А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 8
Текст из файла (страница 8)
однако имеется иесколько важных отличий. Во-первых, необходимо построить график зависимости ие физического потеицивла, а эффективного потенциала как фуикции радиальной координаты (представляющей собой расстояние между телом и силовым центром). Используя начальные условия, необходимо вычислить значение сохраняющейся обобщенной энергией, и на графике эффективного потенциала изобразить горизонтальную прямую, соответствующую ее значению. Далее следует отметить точки пересечении (если таковые имеются) прямой энергии с графиком — точки поворота.
Классически разрешенная область значений радиальной координаты определяется условием того, что обобщенная энергия должна быть не меньше эффективного потенциала: те области на графике, где кривая эффективного потенциача лежит выше прямой, соответствующей сохраняющемуся значению энергии, запрещены, там тело ни при каких условиях оказаться не может. В зависимости от того, окружают ли данную разрешенную для движения область точки поворота. делается вывод о том, будет движение финитныл| или инфинитным, периодическим или апериодическим, будет ли падение на силовой центр или нет.
Во-вторых, не стоит забывать, что помимо радиальной координаты, движение тела также определяется и угловой координатой. Особенностью ее изменения является монотонность: она либо постоянно н непрерывно увеличивается, либо уменьшается, что определяется направлением движения тела в начальный момент времени. Фактически изменение угловой координаты приводит к «наматываниюэ траектории вокруг силового центра. Накладывая найденные сведения о движении тела в радиальном направлении на выявленну.ю особенность движения в угловом, можно (качественно) представить траекторию движения.
Задача 2.5.1. Частица массой т движется в центральном поде а 5 У(г) = — — — —. т гз Определить. при каких значениях энергии Е и момента импульса Ь возможно финитное движение частицы без падения на силовой центр (а.,з ) 0). Решение. Данная задача решается исключительно путем применения метода 62 качественного исследования движения. Эффективный потенциал 2 Тз о / Те 1 1 (7е17(Р) = г7(Р) + = Б(Р) + з = — — + ~ — д+ — ) —, (2.170) 2 Р 2 ( 2ту Р" где 1. = Д вЂ” модуль момента импульса частицы, который является интегралом движения. (а Если — ~3+ — = О, то эффективный потеициал 2т всюду отрицательная и моиотопиая функция. В таком случае невозможно финитное движение без падения на силовой центр. В самом деле, при Е > О иет ии одной точки поворота (точек пересечения прямой энергии с графиком эффективного потенциала), стало быть, еспи частица движется в сторону к силовому центру (в сторону уменьшения Р), реализуется фииитиое движение с падением па силовой центр; если частица движется в сторону от силового центра (в сторону увеличения р), — иифииитное движение.
При Е с О имеется одна точка поворота, препятствующая частице уйти на пространствепиую бесконечность. Поэтому реализуется финитное движение с падением на силовой центр. Таким образом, чтобы обеспечить фииитиость двиисеиия без падения на силовой центр, необходимо, с одной стороны, «запретить» частице приблизиться к силовому центру, то есть слева разрешенная область должна ограничиваться точкой поворота, с другой стороны, справа должна быть точка поворота, запрещающая частице оказаться на пространственной бесконечности.
Это может быть достигнуто требованием 7,э -з+ — > о. 2гн (2.171) Асимптотики эффективного потенциала в этом случае 1'ш ие(((р) = О н график эффективного потенциала имеет требуемый вид. ЕУ, (и (г) . < Е с О. (2.172) 'золовке (2.171) дает ограничения на значения момента импульса (который, напомним, определяется исключительно начальными условиями): Ь > (23т) (2.173) Для непосредственного ответа на вопрос о том, какие значения может принимать энергия Е, необходимо вычислить минимальное значение (и н) . эффективного потенциала в (2.172).
Для этого стандартным образом подчиним условию экстремума эффективный потенциал: И о /, б — и б(р) = — — 2 ~ —,у+ — ~ —. = о. 4ре =р ~' гт)р= (2.174) 64 Фннитное движение без падении на силовой центр в этом случае воз- можно при отрицательных значениих энергии, больших минимального значения эффективного потенциала: откуда найдем точку экстремума функции 17 фр) Ро= -3+ 2 (2.175) Вычисляя значение эффективного потенциэла в найденной точке экс- тремума. находим 2 ( е(7)ехсг е(7(рс) = — 7 э1 + 2~ — 3+ — ) 2гп) + ".) — 4 (-3 (2.176) Условие минимума функции 0 й(р) И (7й'(Р ) >О ,(э е проверяетси тривиальным образом.
