А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Данное обстоятельство позволяет находить для уравнений, определяющих потенциалы, наиболее простые частные решения: чем проще оио будет, тем проще будет выглядеть функция Лагранжа! Теперь успех решения задачи зависит ие только от удачного выбора обобщенных координат, ио и от удачного выбора калибровки (то есть частных решений) потенциалов электромагнитного поля. Поэтому, если.
скажем, решая зацачу методом интегралов движения, ие удается найти необходимое количество интегралов движения, возможио, следует попытаться найти иное частное решение для потенциалов, то есть использовать другую калибровку., в которой функция Лагранжа теперь, к примеру., будет иметь новую циклическую координату, что позволит найти недостающий интеграл движения. Задача 2.3.1 Бусинка массой гп и зарядом е нанизала иа тонкое кольцо радиуса Л, которое вращается с постояииой угловой скорсктью м вокруг своего вертикального диаметра в вертикальных однородных и постоянных поле тяжести д и магнитном поле Й.
Составить лагранжиаи частицы и найти закон ее движения в квадратурах. Решение. Сиачала выясним, сколько степеней свободы имеет бусиика. Если бы кольцо ие вращалось, то для оциозиачиого задания положеиия бусинки достаточно было ввести одиу координату в виде, например, угла ее поворота вдоль кольца вокруг его центра. Вращение кольца вокруг своего вертикального диаметра ие приводит к увеличению числа степеней свободы, поскольку вращение равномерное с заданной угловой скоростью, а это значит, что мы заранее знаем, на какой угол повернется плоскость 41 кольца к любому иаперед заданиому люомеиту времени и у„(С) = ы1+ ле.
Следовательно, система имеет одну степень свободы. В качестве обоб- щенной координаты выберем д~ = а — угол отклонения бусинки от вер- тикали в плоскости кольца (см. рис.). 1 ~д Лагранжиаи бусинки в электромагиитиом и потенциальном полях устроен следующим образом: Е = -гого + -А г" — е1с — У. 2 с (2.89) г=Л, О=а, ««« = мс+ з«с. (2.90) (2.91) (2.92) Так кинетическая энергия бусинки запишегся следующим образом: Т= — (гз+г~д'+гэап В1э) = ™(Азат+В'ы~эш~а).
(293) 2 2 42 Как и всегда, величие электромагнитного поля приводит к появлению в функции Лагранжа двух характерных членов с потенциалами А и у. Воспользуемся известными результатами для иих в сферических координатах г,й.,зь, а потом перейдем от иих к обобщенной координате о. Несложно сообразить, что сферические координаты т,й, .и, бусинки выражакпся 1чтобы ие путать обозначения скалярного потенциала р с углом м, сферической системы координат, у последнего приписываем индекс «с«): Далее займемся нахождением потенциалов А и И электромагнитного поля с заданными напряженностями: Н = Нее„ Е = О. Векторный потенциал А может быть найден из соотношения Н = гоСА. Запишем ротор в декартовых координатах в виде определителя: (2.94) (2.95) и разложим его по верхней строке.
Тогда, приравннван коэффициенты при независимых ортах е,. е„, е„получим систему уравнений дли ком- понент векторного потенциала А,. Аю А,: дА. дА„ ду де (2.96) ВА, дА, е„: — — — = О, (2.9Т) а Ох ВА„ВА„ (2.98) дх дй Пользуясь неоднозначностью векторного потенциала, попробуем искать частное решение этой системы с (2.99) Тогда уравнение (2.96) приводит к тому. чтобы при этом компонента А„ не зависела от ж — "=О, А ~А„(а).
дАэ (2. 100) Второе уравнение системы приводит к аналогичному требованию неза- висимости компоненты А, от ж — *=О, А,эеА,(з). дА, дх (2.101) 43 е» д Нее, = , дт ! А, е е, др дг А„ А,, 1 1 А, = — — Ноу, А„= — Нох, 2 ' " 2 (2.102) которое, как несложно видеть, удовлетворяет условиям (2.100) и (2.101). Тогда в используемой калибровке векторного потенциала 1 А = -Но( — уе, + хе„) 2 соответствующее слагаемое из лагранжиана в декартовых координатах может записано в виде: е- еНо -А г = — (ху — ух).
