Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Запишем ρ(aξ + b, η), не забывая про свойства дисперсии:cov(aξ + b, η)a cov(ξ, η)app=p=· ρ(ξ, η).2|a|D (aξ + b) D ηa Dξ Dηρ(aξ + b, η) = pОсталось заметить, что знак a как раз и равен sgn(a) = a/|a|.§ 4. ПримерыПример 57. Если ξ и η суть координаты точки, брошенной наудачу втреугольник D с вершинами (2, 0), (0, 0) и (0, 1), то их коэффициент корреляции ρ(ξ, η) отрицателен. Это можно объяснить так: чем больше ξ, темменьше у η возможностей быть большой.Предлагаю убедиться в этом, проверив справедливость следующих высказываний. Во-первых,((x1 − , 0 6 x 6 2;2 − 2y, 0 6 y 6 1;2fξ (x) =fη (y) =0,иначе ,0,иначе ;96ГЛАВА 10.
Числовые характеристики зависимостии вычисленные по этим плотностям средние (вычислить) равны соответственно E ξ = 2/3 и E η = 1/3.Во-вторых, по определению многомерного равномерного распределенияв области D,ZZZ2 1−x/2Z1E (ξ η) =x · y · 1 dx dy =x y dy dx = (кажется).60D0Т. е. ковариация (а с ней и коэффициент корреляции) отрицательна.Упражнение. А почему коэффициент корреляции в примере 57 существует?Какие свойства случайных величин гарантируют конечность второго момента? А изих ограниченности следует существование каких-нибудь моментов?Пример 58.
Найдём коэффициент корреляции между числом выпадений единицы и числом выпадений шестерки при n подбрасываниях правильной игральной кости.Обозначим для i ∈ {1, . . . , 6} через ξi случайную величину, равнуючислу выпадений грани с i очками при n подбрасываниях кубика. Посчитаем cov(ξ1 , ξ6 ). Каждая из случайных величин ξi имеет биномиальное распределение с параметрами n и 1/6, поэтому E ξi = n / 6, D ξi = 5n / 36.Далее заметим, что ξ1 + . . .
+ ξ6 = n. Из-за симметрии кубика математические ожидания E ξ1 ξ2 , E ξ1 ξ3 , . . . , E ξ1 ξ6 одинаковы (но, надо думать,2отличаются от E ξ1 ξ1 = E ξ21 = D ξ1 + (E ξ1 ) = 5n / 36 + n2 / 36).Посчитаем E ξ1 (ξ1 + · · · + ξ6 ). С одной стороны, это равноE ξ1 (ξ1 + . . . + ξ6 ) = E ξ1 · n = n2 / 6,с другой стороны,E ξ1 (ξ1 + .
. . + ξ6 ) = E ξ21 + 5E ξ1 ξ6 = 5n / 36 + n2 / 36 + 5E ξ1 ξ6 .Отсюда 5E ξ1 ξ6 = n2 /6 − 5n/36 − n2 /36, т. е. E ξ1 ξ6 = (n2 − n)/36.Следовательно, искомый коэффициент корреляции равенρ(ξ1 , ξ6 ) =E ξ1 ξ6 − E ξ1 E ξ6(n2 − n)/36 − n2 /361p==− .5n/365D ξ1 D ξ6Интересно, что полученный коэффициент корреляции не зависит от n.Упражнение. Объяснить, почему коэффициент корреляции ρ(ξ1 , ξ6 ) отрицателен.
Найти коээфициенты корреляции ρ(ξ1 , ξ2 ) и ρ(ξ1 , ξ1 ).Пример 59. Вычислим математическое ожидание и дисперсию гипергеометрического распределения. Мы не могли сделать это раньше, так какочень не хотели вычислять следующие суммы:n−kn−kkkX CKX CKCNCN−K−Kk,E ξ2 =k2,Eξ =nnCNCNkkГЛАВА 10. Числовые характеристики зависимости97где, напомним (чтобы читатель окончательно отказался от мысли вычислить эти суммы напрямую), суммирование ведётся по целым k таким, что0 6 k 6 K и 0 6 n − k 6 N − K.Рассмотрим урну, содержащую K белых шаров и N − K не белых, ипусть из неё наудачу и без возвращения выбирают по одному n шаров. Свяжем случайную величину ξ, равную числу белых шаров среди n выбранных,с результатами отдельных извлечений шаров.Обозначим через ξi , где i = 1, . .
