А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 11
Текст из файла (страница 11)
) — (1 — х» + х, т... ) (1 — хз + х, +... )— 2 1» 2 Х» Х2 = (Х» + '22 + ...) 21 -(- 1 — х» + 2:, — х» + х»х2 + х2 -~-...)— .2 -2 — х — хз =- ~ ф + 4) — (х» + х»х + х,') — 3+..., (2.259) 2 где многоточие означает члены более высокого порядка малости, которыми мы пренебрегаем.
Принимая во внимание неоднозначность в определении лаграпжиаца, адцитивную постояиную 3 можно опустить. Таким образол», функция Лаграпжа рассматриваемой колебательной системы в квадратичном приближении по малым отклонениям от положения равновесия принимает вид: ь»~1 = -(х», + х»2) — (х»+ х»х»+ х»).
(2.251) Система уравнений Лагранжа для построенного лаграижиаиа записывается как Г х, Ч- 2х, + Х2 = О, (2.252) Х2 + 2Х2 + Х1 = О и представляет собой однородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Будем искать решение системы в виде: (х»(2) ) ( А») (2.253) с комплексными амплитудами А» и А».
Подстановка (2.253) в систему (2.252) приводит к одиородиой системе алгебраических уравнений: (2.254) 1 — 2»2т2 А» 91 Полученная система имеет нетривиальное решение лишь при условии, что определитель ее матрицы равен нулю (характеристическое уравне- ние): ссг+ 2 ! 1 — ы +2( =О, (2.255) откуда (- '+2)'=1 — ы~ч-2= х1 (2.256) и собственные частоты снтемы 'с10 = 1. ьср1 = Л. (2.257) (2.258) В итоге, для компонент столбца комплексной амплитуды.
соответствующей первой собственной частоте, имеем одно уравнение с двумя неизвестнымн: Аг+Аз = О, общее решение которого мажет быть записано как (2.259) А1 = -Ае = Со где С1 — произвольная комплексная константа, а потому столбец ком- плексных амплитуд первой моды колебаний ( „' ) = с, ( (2.260) 92 Далее найдем столбец комплексных амплитуд, соответствующих каждо» нз собственных частот. Полагая сс = 1 в алгебраической системе (2.254), получаем, как и положено (ведь определитель ее равен нулю!), систему из двух зависимых уравнений (в данном случае повторяющих друг друга): Следовательно, первое частное решение системы (2.252).
соответствующее собственной частоте ып> = 1 (2.261) ! — 1)(А ) (2.262) Общим решением оставшегося независимого одного уравнения А~ — Аз = 0 будет А1 = Аз = Сз (2.263) с произвольной кол~алексией константой Сз. Столбец комплексных ам- плитуд второй моды колебаний (2.264) Второе частное решение системы (2.252). соответствующее собственной частоте ы1з1 = чГЗ (*'~~) -ввС,(,')."~'. (2.265) Закон малых линейных качебаний системы как общее решение системы уравнений (2,252) представляет собой линейную суперпознцию найденных частных решений (2.261) и (2.266): ( ' ).=В (С,( )ге г,( ) '~).
(226Е 93 Аналогично, полагая в (2.254) ш = з/3, вновь приходим к системе с двумя зависимыми уравнениями: Двг комплексные константы С1 и Сг (или что то же гамос. четыре вещественные Ее Сь 1п1 Сь Ее Се и 1т Се) могуг быть однозначна найдены из четырех начальных условий: хг(0) = хщ хг(0) = хщ хз(0) = хез хз(0) = хе2 Задача 2.7.2. Найти закон малых линейных колебаний трех бусинок массой >и каждая. нанизанных на гладкое горизонтальное кольцо радиуса В и связанных друг с другом тремя одиваковыми пружинами жесткостью lс каждая.
