А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Величина р, определяемая равенством (2.195), иазывается параметром орбиты, величина е, даваемая соотношением (2.196), — эксцеитриситетом. В зависимости от значения последнего, уравнение (2.197) может описывать окружность, эллипс, параболу и гиперболу. При е = 0 уравнение конического сечеиия (2.197) представляет собой уравнение окружности радиуса р: или, что эквивалентно, (77еб) . ( Е < О.
При г = 1 уравнение конического сечения (2.197) представляет собой уравнение параболы. Движение по параболической траектории возможно, как это следует из (2.196), при значениях энергии Е = О. При к > 1 уравнение конического сечения (2.197) представляет собой уравнение гиперболы.
Движение по гиперболической траектории возможно, как это следует из (2.196), при зиачеииях энергии Е > О, Все возможные рассмотренные выше ситуации, соответствующие различным зяачеииям энергии частицы, отражены иа следующих рисунках. Е ) 0 (гиперболи) Б = 0 (пн1щйин) ((7ои)„,„,< Е< 0 (чллипг) Е = (Уе17),. (окРУжпость) 71 Задача 2.5.4. Найти период фииитмого движемия частицы массой т в цеитральиом поле с кеплероэмм потеициалом: а У(г)= — —, а>0. г' Решение. Как мы выяснили в предыдущей задаче, фииитмое движемие в рассматриваемом центральном поле эозможмо при отрицательных змачеииях энергии поэтому далее при вычислениях, принимая во внимание знак энергии частицы. запишем ее в визе (2.
198) Е = -)Е). (2.199) где точки поворота р,л определяются равенством обобщеммой эмергии и эффективного потенциала (2.187): (2.200) Е = Уеб (Рьэ). С учетом (2.198) уравнение для точек поворота примет вид: э -)Е~ = — — +— р 2трх (2,201) или 2т(Е(р — 2тар+рэ = О, 72 Предложим два ваРианта нахождения периода фимитмого движения Первый способ основывается ма непосредственном вычислении имтеграла в общей формуле., определяющей период фимитмого движения в произвольном центральном поле У(г): 2 Р1л= Е ~~~оЕ ) (2,202) Приступим к вычислению интеграла в (2.199). Принимая во внимание (2.187) и (2.198), запишем м т=-г~ , '2 (, о р~~ — — )Е~ + — —— ~ тп 1 ' Р гпзрз) 2 Вынося из-под корня за знак интеграла — ~Е~, приводя к общему знаменателю и выделия полный квадрат в подкореииом выражении, будем иметь: )Е! гпг)Е! ;27и )) )Е! / РоР щ Представим в числителе 73 откуда находим значения расстояний от силового центра до частицы в точках поворота: введем новую переменную интегрирования а (=р —— 2)Е! и разобьем интеграл на два: Беря получившиеся табличные интегралы.
получаем ~аеы а ( 2~Е~ Г Г Значения переменной интегрирования ( в точках поворота (2.202) Ю).з) = р)л — — = ~,) ~ — )— 2)Е) )) ),2)Е)'у' ~д~~Ц' В результате обе подстановки для первого слагаемого дают нулевые ре- зультаты, и период )2т а )йт тах Т = ) — — ) вгссов1 — агссов(-1)) = ) —,— = ва ~ = М2)Е~ )) ')Е)2~Е~ ~/2~Е~ззтп 74 Второй способ вычисления периода финитного движения основан на использовании зже полученных в предыдущей задаче результатов о движении частицы в кеплеровом потенциале. В полярных координатах, как известно, модуль вектора секторной скорости 1 х и= Рр.
2 Интеграл движения и при этом выражается в полярных координатах плоскости Лапласа как '2, и =пхрф Стало быть, секторная скорость и = Рт 2т (2.203) Я = хаЬ. по которому движется частица (а, 6 — большая и малая полуоси эллипса): лаЬ 2глхаЬ Т= — =— (2.204) Полуоси эллипса а, Ь могут бмть легко найдены по известным из предыдущей задачи значениям параметра р (2.195) и эксцентриситега е (2Л95), Связь р, е с а, 6, напомним, имеет вид: Ьх р= а ах' откуда р 1 — ех Ь= р Я вЂ” е~ 75 и сохраняет свое значение.