с 2с (2.103) Вспоминая связь декартовых координат х, у со сферическими г. В. х;. х = г гбп д сов ум у = г81пдвшфс. х = г сов 0, (2.104) после подстановки в (2.103) и преобразований, немедленно получаем: е- еНо —.4 г = — г гйп дфо с 2с (2.105) С учетом соотношений (2.91) — (2.92), окончательно запишем: е- „еНо о .о -А.г"= — Н ыош и. с 2с (2.106) Поскольку электрическое поле отсутствует, и в выбранной калибровке векторный потенциал не зависит явно от времени, то 1 дА(г", С) Е(г". 1) = -тУр(г,е) — — ' = -17у(г.с) = О, (2.107) с дс что позволяет выбрать частное решение для скалярного потенциала, равное нулю: оо(г,с) = О.
44 В итоге, нетривиальным остается только равенство (2.98). Путем подбора находим одно нз его возможных частных решений: Потенциал бусинки в однородном поле тяготения У = тдг = тдВ сов а. (2.108) Собирая все вместе, для лагранжиана зариженной бусинки будем иметь: Е = — Вг(аг+ г вщг а) + — Вгы е1п а — тдВсоэа. (2.109) 2 2с Построенная функция Лагранжа, очевидно, не зависит явно от време- /дЕ ни ~ — = 0 .
И, поскольку диссипации отсутствуют, стало быть, обоб- г дг щенная энергия Е явлиется интегралом движения г т г г Е=д — — с=а тВа — Е= — Ва дд 2 — — В м сйп а — — В юв1п а+гцдВсоэа = сонэк (2.110) г г г еНо г г 2 2с Как и всегда, значение константы Е однозначно определяетси начальными условиями. Выражая нз (2.110) обобщенную скорость а да бьэ — =т дг и разделяя переменные, получаем квадратуру, определяюшую неявную зависимость а = а(1): (2.111) — т 2 Г т, г еНи "" ~ — 1Е+ — Вг,лвтцга+ — Вгмг1п а — »пдВсова) утВг 1 2 2с Знак «+» перед квадратурой следует брать в том случае, когда бу- синка движется так., что прн этом угол а возрастает, в противном случае следует брать знак « — ». 45 Задача 2.3.2. Частица массой гл и зарядом е движется по поверхности параболоида ах = хе + уэ (а = сопят) в постоянных и однородных поле тяжести о = — де„электрическом и магнитном полях, напряженности которых соответственно Х = — Нее, и Н = Нее,.
Записать лагранжиан и найти закон движения частицы в квадратурах. Решение. Поскольку частица может двигаться только по поверхности параболоида (не может «сойти» с его поверхности), число ее степеней свободы е = 2. Очевидно, что система имеет цилиндрическую симметрию. Это приводит к мысли о рациональности использования цилиндрических координат. Однако надо определиться. какие две из трех цилиндрических координат р. р, г могут быть объявлены независимыми. Уравнение пара- болоида а =х ч~й 2, 3 в цилиндрических координатах может быть записано следующим образом: ах = р~.
Отсюда следует, что мы можем в качестве обобщенных координат вы- брать р н и, прн этом координата х будет зависимой: х = р /а. (2. П 2) й )Е ~д ьг е"- С = -пзгь +-А г — е1» — у. 2 с (2.113) аб Функция Лагранжа рассматриваемой заряженной частицы устроена следующим образом: ~(~о з ъ+ о) (2.114) Дифференцируя (2.112) по времени з = 2рр/а (2.115) и подставляя вместе с (2.112) в кинетическую энергию, получим (г /Ф+( — ))= (р ()+ — ) «'). )2.))6) Потенциальная энергия в однородном поле тяготения ' У = туг = тур /а.
