А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Следовательно, и случае кратных частот соответствующее частное решение всегда записывается в виде (2.289). Невозможность частному решению для кратных частот иметь вид (2.290) понятна с Физической точки зрения: наличие в законе колебаний членов, содержащих наряду с экспоиеипиальиыми также и степенные временные множители, противоречило бы закону сохранения энергии.
В нашем решении мы непосредственно убеждаемся в том, что. действительно. кратность корня характеристического уравнения и = Зй/ти Ч совладает с числом линейно независимых собственных векторов матрицы системы (2,323), в которой положено ю = Ч(ЗЙ/т: комплексная амплитуда (2.281) состоит из двух столбцов И З с о,(1) '( )' 1 1 аг(С) = 1 Г(Смс+ См) Ч- аз(1) 100 Итак. закон малых линейных колебаний системы трех бусинок представляет собой линейную комбинацию найденных частных решений (2.285) и (2.288); Ч-Ке Сэ 0 + Сэ 1 е'ем) '.
(2.291) Две вещественные константы Сы, См и две комплексные Сы Сэ 1или, что эквивалентно, четыре вещественм ые Ке Сы 1ш Сть Ке Сэ, 1гп Сэ) могут быть найдены однозначно на основе шести начальных условий: Задача 2.7.3. Найти паком малых вынужденмых колебаний сисгемы, состоящей из двух шариков массами 2гп и гп и двух пружим с жесткостями 21. и 1г. если на шарик массой йт действует вмешняя горизонтальная сила Е = Гс э1п йй Считать, что поле тяжести отсутствует. ~ = С + 1УС.
Лагранжиан свободной системы, как несложно понять, имеет вид: ьо = гпх + -тх — йх — -(хэ — х~) . .э 1 2 г ", 2 2 ' 2 12.292) 101 Решение. Рассматриваемая система, очевидно, имеет две степени свободы. Положением равновесия являсчся положение шариков. при котором пружины недеформировамы. В качестве обобщенмых коордимат выберем отклонемия х,, х, тел от их положения равновесия.
Функция Лагранжа колебательной системы, подверженной действию внешних потенциальных сил, представляет собой сумму функции Лагранжа Се свободной колебательной системы и добавки сгЕ, обусловленной наличием внешних воздействий на систему: гсх ч а 11ОЛОжЕПИО равновесия Яс — — Ем = Рцв)п йа (2.298) Аналогично, вторая компонента обобщенной силы дг| дххы яс — — глг — = гг, дхг * дхг (2,299) Декартова координата ххг"", как мы уже выяснили, ие зависит от хг, следовательно производная дхх'" — =0 х1 дхг и обобщенная сила (2.300) сег = О. Стало быть. обусловленная наличием внешних сил добавка к функции Лагранжа ЛС =,.Г е)пйа (2.301) Итак, полный лагранжиан рассматриваемой колебательной системы Е = тх -ь — тх — ~сх — -(хг — х,) + гах, е)п йа (2.302) ,г 1 г г г 2 г ' 2 2пгхй -ь 3/схг — )схг = та гйп йс, ( тхг + йхг — йт! = О.
(2.303) 103 Заметим, построенная функция Лагранжа автоматически оказалась квад- ратичной по малым отклонениям от положения равновесия. Динамика системы шариков описывается системой уравнений Лагранжа которая представляет собой неоднородную систему дифференциальных уравнений. Ее решение есть суперпозиция общего решения однородной системы н частного решения неоднородной. Общее решение однородной системы 2гпУ~ + Зйхг — Йиз = О, тпхз+ йхз — Йх~ = 0 (2.304) будем искать в виде: (2.305) ( — 2 +и — й )(з) 2 (2.30б) Требование равенства нулю определителя атой системы приводит к ха- рактеристическому уравнению = 2шзыа — 5гпЫз ч- 2кз = 0 (2 307) — х п,з„й~ откуда находим собственные частоты ШП1 ~1з1 = )1 —.
)1 2гп (2.308) Г27 Полагая ы = ~1 — в системе (2.323), 1 гп -~)(А ) (2.309) находим независимое уравнение для комплексных амплитуд первой моды колебаний: (2,310) А~-ьАз=О, 104 Подставляя (2.305) в (2.304), приходим к однородной системе алгебраи- ческих уравнений: общим решением которого является А, = — Аз = С,, (2.311) где С1 — произвольная комплексная константа. Столбец комплексных амплитуд, соответствующий первой собственной частоте, (2.312) Полагая = м — в системе (2.323),. У 2гл — ьс ) ( ь ) (2.313) лли комплексных амплитуд второй моды колебаний независимое урав- нение будет иметь вид: 2А, — Аг = О, (2.314) общим решением которого является (2.315) Аз = 2А1 —— 2Сг с произвольной комплексной константой Сь Столбец комплексных ам- плитуд, соответствующий второй собственной частоте, (2.316) Теперь найдем частное решение неоднородной системы (2.303) Представим неоднородность системы следующим образом: Го з1п ПГ = це (г-гГееш') .
(2.318) 105 Г!пятому общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (2.304) будет иметь внд: и найдены собственные частоты данной колебательной системы: Гг7 ( й "'0( = )) —; ы(ю = ),( —. )( гп' (((2т и соответствующие им столбцы комплексных амплитуд: А(э> ( ) На осиове имеющегося выражения для кинетической эиергии систе- мы г 1 г 2 т гпхгт (пхэ Е ( хтз 2 2, (2.328) составим матрицу Т ее квадратичной формы т (ь ь*) ~2 О) (2.329) 4( (тТА(м б ь (2.330) Для этого представим иормироваиные амплитуды в виде: А(П =с, и найдем нормировочные коэффициенты сп сэ из требований А(втТАсп 1 АратТ 4(П 1 (2.331) В частности, для А(((; е ( 1 — ) ( ', ' ) ( ', ) - х ( г — ) ( ', ) = = сг Зт = 1., (2.332) 108 (заметим, множитель 1 (2 не входит в коэффициенты 1, !).