Именно зто свойство секторной скорости, как площади, замегаемой радиус-вектором в единицу времени, позво- ляет рассчитать период Т финитного движения: за время Т заметается площадь эллипса Поэтому период фииитиого движения, определяемый соотношением (2.204): 22кпг рз р (1 ех)хбг Подставляя сюда выражения 12.195) и (2.19б) для параметра и эксцеитриситета соответствеиио, получаем для периода движения частицы тот же результат: гпо 2.6 Задача рассеяния Общие рекомендации. Решение задач иа иахождеиие дифференциального сечения рассеяния сводится к нахождению црицельиого параметра как функции угла Рассеяния. Делается это иа основе квадратуры, определяющей уравиеиие траектории частицы пучка, движущейся в поле силового центра, иа котором происходит рассеяние.
При этом в квадратуре эффективный потенциал необходимо записать через прицельный параметр. Задачи иа иахождеиие сечения падения частиц иа силовой центр сводятся и иахолгдеиию предельного прицельного параметра, имея который частица выходит асимптотически иа круговую орбиту. Задача 2.б.1. Найти диффереициальиое сечение рассеяния пучка частиц иа силовом центре, потенциал которого и(.)=- —, ( <9).
т Решение. В задаче 2.5.3 для случая притягивающего силового центра (а > О) было найдено уравнение траектории (2.197) в ваде уравнения конического сечения. При этом в зависимости от значения энергии Е частицы эксцентриситег (2,196) мог принимать различные значения, что определяло, по какой траектории будет двигаться частицы: окружность, эллипс, парабола или гипербола. Для случая отталкивающего силового центра (а < О) эффективный потенциал т ПЕ(р) = — — +— а р„ е р о герт (2.205) всюду положителен (см, рис.), н движение возможно только прн значе- ниях энергии Е > О, Все проведенные в задаче 2.5.3 вычисления, как несложно сообразить, остаются в силе. Однако, теперь, в силу положительного значения энергии Е, эксцентриситег траектории., определяемый соотношением (2.196), 2Ер' с=1)1+ — е >1.
шат 77 что говорит о том, что траекторией движения частиц при рассеянии на силовом центре, будет гипербола при любом разрешенном значении энергии Е. Связь прицельного параметра р с углом рассеяния 9 может быть установлена на основе квадратуры, определяющей уравнение траектории (2.186). гмы Р» Нр "'Р 2 (и (уе~(Р)!) зс / гпрэ 2 (о ~е)г (Р)) (2.206) (2.207) Очевидно, ь!!Р! — — ьмдэ. Из рисунка видно, что угол рассеяния 6 удовлетворяет соотношению: !!У! г !.!э!2 78 Обозначим через ЬЫ! — изменение угловой координаты ч! при движении частицы из пространственной бесконечности, где Р = оо, до точки максимального сближеннЯ с силовым ЦентоРом, в котОРой Р = Р гб Ь!Р! — изменение угла при обратном движении на пространственную бесконечность. Выражения для Ь+! и ээээ могут быть непосредственно найдены из (2.186). где для Ь!Р! перед интегралом следует взять знак е — М ПОСКОЛЬКУ На ЭТОМ УЧаетКЕ ДВИЖЕНИЯ КООРДИНата Р УМЕИЬШастСЯ (при этом на нижнем пределе интеграла необходимо поставить р = оо, как значение начальной координаты, на верхнем — р = р ,„, как конечной); в выражении для Ь~оэ перед интегралом следует взнть знак «ч-», поскольку на этом участке движения координата р увеличивается (при этом на нижнем пРеделе интегРела бУдет Р = Р,мзи как значение начальной координаты, на верхнем — р = сю, как конечной): Поэтому л — 9=2 / РР 0~2 тр2 г — (Š— и,б(р)) (2.208) Эффективный потенциал здесь следует записать через прицельный параметр р стандартным образом: ~1~7((Р) = П(Р) + — и- = — 72(Р) ч- — = — — + —.
(2.209) р2 с 2,.„ВР2 2тлрз р2 р р2 При этом в (2.208) необходимо также выразить оставшееся в подынте- гральном выражении (вне эффективного потенциала) р. через прицель- ный параметр р на основе соотношения: „2 — т- — Яре 2т (2.210) (Стоит отметить, что значения интегралов движения р, как модуля момента импульса, и энергии Е могут быть найдены из начальных условий: .2 (2.211) 1пп У(р) = О. Соотношение (2.210) получается из формул (2.211).) Интеграл, фигурирующий в (2.208), нами был уже вычислен в задаче 2.5.3; см. формулу (2.191), в которой необходимо заменить ре на основе (2.210) и поставить соответствующие нашему интегралу пределы.