Пружины в положении равновесия бусииок недеформированы. Решение. Для качала построим лагракжиан рассматриваемой колебательной системы. Очевидно., что система имеет три степени свободы., поскольку положение каждой из трех бусинок на окружности может быть задано одной координатой (например., углом). А так как пружины одипаковы и в положении равновесия системы они педеформированы, положением равновесия является любое состояние, в котором бусинки делят кольцо на три равные части. В качестве обобщенных координат выберем углы отклонения о„оп а, бусинок от одного из возможных положении равновесия.
Договоримся о направлении отсчета введенных обобщенных координат; отклоиепию 1 — той бусинки по часовой стрелке от ее положения равновесия соответствует значение угла а, > О, против часовой стрелки — значение сч ( О. 94 Для построения функции Лагранжа системы рассмотрим произвольное ее состояние, например., изображенное на рисунке. Модуль вектора скорости бой бусинки может быть записана через обобщенную скорость а, как следовательно, кинетическая энергия системы тц1 тег тег 1™пг( г г 2) г г,г Т= — + — ч- — = — 1а +а, ч-б).
2 2 2 2 (2,267) Потенциальная энергия системы представляет собой сумму энергий упругой деформации трех пружин: 7. 12 + П23 т ь713 Рассмотрим, к примеру, пружину, соединяющую первую и вторую бу.- синки. Ее энергия /с г 7712 = -(Ы12) ., 2 (2.268) 3З112 = Й1а1)+321аг). (2.269) Но поскольку, согласно, нашей договоренности о знаках обобщенных ко- ординат а„в изображенном на рисунке состоянии первая бусинка от- клонена по часовой стрелке, вторая — против, то а, > О,аг < О. И, раскрывая модули в (2.269), получаем (2.270) г.'2112 = Маг — )7аг.
95 где Ы12 — удлинение пружины,— необходимо выразить через введенные обобщенные координаты. Для этого обратимся к рисунку. Очевидно, оно представляет собой сумму длин дуг окружностей, вдоль которых откло- няются бусинки; Следовательно, )сгсг с7гг = — (а, — аг)'. 2 (2.271) Совершенно аналогично, энергии двух оставшихся пружин зд2 Сггз = — (аг — аз)г: 2 с77г (уы = — (аг — аз) 2 (2.272) (2.273) с7 = — ( (аг — аг) +(аг аз) + (ас — аз) ! (2274) (,77г с г г~ 2 Окончательно, функция Лагранжа колебательной системы г б= — (а, сб +аз)— .г г г 2 г г — — ~(аг — аг) "; (аг — аз) + (ас — аз) ). (2.275) 2 Построенный лагранжиан сразу оказался квадратичным по малым отклонениям от положения равновесия. поэтому не требуется совершать каких-.тибо дополнительных действий по приведению его к такому виду. Составим систему уравнений Лагранжа: с псас + х(2аг — аг — аз) = О: тбг+ к(2аг — аг — аз) .= О, спбз + lс(2аз — аг — аг) = О.
(2.276) Делая подстановку аг(с) = Ве Аг е™, (2.277) переходим к однородной системе алгебраических уравнений < — тыгАс+ /с(2А, — Аг — Аз) = О, -тыгА Е й(2Аг — Аг — Аз) .= О, — тгсгАсс+ к(2Аз — Ас — Аг) = О (2.278) 96 Собирая все вместе, запишем потенциальную энергию всей системы как или, что то же самое, в матричном виде: с в тьгг -Ь 2/с -/с -к -пи.Р + 2/с -/с Аг = О. (2.279) — й — й — пклг + 2/с Аз Характеристическое уравнение возникает вследствие требования нетри- виальности решения: -пк г+ 2/с — /с — /с — /с — и — тслг + 2/с — /с = О.
(2.280) — й — тссг + 2/с Расписывая определитель, например, по правилу треугольников, имеем ( — псгл~ + 29) — 2/сз — 3/сг ( — пы~ -ь 2к) = = -тсс~(тыг — 3/с) = О. (2.28Ц откуда собственные частоты колебательной системы /3й ысп = О.