Лля построения иормальиых координат придерживаемся стандартного алгоритма. 1. Построим нормированные на единицу (с весом Т) комплексные амплитуды А, (ы откуда (2.333) 1)) )(~)= (2 2 )( )= = с~ бел = 1, 12.334) откуда (2.335) км = — ( ). А = — ( ). В.ЗЗЕ 2. Построим матрицу А из компонент столбцов нормированных амплитуд А: 1 1 43ш ъ'бт (2.337) 1 Лт 3. Нормальные координаты (, вводим преобразованием обобщенных координат х -ь б.
или, что то же самое (2.339) 109 1 с~ = —. ,з Совершенно аиалогично лли А'Ю: 1 сз =- =. Позтому нормированные амплитуды имеют вид; 1 1 ъ'Зт ~габт 1 2 ~/Зт ъ'бт 1 1 т! ~=(1 ч с2 ~/Зт ~/бт 1 2 те=- 6+ ьз ч'Зш ч'бт 6 (2.338) 42 Подставим (2.339) в лагранжиан (2.327) .2 1 2 2 е С = тх, + — тхх — йх, — -(хз — х1) 2 2 ( 1 1 1 1 / 1 2 т( ь1+ ье~ + гл ( ьг+ че) ~,т/Зт х/бт,~ 2 1, ъ'Зт х/бт т) -/с — ~1 + — (е~ — — ~ — — бе + — ~1) . (2.340) 1, ч/Зт т~/6т т/ 2 1 ~/бт ь/Зт т) Раскрывая '- ки, легко убеждаемся в сокращении перекрестных членов 81бе н с1/ ~исси слагаемые дают лагранжиан щ (-4, — е ы0141) + ( — бз — — ы~юбе ) . (2.341) А ТА =1. (2.342) откуда А г=АтТ, (2.343) что позволяет обратить (2.338) и окончательно записать; ( ~' ) = АтТ ( ' ) = О ь/Згп ~/Зт (2.344) 2т 2т х/бт тх/бт 110 представляющий собой сумму лагранжианов одномерных гармонических осцилляторов с частотами, совпадающими с собственными частотами ьли., ьеи колебательной системы.
Матрица А удовлетворяет условию: Итак, нормальные координаты /т (~ — — ) — (2х1 — хз), "у з (2.345) бз = 2~) — (х, е х,). 2.8 Динамика твердого тела Общие рекомендации. При решении задач на динамику твердого тела прежде всего необходимо построить его лагранжиан. Следует помнить, что произвольное твердое тело может иметь максимум шесть степеней свободы. Различные ограничения, накладываемые иа возможные типы движения твердого тела 1связи), естественно, приводят к уменьшению числа степеней свободы. Лаграижиан твердого тела, как обычно, представляет собой разность его кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия твердого тела состоит из двух частей.
Первая — кинетическая энергия его поступательного движения. Вторая — кинетическая энергия его вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции. При этом следует помнить о том. что в выражении, определяющем зту энергию фигурируют компоненты тензора инерции, подсчитанные в системе координат, жестко связанной с твердым телам, с началом в его центре масс, и компоненты вектора угловой скорости в этой же системе координат. Потенциальная энергия твердого тела в поле тяготения может быть определена по положению его центра масс. Задача 2.8.1. Однородный полый полуцилиндр массой т и радиуса Й находится на шероховатой горизонтальной поверхности и может со- 111 вершать линейные плоскопараллельиые кодебаиия. Найти период этих колебаии й.
Решение. Очевидио, что полуцилиидр имеет одну степень свободы и его положение может быть задано одиой ксюрдиватой, поскольку при движении его ось остается всегда горизонтальной и параллельной самой себе. и отсутствует проскальзывание между нижней поверхностью полуцилиидра и горизонтальной поверхиостью. Выберем в качестве обобщенной коордииаты угол ур его поворота вокруг своей оси. У, Для нахождения функции Лагранжа гюлуцилиидра построим отдельно его кинетическую Т и потенциальную У энергии. Кинетическая энергия представляет собой сумму энергий поступа- тельного лвижеиия Т„, и энергию вращения Т.р.
11ервая может быть записаиа как (2.346) где х„„,, уч „— координаты центра масс (точка С иа рисунке) в иеподвижиой системе координат. Заметим, что., в силу условия отсутгтвия проскальзывания. Лдииа отрезка 00' совпадает с длиной луги ЛО'. при этом -АО' = 11ур. Обозначим через 1 расстояние от центра масс полуцилиидра до его оси ~это 112 расстояние мы рассчитаем далее). Из рисунка видно, что длины отрезков СК = 1сйп р., Мл = 1соз д., а координаты центра масс Лиффереицируя, находим: Тогда, подставляя в (2.346), Т„мг = — ~г~(11~ + 1~ — 2Ж соэ,о).
(2 351) (2.352) определяется по компонентам теизора инерции 1ч, подсчитанного в си- стеме координат, жестко связаиной с иим, с началам координат, совпа- дающим с центром масс. Выберем оги последней так, как показано на рисунке. В этом случае, очевидно, что вектор угловой скорости ориентирован вдоль оси з' и его компонента вдоль этой оги ыз = ф, а потому из всей двойной суммы «выживаетч только слагаемое с компонентой .Узз тснзора инерции: 113 хц 00 СК Лу 1 з!п ~о, рцч = МΠ— М.ч = Т1 — 1соэф. гц = Яд 1усову, Уцм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
