Главная » Просмотр файлов » А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике

А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 8

Файл №1119855 А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике.pdf) 8 страницаА.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855) страница 82019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

однако имеется иесколько важных отличий. Во-первых, необходимо построить график зависимости ие физического потеицивла, а эффективного потенциала как фуикции радиальной координаты (представляющей собой расстояние между телом и силовым центром). Используя начальные условия, необходимо вычислить значение сохраняющейся обобщенной энергией, и на графике эффективного потенциала изобразить горизонтальную прямую, соответствующую ее значению. Далее следует отметить точки пересечении (если таковые имеются) прямой энергии с графиком — точки поворота.

Классически разрешенная область значений радиальной координаты определяется условием того, что обобщенная энергия должна быть не меньше эффективного потенциала: те области на графике, где кривая эффективного потенциача лежит выше прямой, соответствующей сохраняющемуся значению энергии, запрещены, там тело ни при каких условиях оказаться не может. В зависимости от того, окружают ли данную разрешенную для движения область точки поворота. делается вывод о том, будет движение финитныл| или инфинитным, периодическим или апериодическим, будет ли падение на силовой центр или нет.

Во-вторых, не стоит забывать, что помимо радиальной координаты, движение тела также определяется и угловой координатой. Особенностью ее изменения является монотонность: она либо постоянно н непрерывно увеличивается, либо уменьшается, что определяется направлением движения тела в начальный момент времени. Фактически изменение угловой координаты приводит к «наматываниюэ траектории вокруг силового центра. Накладывая найденные сведения о движении тела в радиальном направлении на выявленну.ю особенность движения в угловом, можно (качественно) представить траекторию движения.

Задача 2.5.1. Частица массой т движется в центральном поде а 5 У(г) = — — — —. т гз Определить. при каких значениях энергии Е и момента импульса Ь возможно финитное движение частицы без падения на силовой центр (а.,з ) 0). Решение. Данная задача решается исключительно путем применения метода 62 качественного исследования движения. Эффективный потенциал 2 Тз о / Те 1 1 (7е17(Р) = г7(Р) + = Б(Р) + з = — — + ~ — д+ — ) —, (2.170) 2 Р 2 ( 2ту Р" где 1. = Д вЂ” модуль момента импульса частицы, который является интегралом движения. (а Если — ~3+ — = О, то эффективный потеициал 2т всюду отрицательная и моиотопиая функция. В таком случае невозможно финитное движение без падения на силовой центр. В самом деле, при Е > О иет ии одной точки поворота (точек пересечения прямой энергии с графиком эффективного потенциала), стало быть, еспи частица движется в сторону к силовому центру (в сторону уменьшения Р), реализуется фииитиое движение с падением па силовой центр; если частица движется в сторону от силового центра (в сторону увеличения р), — иифииитное движение.

При Е с О имеется одна точка поворота, препятствующая частице уйти на пространствепиую бесконечность. Поэтому реализуется финитное движение с падением на силовой центр. Таким образом, чтобы обеспечить фииитиость двиисеиия без падения на силовой центр, необходимо, с одной стороны, «запретить» частице приблизиться к силовому центру, то есть слева разрешенная область должна ограничиваться точкой поворота, с другой стороны, справа должна быть точка поворота, запрещающая частице оказаться на пространственной бесконечности.

Это может быть достигнуто требованием 7,э -з+ — > о. 2гн (2.171) Асимптотики эффективного потенциала в этом случае 1'ш ие(((р) = О н график эффективного потенциала имеет требуемый вид. ЕУ, (и (г) . < Е с О. (2.172) 'золовке (2.171) дает ограничения на значения момента импульса (который, напомним, определяется исключительно начальными условиями): Ь > (23т) (2.173) Для непосредственного ответа на вопрос о том, какие значения может принимать энергия Е, необходимо вычислить минимальное значение (и н) . эффективного потенциала в (2.172).

Для этого стандартным образом подчиним условию экстремума эффективный потенциал: И о /, б — и б(р) = — — 2 ~ —,у+ — ~ —. = о. 4ре =р ~' гт)р= (2.174) 64 Фннитное движение без падении на силовой центр в этом случае воз- можно при отрицательных значениих энергии, больших минимального значения эффективного потенциала: откуда найдем точку экстремума функции 17 фр) Ро= -3+ 2 (2.175) Вычисляя значение эффективного потенциэла в найденной точке экс- тремума. находим 2 ( е(7)ехсг е(7(рс) = — 7 э1 + 2~ — 3+ — ) 2гп) + ".) — 4 (-3 (2.176) Условие минимума функции 0 й(р) И (7й'(Р ) >О ,(э е проверяетси тривиальным образом.

