Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1119918), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Вот последовательность,стремящаяся (как-то) к нулю. Можно ли её домножить на что-либо растущее, чтобы «погасить» это стремление к нулю? Получив, тем самым, чтонибудь конечное и отличное от нуля в пределе?ГЛАВА 12. Центральная предельная теорема111Оказывается, что уже последовательность случайных величин√ Sn − n E ξ1Sn − n E ξ1√= n·nnне сходится к нулю. Распределение членов этой последовательности становится всё более похожим на нормальное распределение! Можно считать,что такая последовательность сходится к случайной величине, имеющейнормальное распределение, но сходится никак не по вероятности, а тольков смысле сходимости распределений, или «слабой сходимости».§ 2. Слабая сходимостьПусть задана последовательность случайных величин ξ1 , ξ2 , .
. . , заданонекоторое распределение F с функцией распределения Fξ и пусть ξ — произвольная случайная величина, имеющая распределение F.Определение 53. Говорят, что последовательность случайных величин ξ1 , ξ2 , . . . сходится с л а б о или п о р а с п р е д е л е н и ю к случайнойвеличине ξ и пишут: ξn ⇒ ξ, если для любого x такого, что функция распределения Fξ непрерывна в точке x, имеет место сходимость Fξn (x) → Fξ (x)при n → ∞.Итак, слабая сходимость — это сходимость функций распределения вовсех точках непрерывности предельной функции распределения.Замечание 26.
Необходимо заметить, что запись ξn ⇒ ξ удобна, но не всегда разумна: если «предельную» величину ξ заменить на другую величину η с темже распределением, ничего не изменится: в том же смысле ξn ⇒ η. Поэтому слабаясходимость всё же не есть сходимость случайных величин, и ею нельзя оперироватькак сходимостями п. н. и по вероятности, для которых предельная случайная величина единственна (с точностью до значений на множестве нулевой вероятности).Поэтому в определении 53 часто говорят и пишут так: ξn слабо сходится к распределению F, т.
е. ξn ⇒ F, либо даже так: р а с п р е д е л е н и я ξn слабо сходятсяк распределению F: Fξn ⇒ F.Следующее свойство очевидно. Если нет — нужно вернуться к разделу 6и вспомнить, что такое функция распределения.Свойство 19. Если ξn ⇒ ξ, и функция распределения Fξ непрерывна в точках a и b, то P(ξn ∈ (a, b)) → P(ξ ∈ (a, b)). Наоборот, есливо всех точках a и b непрерывности функции распределения Fξ имеетместо сходимость P(ξn ∈ (a, b)) → P(ξ ∈ (a, b)), то ξn ⇒ ξ.Вместо открытого интервала (a, b) можно взять [a, b], (a, b] или [a, b).Следующее свойство уточняет отношения между сходимостями.pСвойство 20.1.
Если ξn −→ ξ, то ξn ⇒ ξ.p2. Если ξn ⇒ c = const, то ξn −→ c.112ГЛАВА 12. Центральная предельная теоремаИтак, сходимость по вероятности влечёт слабую сходимость. Обратноеутверждение в общем случае смысла не имеет (см. замечание 26). Однако изслабой сходимости к п о с т о я н н о й вытекает сходимость по вероятности.Доказательство.
Свойство (1) мы докажем чуть позже.Докажем (2): слабая сходимость к постояннной влечёт сходимость повероятности. Пусть ξn ⇒ c, т. е.(0, x 6 c;Fξn (x) → Fc (x) =1, x > cпри любом x, являющемся точкой непрерывности предельной функцииFc (x), т. е. при всех x 6= c.Возьмём произвольное ε > 0 и докажем, что P(|ξn − c| < ε) → 1:P(−ε < ξn − c < ε) = P(c − ε < ξn < c + ε) > P(c − ε/2 6 ξn < c + ε) == Fξn (c + ε) − Fξn (c − ε/2) → Fc (c + ε) − Fc (c − ε/2) = 1 − 0 = 1,поскольку в точках c + ε и c − ε/2 функция Fc непрерывна, и, следовательно,имеет место сходимость последовательностей Fξn (c + ε) к Fc (c + ε) = 1и Fξn (c − ε/2) к Fc (c − ε/2) = 0.Осталось заметить, что P(|ξn − c| < ε) не бывает больше 1, так что посвойству предела зажатой последовательности P(|ξn − c| < ε) → 1.Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям — домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.Замечание 27.
Желание написать «если ξn ⇒ ξ и ηn ⇒ η, то ξn + ηn ⇒ ξ + η»сразу проходит, стоит перевести это «свойство» на язык функций распределения изадуматься — что такое «функция распределения суммы ξ + η», когда вместо нихможно брать любые другие ξ̃ и η̃ с теми же распределениями, как угодно зависимые.Иное дело — когда одно из предельных распределений вырождено. Тогда функцияраспределения суммы или произведения определена однозначно.pСвойство 21. 1.
Если ξn −→ c = const и ηn ⇒ η, то ξn · ηn ⇒ cη.p2. Если ξn −→ c = const и ηn ⇒ η, то ξn + ηn ⇒ c + η.Д о к а з а т е л ь с т в о. Нелюбознательный читатель может пропустить это доказательство, вернувшись к нему при втором прочтении.Заметим вначале, что если ηn ⇒ η, то cηn ⇒ cη и c + ηn ⇒ c + η (доказать).Поэтому достаточно доказать первое утверждение свойства 21 при c = 1, а второеутверждение — при c = 0.Рассмотрим второе утверждение, оставив первое любознательному читателю.pПусть ξn −→ 0 и ηn ⇒ η. Докажем, что тогда ξn + ηn ⇒ η.Пусть x0 — точка непрерывности функции распределения Fη (x).