. , n, «индикатор» того, что i-й по счётувынутый шар оказался белым: ξi = 1, если при i-м извлечении появилсябелый шар, иначе ξi = 0. Тогда ξ = ξ1 + . . . + ξn — число появившихсябелых шаров, и математическое ожидание считается просто:E ξ = E (ξ1 + . . . + ξn ) = E ξ1 + . . . + E ξn .Убедимся, что случайные величины ξ1 , . . . , ξn имеют одно и то же распределение Бернулли Bp , где p = K / N .Пронумеруем шары: белые — номерами от одного до K, остальные —номерами от K + 1 до N . Элементарным исходом опыта является набор из nномеров шаров в схеме выбора n элементов из N без возвращения и с учётом порядка.
Общее число исходов равно |Ω| = AnN по теореме 2.Вычислим вероятность события Ai = {ξi = 1}. Событие Ai включаетв себя элементарные исходы (наборы), в которых на i-м месте стоит любой из номеров белых шаров, а остальные n − 1 место занимают любые изоставшихся N − 1 номеров. По теореме 1 о перемножении шансов числоблагоприятных событию Ai исходов есть произведение K и An−1N −1 .
Здесь Kесть число способов поставить на i-е место один из номеров белых шаров,An−1N −1 — число способов после этого разместить на оставшихся n−1 местахостальные N − 1 номеров шаров. Но тогдаn−1K AN −1K|Ai |==,n|Ω|ANNчто совершенно очевидно: вероятность двадцатому шару быть белым, если мы ничего не знаем про первые девятнадцать, точно такая же, как вероятность первому шару быть белым и равна отношению числа белых шаровк числу всех.Вернёмся к математическому ожиданию:nK.E ξ = E ξ1 + .
. . + E ξn = nE ξ1 = np =NВычислим дисперсию ξ. До сих пор мы не интересовались совместнымраспределением ξ1 , . . . , ξn : для вычисления математического ожидания ихсуммы нам было достаточно знания маргинальных распределений этих величин. Но дисперсия суммы уже не всегда равна сумме дисперсий. Зависиp = P(ξi = 1) = P(Ai ) =98ГЛАВА 10. Числовые характеристики зависимостимость величин ξ1 , . . . , ξn очевидна: если, скажем, случилось событие A1 == {ξ1 = 1}, то вероятность второму шару быть белым уже не равна K / N :K −1KP(ξ2 = 1 | ξ1 = 1) =6== P(ξ2 = 1).N −1NПоэтому при вычислении дисперсии будем пользоваться свойством 14.
Вычислим ковариацию величин ξi и ξj , i 6= j. Для этого сначала посчитаемE (ξi ξj ). Произведение ξi ξj снова имеет распределение Бернулли: ξi ξj = 1,если при i-м и j-м извлечениях появились белые шары. Вероятность этогособытия равнаK(K −1)An−2|Ai ∩ Aj |K(K −1)N −2P(ξi ξj = 1) = P(Ai ∩ Aj ) ===.|Ω|AnNN (N −1)Тогдаcov(ξi , ξj ) = E (ξi ξj ) − E ξi E ξj =K(K −1) K KK(N −K)−=− 2.N (N −1) N NN (N −1)Подставляя одинаковые дисперсии D ξi = p(1 − p) и эти не зависящие от iи j ковариации в формулу дисперсии суммы, получим:nXXD ξ = D (ξ1 + .
. . + ξn ) =D ξi +cov(ξi , ξj ) =i=1i6=j= np(1 − p) + n(n − 1)cov(ξ1 , ξ2 ) == nKKK(N −K)KK n−1 1−− n(n−1) 2=n1−1−.NNN (N −1)NNN −1Заметим любопытнейшую вещь: если вынимать шары с в о з в р а щ е н и е м, то испытания станут независимыми испытаниями в схеме Бернулли, а ставшие независимыми величины ξi в сумме дадут число белых шаров,имеющее биномиальное распределение с параметрами n и p = K / N и точно такое же математическое ожидание np = nK / N , как и у числа белыхшаров при выборе б е з в о з в р а щ е н и я.Дисперсия же у числа белых шаров при выборе без возвращения меньше, чем при выборе с возвращением — за счёт отрицательной коррелированности слагаемых ξi и ξj при i 6= j.Г Л А В А 11Куда и как сходятся последовательностислучайных величинОткуда, наконец, вытекает то удивительное, по-видимому, следствие, что, если бы наблюдения над всеми событиями продолжатьвсю вечность, причём вероятность, наконец, перешла бы в полнуюдостоверность, то было бы замечено, что в мире всё управляетсяточными отношениями и постоянным законом изменений, так чтодаже в вещах, в высшей степени случайных, мы принуждены былибы признать как бы некоторую необходимость и, скажу я, рок.Якоб Бернулли, Искусство предположений (1713)§ 1.
