А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(2.441) о 130 причем заметим, что для значений координаты 2 В пРеделах 0 < 2 < П координата р пробегает значения в пределах О < р < а1(Г«/Ь, то есть, пра- вильно расставляя пределы интегрирования, приходим к необходимости вычисления следующего интеграла: Наконец, вычисляя последний интеграл по углу ~, получим: гр рн = р ( — а )г(;р — — ып2гг) -г — а 6 чг) 4, 1,, 1 г э (24 2 8 = — р яагб(-а'+ йг) . (,з (2.448) Р' = (' а1г = ~ На 4у 8л = ~ Гх(рг(Ог г(г = ( а р / дг ~ р8р = о о о р=рзугГь =2я й — р~ г = — ха )ь г 2 2 ~р=о (2.449) Поэтому М 2М Р Ъ' ялга' (2.450) где М вЂ” масса параболоида.
Подставляя (2.450) в (2.448)., окончатеоьно получаем лля компоненты уп тензора инерции следуюпгее выражение: г г р'и =.— М(-а +Ь ~. 2 13 (2.451) Полагая значения индексов г = у = 2 в (2.436)., для компоненты Угг получим интеграл Угг — ~г)т(гт — У ) = / Игп(гх + г ) =- г л рчг'т = ф„, ~ног~с)г / рг(д(л соогп 4 гг). (2.452) о о о который, как несложно сообразить, приводит к тому жс результату, что и интеграл (2.445), а потому, так же как и компонента Ун, Угг=-М(- +5 ). 1 51 (,3 (2.453) 131 Лля нахождения объемной плотности р, вычислим обьем параболоида: Наконец. полагая значения индексов з = у == 3 в (2.436), для компоненты узз будем иметь интеграл зр л .~/7л ,1зз = / Ут(г — з') = /4)т(х'+ У') =- Р /ЙР /4)з / РЙРРз = о о а л 1 ~р=рьр*7л 1 4 л = ррр 2я ' /~4з р ~ = рмя / 4)х = -р ка А.
(2.454) У 4 ~ 2 Аз/ 6 о р=о о Подставляя сюда выражение (2.450) для плотности р, окончательно запишем Узз = —,Ма . 1 з 3 (2.455) Теперь остается преобразовать найденные компоненты тензора инерции в систему координат х'у'з' с началом в центре масс параболоида при помощи теоремы Штайнера. Но для этого необходимо знатен на сколько начало одной системы координат отстоит от начала другой. Другими словами, нам необходимо рассчитать положение центра масс параболоида в системе координат хуз. Совершенно очевидно, что его координаты (2.456) х„„= уа„= О. А вот координату з „прилется вычислять но определению; 1 г 1 зо„— — — / йт з =- — Р /о1Р х =- М р=',/*7л = — р,„-2.4 / Изз -р М'" '/ 2 Подставляя в последнее равенство выражение для плотности р согласно (2.450), окончательно запишем 2 3 х„„= — 5, (2.458) Другими словами, начало системы координат х'у'з' отстоит от начазза системы хух на вектор 2 о = — — Аез 3 (2.459) 132 2 Л я -/"'./' о о Л а ЛУрУЛ о (2.451) у(4 у ))у( зб ) (2.460) Поскольку компоненты вектора а) = аз = О., то, очевидно, компонента у(Е) и: 2 у)) — — уп — Ма = — М (-а +)) ) — (-))) = — М ( а Ч- -))з) .
(2.461) 6 (, 3 Совершенно аналогично, компонента ззз: (с), Узз Узз Мо М '(о )) ) (в) 3 2 з б (, 3 ) (2.462) А компонента тензора инерции ззз: (с) () ( ° з( Узз = Узз — М(а — аз) = ум = — Ма . 3 (2.463) 133 (начало вектора находится в центре масс). Согласно теореме Штейнера, компоненты тензора инерции /„"' в системе координат с началом в центре масс могут быть найдены по компонентам тензора у, в другой системе координат. начало которой отстоит от начала первой на вектор а, по формуле: Глава 3 Метод Гамильтона 3.1 Функция и уравнения Гамильтона Обгцие рекомендации, Для построении функции Гамильтона необходимо, как говорят, подвергнуть функцию Лагранжа преобразованию Лежандра.