Таким образом, финитное движение без падения на силовой центр возможно., если момент импульса частицы имеет значения (2.173)., а энергия ее при этом 2 < Е < О. (- Е) 65 К слову сказать, траектория движения в исследуемом случае будет иметь вид., изображенный на рисунке. Задача 2.5.2. Найти время падения частицы массы т на силовой центр поля (7(~) = — —,: если в начальный момент она находилась на расстоянии Л от него и покоилэсь.
Момент импульса и энергия частицы удовлетворяют условию Еэ < 2та, Е > О (о > 0). Решение. Сначала проведем качественное исследование. Эффективный потенциал г гэ 7 и и(р) = 77(р) + — ' = и(р) + — = — ~ — — ) — (2.177) 2трэ 2трз ), 2т) рэ при условии Ьз < 2я(о, сформулированном в задаче, всюду отрицателен и имеет вид, изображенный на рисунке. Становится понятным, что, действительно. при заданных значениях энергии Е > 0 возможно падение частицы на силовой центр. Определим значения инте(ралов движения Е, Ь из начальных условий. Поскольку в начальный момент частица была на расстоянии 77 от силово(о центра и покоилась, это означает, что в полярныйх координатах: р((е) = В.
(2.178) р(сэ) =0: ф(со) = О. (2.179) Обобщенная энергия бб а момент импульса (2.181) Ь = Ри = гпр 1о) =- О. Ф=м Поэтому при заданных начальных условиях эффективный потенциал совпадает с физическим потенциалом: а ое1г(Р) = э (2.182) Время падения г может быть вычислено при помощи квадратуры, определюощей неявную зависимость Р = Р(1): (2.183) 1 — се=~ ( (Е (7еК (Р)) Здесь энергия Е определяется равенством (2.180), а эффективный потенциал — (2.182); перед интегралом следует выбрать знак "— ", поскольку при падении частица движется в сторону уменьшения обобщенной координаты Р.
На нижнем пределе интеграла необходимо положить Рс = )1 согласно начальному условию (2.178), а на нижнем р = О. Таким образом, время падения (2.184) Для вычисления интеграла приведем к общему знаменателю выражение, стоящее под корнем: е о 7 2о ./ чг)~!г: и 2 )( 2а,/ ч'.Ф:и и я е (2.185) 67 Задача 2.6.3. Найти уравнение траектории частивы массой и) в цевтральвом поле Ь'(т) = — —, а > О.
т Решение. Уравнение траектории определяется квадратурой, дающей неявную зависимость р = рьр). Л) Фю = + / — . (2.186) п)рл 2 л» (~ г) (р)) Не будем конкретизировать, в каком иаправлевии движется частица, прописывая всюду далее знаки «т» перед интегралом, а также иачальиые условия, определяющие ро, ч)о. Эффективиый по)евциал частицы 2 ,л и,б(р) = и(р) ь —" = - — ' - — "' . 2 Рз=-р гщр Интеграл в получающемся выражении Р« г)р (2.188) будем брать, вводя новую перемеииую иитегрироваиия 1 Р Поскольку 1 — др = -Щ.
Р то ц~) Р~ /~) ) ос / пгг 2 ./ р' 40лй Я .). аб 2тп ~ем) р» р 68 Выделки полный квадрат в подкоренном выражении, 2та 2тЕ ~ та 2тЕ ~та 1г — + — б 4- — = — ( — — ) + — ч- ~ — ) (2.190) г г 1,г) г ~ г) Ре Ре 1, Ре Ре Ре та 1 и записывая меру интеграла Ы( = Н б — — ), приходим к табличному Рф интегралу вида дх х = агссоч — . у'а~ — хг а Позтому г Рг 2т Им) 1 (2.191) 2 л Объединяя подстановку на нижнем пределе с уге в левой части в новую константу ггс.
получаем 1 та 2гпЕ (та1 1г -- — =,~ —,.( —,) ...;. (2.192) 1,Р,', Выражаем явным образом Р: (2.193) Дели числитель и знаменатель дроби иа та/р~~. в итоге для уравнения траектории получаем равенство Рг у'та (2.194) Иуг) = 69 Для более компактной записи введем обозначения: р — Ы 'Р пга (2.195) 2Ерэ г = ))1+ — ~. пго' ' (2.196) Тогда уравнение траектории (2.194) запишется в виде М) = 1 + г соэ (ы — ое) (2.197) Фя) =р Из (2.196) следует, что = 0 при шов Е=— 2рэ Несложно убедиться в том, что это значение эяергии в точности совпа- дает с минимальным значением эффективного потенциала (2.187): При 0 < е < 1 уравнение конического сечения (2.197) представляет собой уравнение эллипса. Из (2.196) следуем что эллиптической траектория движения будет при значениях эяергии, удовлетворяющей двойному неравенству 2Ер~~ 0<1+ †е, що2 70 и представляет собой уравнение конического сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