(2.117) В калибровке векторного потенциала (см. предыдущую задачу) 1 А = -Но(-уе„+ яео) 2 для однородного постоянногомагнитного поля, направленного вдоль оси л, слагаемое из лагранжиана в цилиндрических координатах е- еНо з. -А г= — рф). с 2с (2.11о) В случае однородного и постоянного электрического поля скалярный потенциал р(г" 1) = — Ео г = Еоз = Еор /а. В итоге, лагранжиан заряженной частицы принимает вид: (2.119) С = — ~Р ~1 + — ~ + Ртл ~ + — Р )о — (тд Ч- еЕо) —. (2.120) т /.и/ 4рР~ .о'1 еНо о р =2(, ~ ао/ ',) 2с а 47 Далее воспользуемся известиымн результатами для каждого из слагаемых в ней и исключим зависимую координату з в соответствии с уравнением связи (2.112).
Кинетическая энергия точки в цнлицдрических координатах (дС Функции Лагранжа явно не зависит от времени ~ — = О), коорди- 1, дС (дС ната !а является циклической ~ — = О), поэтому обобщенная энергия Е д!а и обобщенный импульс р„, являются интегралами движения: дС дС Е=р — +Ф вЂ” — С= др д!а 4 зч ! — р 1+ Р ~ Ь р~ф~) Ч- (тад -~- еЕо) р = сопза (2.121) а рг = —. = тр Ф + — р = сопеа дС ц. еНс 12.122) дд 2с Для нахождения закона движения частицы выразим из (2.122) обобщенную скорость !р; (~ 2 ) (2.123) и подставим в обобщенную энергию (2.121): и! э ( 4рз!! 1 г еНо г'!г Р Е = — р 1 1 + — ~ + — ! р, — — р ) + (тд + еЕс) —.
(2.124) 2 ~! аз) 2трз), 2с ) а Выражая отсюда р Р= др д! (2.125) )) э)рг Р) — (тдьеЕс) — ) ' а) т !+— а' ) разделяя "'ременные и ин рируя по аес! к дра рг опредетя„ шую неявную зависимость р = р(!): ! )'4! = Ир м е Р! — (тд+ еЕе) ь*) ! 48 ф с(оо/й Н~ р Ыр/й ~1р (2.127) С учетом (2.125) и (2.123) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (р — — рх),/пгр Ир 2 7' 1 7 еНо , т1' — — (Ре — — Р ) — (ту + еЕо) — ) про 1 ( 2 (, 2с ) )о/ тп 1+ — ) оо ) интегрируя которое находим квадратуру, определяющую неявную зависимость р = Р(чо)' (2.128) ( еНо о) Ро') Равенства (2.126) и (2.128) определяют закон движения заряженной частицы в квадратурах. Задача 2.3.3.
Частица массой гп н зарядом е движется в магнитном поле, напряженность которого Й =Нос 1*+о1е,. Найти закон движения частицы в квадратурах. Л9 Вторая квадратура, определяющая закон изменения обобщенной координаты р., стандартно найдем, расслютрев отношение обобщенных ско- ростей Решение. На движение частицы никаких ограничений не наложено, поэтому она имеег три степени свободы.
В качестве обобщенных координат выберем цилиндрические, поскольку, очевидно, магнитное поле обладает цилиндрической симметрией. Функция Лагранжа заряженной частицы в электромагнитном иоле, как нам известно,имеет вид: ь". = -гпгь -'г -А г — еэр. 2 с (2.129) Заданное магнитное поле Н=Н е ~РС, не является однородным, поэтому для построения лагранжиана необходимо прежде всего найти его потенциалы А. у. Векторный потенциал А определяется равенством Й = гоеА. Записывая ротор в цилиндрических координатах, будем иметь равен- ство: (2.130) Раскладывая определитель по верхней строке и приравнивая коэффици- ентм при независимых ортах е, е, е„получим систему уравнений для компонент векторного потенциала А, А,, А,: р), др д/ (2 А 31) ер .
(2.132) (2.133) 1) д !' р~ др ! Ар Рез д д дзр дз РАр А, Пользуясь неоднозначностью векторного потенциала, будем искать частное решение этой системы с двумя равными нулю компонентами: А~ = А, = О. Тогда уравнение (2.132) выполняется тождественно, уравнение (2.131) приводит к требованию, чтобы компонента А. не зависела от ю дА„ — ~=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