При этом иапо иол~нить о том. что гамильтонов формализм развивается на множестве так называемых канонических переменных рп о, — обобщенных импульсов и обобщенных координат. функцией которых гамильтониан и является, поэтому необходимо проследить, чтобы все обобщенные скорости (в частности, фигурирующие в лагранжиане) были выражены через них и только через них. Так же как и в лагранжевом формализме. наличие снл трения никоим образом не отражается на виде функции Гамильтона. Поэтому, при построении гамилыониапа диссипативных систем просто забываем про наличие таковых сил.
О них необхолимо вспомнить на этапе пост~юения уравнений движения. силы трения лают о себе 'знать в правых частях одной из групп уравнений Гамильтона. Необходимо всегда помнить, что по своему смыслу гамильтониан представляет собой обобщенную энер1ию системы, записанную в терминах канонических переменных. Задача 3.1.1. Построить гамилщониан системы, которая описывается лаграижианом 134 ь" = — (тз а тедо с тво)поО Уз) + е ото з)поду. 2 2с дС р, = — =тт. дт (3. Ц откуда (3.2) т=— т Обобщенный импульс рв.. дС рв = —. = тот~В. дВ (З.З) откуда В = —.
рв тто (3.4) Обобщенный импульс рт; дС з в еНов,з р„= —. = тлт в1п Ор -ь — т з1п О. дчУ 2с (3.5) откуда 1 г еНо, уэ = — —:-1-(р„— — т в1п В) . тпт Б1п В 2с (3.6) Теперь запишем преобразование Лежандра: Н = р,т+ рвВ+ р„1У вЂ” Е = р Рв 1 / еНоо.о = р, — '+рв — +рв — — у- '(р„, — — т вш В) — С. (3.7) тп тпвл пвтоз)п В (, 2с 135 Решение. Перед тем как непосредственно провести преобразование Лежандра представим обобщенные скорости как функции канонических переменных. Для этого, используя заданную функцию Лагранжа, построим обобщенные импульсы, откуда и выразим обобщенные скорости через обобщенные импульсы о координаты.
Обобщенный импульс р„: Подставилс сюда выражение для лагранжиана, заменяя в котором обобщенные скорости на выражения согласно равенствам (3.2), (3.4) и (3.6): Р Рв еНО,, 1 Р„' Н = —" а — -Ь вЂ”;-и-1 Р— — г В1П О) — —"— т гпго гпгзяп 0 (, 2с ! 2т Рв 2 1 ( ОНО 2 2 2 (Рг — — и Яп 0) 2тгз зтгзяпзВ л 2с ОНО 2 . 2 1 ОНΠ— — г яп В . ~Р.— — г зш О). (3.8) 2с тгза1п20 1 2с Приводя очевидные подобные слагаемые, вынося общий множитель в третьем и последнем слагаемых, перепишем: Р'„Рв 1 еНО 2 . 2 Н = — + — 2+ . 2 асср,в — — г Яп 0 2т 2тг2 гпгзеш 0 (, 2с ОНО 2 2 — — — -~ — 1р,. — — г О1п 01 2тгзйп В л 2с 1 с' еНо 2 — + — -ь ~ (Є— —,г осп О) . (3.9) 2т 2тго 2тгзяп В (, " 2с Задача 3.1.2.
Построить лагранжиан системы, которая описывается гамильтонианом = — я — Р,— — р' + — *'-тря 2т 2трз (, 2с ) 2т 4.= —, (2 = 1.,в). дН (3.10) др,' Для нахождения обобщенного импульса рр запишем уравнение Гамиль- тона дН Р р= дрв Тп (3.11) 136 Решение.