Таким образом, финитное движение без падения на силовой центр возможно., если момент импульса частицы имеет значения (2.173)., а энергия ее при этом 2 < Е < О. (- Е) 65 К слову сказать, траектория движения в исследуемом случае будет иметь вид., изображенный на рисунке. Задача 2.5.2. Найти время падения частицы массы т на силовой центр поля (7(~) = — —,: если в начальный момент она находилась на расстоянии Л от него и покоилэсь.

Момент импульса и энергия частицы удовлетворяют условию Еэ < 2та, Е > О (о > 0). Решение. Сначала проведем качественное исследование. Эффективный потенциал г гэ 7 и и(р) = 77(р) + — ' = и(р) + — = — ~ — — ) — (2.177) 2трэ 2трз ), 2т) рэ при условии Ьз < 2я(о, сформулированном в задаче, всюду отрицателен и имеет вид, изображенный на рисунке. Становится понятным, что, действительно. при заданных значениях энергии Е > 0 возможно падение частицы на силовой центр. Определим значения инте(ралов движения Е, Ь из начальных условий. Поскольку в начальный момент частица была на расстоянии 77 от силово(о центра и покоилась, это означает, что в полярныйх координатах: р((е) = В.

(2.178) р(сэ) =0: ф(со) = О. (2.179) Обобщенная энергия бб а момент импульса (2.181) Ь = Ри = гпр 1о) =- О. Ф=м Поэтому при заданных начальных условиях эффективный потенциал совпадает с физическим потенциалом: а ое1г(Р) = э (2.182) Время падения г может быть вычислено при помощи квадратуры, определюощей неявную зависимость Р = Р(1): (2.183) 1 — се=~ ( (Е (7еК (Р)) Здесь энергия Е определяется равенством (2.180), а эффективный потенциал — (2.182); перед интегралом следует выбрать знак "— ", поскольку при падении частица движется в сторону уменьшения обобщенной координаты Р.

На нижнем пределе интеграла необходимо положить Рс = )1 согласно начальному условию (2.178), а на нижнем р = О. Таким образом, время падения (2.184) Для вычисления интеграла приведем к общему знаменателю выражение, стоящее под корнем: е о 7 2о ./ чг)~!г: и 2 )( 2а,/ ч'.Ф:и и я е (2.185) 67 Задача 2.6.3. Найти уравнение траектории частивы массой и) в цевтральвом поле Ь'(т) = — —, а > О.

т Решение. Уравнение траектории определяется квадратурой, дающей неявную зависимость р = рьр). Л) Фю = + / — . (2.186) п)рл 2 л» (~ г) (р)) Не будем конкретизировать, в каком иаправлевии движется частица, прописывая всюду далее знаки «т» перед интегралом, а также иачальиые условия, определяющие ро, ч)о. Эффективиый по)евциал частицы 2 ,л и,б(р) = и(р) ь —" = - — ' - — "' . 2 Рз=-р гщр Интеграл в получающемся выражении Р« г)р (2.188) будем брать, вводя новую перемеииую иитегрироваиия 1 Р Поскольку 1 — др = -Щ.

Р то ц~) Р~ /~) ) ос / пгг 2 ./ р' 40лй Я .). аб 2тп ~ем) р» р 68 Выделки полный квадрат в подкоренном выражении, 2та 2тЕ ~ та 2тЕ ~та 1г — + — б 4- — = — ( — — ) + — ч- ~ — ) (2.190) г г 1,г) г ~ г) Ре Ре 1, Ре Ре Ре та 1 и записывая меру интеграла Ы( = Н б — — ), приходим к табличному Рф интегралу вида дх х = агссоч — . у'а~ — хг а Позтому г Рг 2т Им) 1 (2.191) 2 л Объединяя подстановку на нижнем пределе с уге в левой части в новую константу ггс.

получаем 1 та 2гпЕ (та1 1г -- — =,~ —,.( —,) ...;. (2.192) 1,Р,', Выражаем явным образом Р: (2.193) Дели числитель и знаменатель дроби иа та/р~~. в итоге для уравнения траектории получаем равенство Рг у'та (2.194) Иуг) = 69 Для более компактной записи введем обозначения: р — Ы 'Р пга (2.195) 2Ерэ г = ))1+ — ~. пго' ' (2.196) Тогда уравнение траектории (2.194) запишется в виде М) = 1 + г соэ (ы — ое) (2.197) Фя) =р Из (2.196) следует, что = 0 при шов Е=— 2рэ Несложно убедиться в том, что это значение эяергии в точности совпа- дает с минимальным значением эффективного потенциала (2.187): При 0 < е < 1 уравнение конического сечения (2.197) представляет собой уравнение эллипса. Из (2.196) следуем что эллиптической траектория движения будет при значениях эяергии, удовлетворяющей двойному неравенству 2Ер~~ 0<1+ †е, що2 70 и представляет собой уравнение конического сечения.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
7,1 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6480
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее