их произведение).ГЛАВА 8. Многомерные распределения75§ 5. Независимость случайных величинОпределение 37. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn называютн е з а в и с и м ы м и (в совокупности), если д л я л ю б о г о набора борелевских множеств B1 , . . . , Bn ∈ B(R) имеет место равенство:P(ξ1 ∈ B1 , . . .
, ξn ∈ Bn ) = P(ξ1 ∈ B1 ) · . . . · P(ξn ∈ Bn ).Определение 38. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn называютп о п а р н о н е з а в и с и м ы м и, если независимы любые две из них.Оба этих определения годятся не только для конечного набора случайных величин, но и для их бесконечной последовательности.Замечание 17. Независимость случайных величин в совокупности влечётпопарную независимость. Достаточно в определении независимости в качественескольких борелевских множеств взять числовую прямую R.Пример 35. Вспомним пример Бернштейна 25. Свяжем с событиямиA, B и C случайные величины ξ1 , ξ2 и ξ3 — индикаторы этих событий.
Например, ξ1 = 1, если A произошло, и ξ1 = 0, если A не произошло. Случайные величины ξ1 , ξ2 и ξ3 независимы попарно (проверить), но зависимыв совокупности:14P(ξ1 = 1, ξ2 = 1, ξ3 = 1) = P(A ∩ B ∩ C) = ,18P(ξ1 = 1) P(ξ2 = 1) P(ξ3 = 1) = P(A) P(B) P(C) = .Попарная независимость случайных величин встречается редко. Поэтому всюду, где мы будем употреблять термин «независимы», будет подразумеваться независимость в совокупности.Определение независимости можно сформулировать в терминах функций распределения:Определение 39. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы (в совокупности), если д л я л ю б ы х x1 , .
. . , xn имеет место равенство:Fξ1 , ..., ξn (x1 , . . . , xn ) = Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ).Для случайных величин с дискретным распределением эквивалентноеопределение независимости выглядит так:Определение 40. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn с дискретнымраспределением независимы (в совокупности), если д л я л ю б ы х чисел a1 , . . . , an имеет место равенство:P(ξ1 = a1 , . . . , ξn = an ) = P(ξ1 = a1 ) · . . . · P(ξn = an ).Упражнение. Доказать, что из независимости в смысле определения 37 следует независимость в смысле определения 39 (доказательство в обратную сторонусм. в § 4 гл. 3 учебника А.
А. Боровкова «Теория вероятностей»).76ГЛАВА 8. Многомерные распределенияУпражнение. Доказать, что для случайных величин с дискретным распределением определения 37 и 40 эквивалентны.Для случайных величин с абсолютно непрерывным совместным распределением определение независимости можно сформулировать так:Определение 41. Случайные величины ξ1 , .
. . , ξn с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы (в совокупности), еслиплотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных величин ξ1 , . . . , ξn , т. е. д л я л ю б ы х x1 , . . . , xn имеет место равенство: fξ1 ,..., ξn (x1 , . . . , xn ) = fξ1 (x1 ) · . . . · fξn (xn ).Замечание 18. Плотность распределения определяется с точностью до её значений на множестве нулевой лебеговой меры (распределение не меняется от изменения плотности на множестве нулевой меры). Поэтому равенство плотности совместного распределения и произведения плотностей можно понимать тоже как равенство«почти всюду».Доказательство.
Докажем эквивалентность определений 39 и 41. Потеореме 27, если совместное распределение ξ1 , . . . , ξn абсолютно непрерывно, то и в отдельности ξ1 , . . . , ξn также имеют абсолютно непрерывныераспределения. Пусть случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы в смыслеопределения 39, т. е. для любых x1 , . . .
, xnFξ1 ,..., ξn (x1 , . . . , xn ) = Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ).Но функция совместного распределения равнаxxZ1ZnFξ1 ,..., ξn (x1 , . . . , xn ) =...fξ1 ,..., ξn (s1 , . . . , sn ) ds1 . . . dsn = I1 ,−∞−∞а произведение функций распределения записывается произведением интегралов, или одним n-мерным интегралом:xZ1Fξ1 (x1 ) · . . . · Fξn (xn ) =xZnfξ1 (s1 ) ds1 · . . . ·−∞−∞xZ1=xZn...−∞fξn (sn ) dsn =fξ1 (s1 ) . . . fξn (sn ) ds1 .
. . dsn = I2 .−∞Равенство интегралов I1 = I2 при всех значениях x1 , . . . , xn влечёт, после дифференцирования по x1 , . . . , xn , равенство подынтегральных выражений почти всюду (дифференцировать можно почти всюду), т. е. независимость в смысле определения 41. Для доказательства в обратную сторонуможно использовать те же равенства, но в обратном порядке.ГЛАВА 8. Многомерные распределения77§ 6. Функции от двух случайных величинПусть ξ1 и ξ2 — случайные величины с плотностью совместного распределения fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ), и задана борелевская функция g : R2 → R. Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределенияслучайной величины η = g(ξ1 , ξ2 ).Пользуясь тем, что вероятность случайному вектору попасть в некоторую область можно вычислить как объем под графиком плотности распределения вектора над этой областью, сформулируем утверждение.Теорема 28. Пусть x ∈ R, и область Dx ⊆ R2 состоит из точек (x1 , x2 ) таких, что g(x1 , x2 ) < x.
Тогда случайная величинаη = g(ξ1 , ξ2 ) имеет функцию распределенияZZFη (x) = P g(ξ1 , ξ2 ) < x = P (ξ1 , ξ2 ) ∈ Dx =fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) dx1 dx2 .DxДалее в этой главе предполагается, что случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, т. е. fξ1 , ξ2 (x1 , x2 ) ≡ fξ1 (x1 ) fξ2 (x2 ). В этом случае распределение величины g(x1 , x2 ) полностью определяется частными распределениями величин ξ1 и ξ2 .Следствие 9 (ф о р м у л а с в ё р т к и). Если случайные величины ξ1и ξ2 независимы и имеют абсолютно непрерывные распределенияс плотностями fξ1 (x1 ) и fξ2 (x2 ), то плотность распределения суммыξ1 + ξ2 равна «свёртке» плотностей fξ1 и fξ2 :∞∞ZZfξ1 + ξ2 (t) =fξ1 (u) fξ2 (t − u) du =fξ2 (u) fξ1 (t − u) du(18)−∞−∞Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