Прежде чем проводить обратное преобразование Лежандра для построения функции Лагранжа. выразим обобщенные импульсы через обобщенные скорости и координаты на основе первой группы уравнений Гамильтона; откуда ре тр Аиалогичио из уравнения Гамильтоиа (3.12) дН 1 ( еНо о1 Ф= = ~(Ре Р~ др тро'1" 2с ) (3,13) находим е еНо Р =тр Оо+ Р 2с (3.14) Наконец, из уравнения Гамильтона дН р, (3,15) др„т следует, что (3.16) Далее запишем обратное преобразование Лежаидра: ~ = рер + рМ + р=2 — Н = еНо од = тр р+ (тр оо т — р ) .
со -Ь тг. 1 — Н. (3.17) 2с о; еНо о~, г (глР) Е = тр -ь ~тр р ч- — р ) д + тй 2с ) 2т 1 ( 7 о еНо о'1 еНо о1 (тй) — — Р'Ф+ — Р) — — р') а — — рз 2тро'1(, 2с ) 2с ) 2т т гро+ кро 2 ' 2с (3.18) Задача 3.1.3. Построить гамильтониан и составить уравнения Гамильтона бусинки массой т., нанизанной иа спицу.
изогнутую в форме 137 Подставим сюда заданный гамильтон иан. заменяя в котором обобщеииые импульсы согласно соотиошениям (3.12), (3.14) и (3.16)., будем иметь; параболы у —. ах, и совершакнцей движение в вертикальной плоско. е стн в однородном поле тнготенин д под действием силы сопротивления гсопр = — Вс Решение. Очевидно, что данная система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем вбсциссу .г бусинки. Для построении гамильтониана необходимо сначала построить функцию Лагранжа, а затем подвергнуть ее преобразованию Лежандра. д Т = — (х —,' у~). (3.19) Дифференцируя урвнение свнзи, коим является уравнение параболы у = ах (3.20) находим т — - — (1+ 4азх ).
2 (3.21) Потенциальная энергия бусинки в однородном ноле тяготения д = -де„ У = гаду = пгдах~. (3.22) 138 Кинетическая энергия бусики, совершающей плоское движение в плоскости ху, Поэтомч лагранжиан рассматриваемой системы, как разность кинетической и потенциальной энергий., Е = (1 + 4огхг) — тдахг.
2 (3.23) р. = —. =тх~14-4о х ) дь" г г дх (3. 24) откуда р* пг(1 + 4агхг) (3.25) Поэтомч гамильтониан г р* Ч-тдах~ = 2т(1 ь 4ог .г) и =р,*-Š— р, т~1+ 4агхг) Р + тдах . г 2т(1 -~- 4агхг) (3.26) Далее построим обобщенную диссннативнчю силу Яэ, которая в уравнениях Гамилщона позволяет учесть действие на бусинку силы сопротивления Гсопр — — — Ж Согласно определению (2.11), Я =Е .— =г,— -~-à —. дг дх „ду дх *д "д (3.27) С учетом уравнения связи у = ахг, — = 2ах.
дд дх Компоненты ньютоновой диссипативной силы с учетом (3.20) г', = — дх, г~ = — дд = — 2дахх., (3.28) 139 Отметим еще раз, что наличие силы сопротивления, действующей на бусинку при движении. никак не отражается ни на виде лагранжнана. нн на виде гамильтониана. Подвергнем построенную функцию Лагранжа (3.23) преобразованию Лежандра. Для этого выразим обобщенную скорость х через канонические переменные р,, х. Обобщенный импульс, согласно определению. Стало быть., О = — дх(1-Ь 4а х ). (3.29) (3.30) Тривиальное дифференцирование гамильтониана (3.26) позволяет записать систему уравнений Гамильтона дН дН Р' дх а (З.ЗЦ в виде х= и* т(1 Е 4агхе) 4агхр' д Р* =' г 2тдах — — р,. т(1 + 4агхг)' (3.32) 3.2 Скобки Пуассона Общие рекомендации.
Скобки Пуассона от двух функций канонических переменных можно всегда считать по определению, явно расписывая их определяющую сумму. Однако, если известен явный вид функций, часто технически более простым оказывается вычисление путем сведении исходной скобки 140 Однако, поскольку мы работаем в 1амильтоновой формулировке, необходимо все физические величины выразить через канонические переменные. Принимая во внимание (3.25), перепишем обобщенную диссипативную силу Задача 3.2д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