ысг/ = сс/з/ = с/ —. Далее найдем комплексные амплитуды Аь соответствующие каждой нз ннх. Положим ы = 0 в системе (2.279): -к 2/с -/с Аг = О. (2.282) 2А1 — Аг — Аз = О, Аг + 2Аг Аз = О. (2.283) Вычитан одно уравнение из другого, найдем, что А, =Аз. 97 Очевидно, одно из этих трех уравнений есть линейная комбинация двух других (к примеру, если сложить первые два уравнения и домножить результат на (-1), получим третье уравнение). Поэтому, будем иметь систему двух уравнений стремя неизвестными (оставим в системе первые два уравнения) Тогда, заменяя Аз в первом уравнении на А,, найдем А~ = Аэ.
Следовательно. общее нетривиальное решение системы уравнений (2.283) А~ = Аз = Аэ = С~ где С, — произвольная комплексная константа. Столбец комплексных амплитуд при этом (2.284) Для характеристического корня ьэн = О временная зависимость частного решения, как известно из теории дифференциальных уравнений, не может быть записана в виде е ', иначе вообще теряется зависимость решения от времени а В этом случае временная зависимость дается линейной функцией времени; < оз(С) ) = не ~ 1 ) (Сгс+С,") = 1 ) (СмсЧ-С,э), (2.285) из И) 1 1 где Сн — — КеС',, См = КеС,".
Отметим, что элементарное движение, соответствующее моде колебаний с нулевой частотой, представляет собой равномерное вращение бусинок по окружности с одинаковыми угловыми скоростнми, при котором пружинки остаются недеформированнмми. Для нахождения частного решения системы (2.278), соответствующего кратной частоте ы1О = ььэ1, положим ю = ~/Зй/т в системе (2.279) -к — lс -~с Аз = О. (2.286) Двойная кратность характеристического корня приводит к тому., что в данной системе два зависимых уравнения. Для нахождения общего нетривиального решения одного оставшегося уравнения Аг+ Аз + Аэ = О 98 с тремя неизвестнымн, положим А,=С,.
А, = Сз, где Сю Сз — произвольные комплексные константы. (Отметим, что общее решение алгебраической системы из одного уравнения с тремя неизвестными не может быть выражено посредством одной произвольной константы.) Тогда Аз = -Сз — Сз и столбец комплексных амплитуд Аз = Сз = Сз 0 тСз 1 (2287) Следовательно, частное решение системы (2.278) ., соответствующее крат- ной частоте ы = 1)ЗЙ/т 1Х31 аэ(1) = Ке Св 0 ч Сэ 1 е'ъ~~) '. (2.288] Для полноты картины отметим, что, вообще говоря, как известно нз теории линейных дифференциальных уравнений, в случае кратных собственных частот (кратных корней характеристического уравнения) ьЛЮ. вид соответствующего частного решения однородной системы зависит от соотношения между кратностью .М частоты ыую и числом К линейно независимых собственных векторов о,.оз....,ик матрицы системы (определяемое ее рангом г), в которой частота ы положена равной исследуемой кратной частотеишр где э — размер матрицы системы (е х е), который совпацает с числом степеней свободы колебательной системы, что эквивалентно числу уравнений в однородной алгебраической системе.
Если К = У, то соответствующее частное решение строится аналогично (2.277) с амплитудой, равной линейной комбинации собственных векторов т,: (2.289) 99 Если К < М, то решение системы, согласно общей теории. должно искатьси в виде произведения многочлена по времени 1 степени (.У вЂ” К) на е ( х, = Ве(аы Ч- ам1Ч-... + ацл-кф~ кч)е о>'. х„= Ве(ам Ч-а,зг+... + ацн-ь~сР «)е~м~'. (2.290) Однако, в свое время немецкий математик Карл Вейерштрасс в самом общем случае показал, что каждому корню характеристического уравнения кратности У соответствует ровно Х линейно независимых решений линейной системы алгебраических уравнений (то есть для каждой собственной частоты М-ой кратности можно найти У линейно независимых столбцов амплитуд), то есть случай К < М для уравнений, описывающих колебательные системы, невозможен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