Требуется доказать, что имеет место сходимость Fξn +ηn (x0 ) → Fη (x0 ). Зафиксируем достаточномаленькое ε > 0 такое, что Fη (x) непрерывна в точках x0 ± ε.ГЛАВА 12. Центральная предельная теорема113Cобытия H1 = {|ξn | > ε} и H2 = {|ξn | < ε} образуют полную группу, поэтомуFξn +ηn (x0 ) = P(ξn + ηn < x0 ) == P(ξn + ηn < x0 , H1 ) + P(ξn + ηn < x0 , H2 ) = P1 + P2 .Оценим P1 + P2 сверху и снизу. Для P1 имеем:0 6 P1 = P(ξn + ηn < x0 , H1 ) 6 P(H1 ) = P(|ξn | > ε),и последняя вероятность может быть выбором n сделана сколь угодно малой.Для P2 , с одной стороны,P2 = P(ξn + ηn < x0 , −ε < ξn < ε) 6 P(−ε + ηn < x0 ) = P(ηn < x0 + ε).Неравенство следует из простого соображения: если ξn > −ε и ξn + ηn < x0 , то,тем более, −ε + ηn < x0 .С другой стороны,P2 = P(ξn + ηn < x0 , −ε < ξn < ε) > P(ε + ηn < x0 , −ε < ξn < ε) >> P(ε + ηn < x0 ) − P(|ξn | > ε) = P(ηn < x0 − ε) − P(|ξn | > ε).Здесь первое неравенство объясняется включением{ε + ηn < x0 , −ε < ξn < ε} ⊆ {ξn + ηn < x0 , −ε < ξn < ε},которое получилось заменой в событии {ε + ηn < x0 } числа ε на меньшую величинуξn , ξn < ε.
Второе неравенство следует из свойств:P(AB) 6 P(B), поэтому P(AB) = P(A) − P(AB) > P(A) − P(B).Мы получили оценки снизу и сверху для P1 + P2 , т. е. для Fξn +ηn (x0 ):P(ηn < x0 − ε) − P(|ξn | > ε) 6 Fξn +ηn (x0 ) 6 P(|ξn | > ε) + P(ηn < x0 + ε),илиFηn (x0 − ε) − P(|ξn | > ε) 6 Fξn +ηn (x0 ) 6 P(|ξn | > ε) + Fηn (x0 + ε).Устремляя n к бесконечности, и вспоминая, что x0 ±ε — точки непрерывности функции распределения Fη , получимFη (x0 − ε) 6 lim Fξn +ηn (x0 ) 6 lim Fξn +ηn (x0 ) 6 Fη (x0 + ε).(27)У любой функции распределения не более чем счётное множество точек разрыва.Поэтому можно выбрать такую уменьшающуюся до нуля последовательность ε, чтов точках x0 ± ε функция распределения Fη будет непрерывной, и, следовательно,останутся верны неравенства (27).
Переходя к пределу по такой последовательностиε → 0 и помня, что x0 — точка непрерывности функции Fη , получим, что нижний иверхний пределы Fξn +ηn (x0 ) при n → ∞ совпадают и равны Fη (x0 ).Доказательство у т в е р ж д е н и я (1) и з с в о й с т в а 20. В качествепростого следствия из только что доказанного второго утверждения свойpства 21 покажем, что сходимость ξn −→ ξ по вероятности влечёт слабуюсходимость ξn ⇒ ξ.Представим ξn в виде суммы ξn = (ξn − ξ)+ ξ.
Здесь последовательностьξn − ξ по вероятности стремится к нулю, а «последовательность» ξ слабосходится к ξ. Поэтому их сумма слабо сходится к ξ.Получим ещё одно следствие из свойства 21. Для удобства ссылок назовём следующее утверждение «теоремой о двойном пределе».114ГЛАВА 12. Центральная предельная теоремаТеорема 37. Пусть ξn ⇒ ξ, причём функция распределения случайной величины ξ непрерывна всюду, и пусть xn → x0 ∈ [−∞, ∞] —числовая последовательность. Тогда Fξn (xn ) → Fξ (x0 ).В формулировке теоремы мы, краткости ради, использовали записьFξ (±∞), которую следует понимать так: Fξ (−∞) = 0, Fξ (+∞) = 1.Доказательство.
Если x0 ∈ R, то утверждение теоремы сразу следуетpиз свойства 21. Действительно, из xn → x0 следует, что xn −→ x0 . К томуже ξn ⇒ ξ. Тогда утверждение (2) свойства 21 позволяет заключить, чтоξn − xn ⇒ ξ − x0 . Функция распределения Fξ−x0 (x) отличается от Fξ (x)лишь сдвигом и тоже непрерывна всюду, поэтому имеет место сходимостьфункций распределения в любой точке. В частности, в точке x = 0 имеетместо сходимость при n → ∞Fξn (xn ) = P(ξn −xn < 0) = Fξn −xn (0) → Fξ−x0 (0) = P(ξ−x0 < 0) = Fξ (x0 ).Пусть теперь x0 = −∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