В итоге, я — 9 = 2 егссов 2Е .-' ( — )' Ргшп 79 где с„— модуль вектора скорости частицы на пространственной беско- нечности в начальный момент времени. Потенциал У(р), предполагается, убывает иа бесконечности так, что = 2 атосов — 2 агссое 1 а (2.212) ~.-'. ( — -;)' Минимальное до силового центра расстояние р и находим иэ равенства, определяющего точки 1юнорота: а Ерх ЦЕ(Рки) = — — + — „= Е.
Рмм Р (2.213) (2.214) Подставляя (2.214) в 12.212), находим: (- — -') т — В = 2 агссое — 2 атосов 1 =- Ч. 'Ч'хе) а 2Ер = 2 агссое ' ', (2.218) ~ — -')' откуда В (2ЕР' ) (2.216) 80 которое решаем как квадратное относительно 1/р и. Помня, что в нашем случае а с О, а координата р всегда неотрицательна., убеждаемся, что это уравнение имеет единственное решение Домножая числитель и знаменатель на р', з и' В (2Е) ' " (й) (2.217) окончательно находим: (2.218) «рз(В) г(о = тг~~г(р~(В)~ = и — г(В = я ( †) . 2 с18- . — — г(О (2.219) г(В , ( 2Е ) 2 . т В 2 з1п— 2 Записывая дифференциал г(О через элемент ~елесного угла Ий г(1? г1В =— 2лвгпВ' (2.220) окончательно приходим к соотношению ""= (4Е),В 2 называемому формулой Э.
Резерфорда. Задача 2.6.2. Пучок частиц массой гп с энергией Е упруго рассеивается на жесткой сфере радиуса В. Найти дифференциальное и полное сечение рассеяния. Решение. Рассеяние пучка на жесткой сфере можно интерпретировать как рассенние на силовом центре, находящемся в центре сферы и создающем поле 81 Дифференциальное сечение рассеяния может быть найдено по формуле: Тем ке менее для нахождения прицельиого параметра как фуикщаи угла рассеяния, нет необходимости анализировать квадратуру, аналогичиую (2.20В) в предыдущей задаче. Данная зависимость находится из чисто геометрических соображеиий.
В самом деле, изобразил~траекторию движения одной частицы при рассеянии. Поскольку вне сферы никаких сил иа частицу ие действуют. оиа движется до и после удара о сферу прямолинейно. Абсолютная упругость удара приводит к тому, что угол падения а совпадает с углом отражевия В (см. рис.); При атом угол а может быть выражен через угол рассеяния 0 очевидным образом: и = (х — д)/2.
(2.221) р = Яыпа. (2.222) С учегом (2.221), зависимость прицельного параметра от угла рассеяиия имеет вид: р р(е) = ггсоз —. 2 (2.223) В качестве прицельного параметра р частицы выступает отезок АВ (см. рис.), равный ллине перпендикуляра, опущенного язвочки падения частицы иа сферу на ее диаметр, параллельный первоначальному иаправлению движения частицы.
Из прямоугольного треугольника ЬАОВ с гипотенузой ОА= й, иаходим: Дифференциальное сечение рассеяния тогда: Ог = 2лр(В)~ — ~«(О = (Ор(О)', ~ ИО! В В 1 1 = 2л Ясов — Лзй» вЂ” — ОО = — лйзэ!пВВО. (2.224) 2 2 2 2 Угол рассеяния О принимает возможные значения 0 < В < л.
При этом значение В = л соответствует «лобовому» столкмовению частицы со сферой, когда она движется в направлении вдоль горнзомтальмого диаметра сферы и после удара о мее продолжает двигатьсн в диаметральмо противоположмую сторону; значемие В = 0 соответствует ситуации, когда частица, имея прицельный параметр р = Я, лишь касается поверхности сферы и ме испытывает изменения направления движения. Полное сечемие рассеяния о»«»я получается интегрированием дифференциальмого «)а по всем возможмым значенинм угла рассеяния: о„»м = /«)и =- — лЛ ( э1пВОО = — — лЯ соэО~ = лй (2.225) 3» 2 ~ 2 2 ./ 2 и представляет собой поперечную площадь препятствия, которое встречают частицы пучка при рассеянии, в машем случае — площадь круга радиуса В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