Сходимости «почти наверное» и «по вероятности»Напомню, что случайная величина есть (измеримая) функция из некоторого непустого множества Ω в множество действительных чисел. Последовательность случайных величин {ξn }∞n=1 есть, тем самым, последовательность функций, определённых на одном и том же множестве Ω.Существуют разные виды сходимости последовательности ф у н к ц и й. Давать определение любой сходимости мы будем, опираясь на сходимостьч и с л о в ы х последовательностей, как на уже известное основное понятие.В частности, при каждом новом ω ∈ Ω мы имеем новую ч и с л о в у ю последовательность ξ1 (ω), ξ2 (ω), ξ3 (ω), . .
. Поэтому, во-первых, можно говорить о сходимости последовательности значений функций в данной точкеω, а также во всех остальных точках ω ∈ Ω. В теории вероятностей можноне обращать внимание на неприятности, происходящие с нулевой вероятностью. Поэтому вместо сходимости «всюду» принято рассматривать сходимость «почти всюду», или «почти наверное».Определение 49. Говорят, что последовательность {ξn } сходитсяп о ч т и н а в е р н о е к случайной величине ξ при n → ∞, и пишут:ξn → ξ п.
н., если P {ω : ξn (ω) → ξ(ω) при n → ∞} = 1. Иначе говоря,если ξn (ω) → ξ(ω) при n → ∞ для всех ω ∈ Ω, кроме, возможно, ω ∈ A,где A — событие, имеющее нулевую вероятность.100ГЛАВА 11. Куда и как сходятся последовательности случайных величинЗаметим сразу: определение сходимости «почти наверное» требует знания того, как устроены отображения ω 7→ ξn (ω). В задачах же теории вероятностей, как правило, известны не сами случайные величины, а лишь ихр а с п р е д е л е н и я.Можем ли мы, обладая только информацией о распределениях, говорить о какой-либо сходимости последовательности случайных величин {ξn }к случайной величине ξ?Можно, например, потребовать, чтобы вероятность тех элементарныхисходов ω, для которых ξn (ω) не попадает в «ε-окрестность» числа ξ(ω),уменьшалась до нуля с ростом n.
Такая сходимость в функциональном анализе называется сходимостью «по мере», а в теории вероятностей — сходимостью «по вероятности».Определение 50. Говорят, что последовательность случайных величин {ξn } сходится п о в е р о я т н о с т и к случайной величине ξ приpn → ∞, и пишут: ξn −→ ξ, если для любого ε > 0P (|ξn − ξ| > ε) → 0 при n → ∞ (или P (|ξn − ξ| < ε) → 1 при n → ∞).Пример 60. Рассмотрим последовательность ξ1 , ξ2 , . .
. , в которой всевеличины имеют р а з н ы е распределения:величина ξn принимает значения0 и n7 с вероятностями P ξn = n7 = 1/n = 1 − P(ξn = 0). Докажем, чтоэта последовательность сходится по вероятности к нулю.Зафиксируем произвольное ε > 0. Для всех n, начиная с некоторогоn0 такого, что n70 > ε, верно равенство P(ξn > ε) = P(ξn = n7 ) = 1/ n.Поэтому1P |ξn − 0| > ε = P ξn > ε = P ξn = n7 =→ 0 при n → ∞.nИтак, случайные величины ξn с ростом n могут принимать всё бо́льшие ибо́льшие значения, но со всё меньшей и меньшей вероятностью.Например, последовательность {ξn } можно задать на вероятностномпространстве hΩ, F, Pi = h[0, 1], B([0, 1]), λi так:ξn (ω)ξ3 (ω)ξ4 (ω)6ξ5 (ω)657n766473723-1 ω34-1 ω45-1 ω-1- n1 1 ωГЛАВА 11. Куда и как сходятся последовательности случайных величин101А именно, положим ξn (ω) = 0 для ω ∈ [0, 1 − 1/ n] и ξn (ω) = n7для ω ∈ (1 − 1/ n, 1].
Заметим, что сходимость по вероятности имеет местосовершенно независимо от того, как именно заданы случайные величины наΩ, поскольку определяется лишь их распределениями.Замечание 24. Иное дело — сходимость «почти наверное». Если, скажем, задать случайные величины как показано на графиках, то сходимость «почти наверное» будет иметь место. Действительно, для всякого ω ∈ [0, 1) найдётся такое n0 ,что ω ∈ [0, 1 − 1/n0 ], и поэтому для всех n > n0 все ξn (ω) равны нулю.Можно попробовать задать случайные величины ξn на [0, 1] как-нибудь иначе, чтобы не было сходимости почти наверное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
