А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Задача 2.6.3. Найти дифференциальное сечение рассеяния частиц, скорость которых до рассеямия параллельна оси х, ма гладкой упругой поверхности, образованной вращением графика функции р = у(х) = ах ~~, О < х < Ь (а > О, Ь > 0) вокруг оси х. Решение. По аналогии с предыдущей задачей, упругое рассеяния ма поверхности вращения можно переформулировать как рассеяние ма силовом центре с потенциалом 0 вие поверхности вращения, К1(г) = ( со ма и под поверхностью вращения.
При этом, в силу очевидной симметрии, этот воображаемый силовой цемтр находится где-то ма оси симметрии, в качестве которой выступает ось х. Более комкретмой информации о местомахожлемии его сказать невозможно, ио, как мы увидим, этого достаточио для решения задачи. Б частности, знание того. что силовой цемтр находится где-то иа оси т, позволяет прийти к выводу о том, что в качестве прицельного параметра каждой частицы малетающего пучка выступает ордимата точки ее падения ма поверхмость (см. рис.): Изобразим траекторию движемия частицы при упругом столкмовеиии с поверхмостью.
Из рисунка махолим, что угол падения гг связан с углом рассеяния очевидным соогмошемием: о = (г — В)/2. (2.22б) Проведем в точке А падемии касательную к поверхности и обозначим через у угол ее наклона. Тогда значение производмой функции г(т) = 84 187 = — У(х) = — ах Н 1 Вх 2 (2.227) Из чисто геометрических соображений установим свнзь углов а и 7, На рисунке сХАВ = — — а., 2АВС = у 2 и ~~АВ = 2АВС как накрестлежащие, стало быть (2.228) Сравнивая (2.226) и (2.228), находим: В 7= 2 (2.229) Поэтому равенство (2.227) принимает вид: В 1 18 — = — ах 2 2 (2.230) откуда а х = -ссй-, 2 2' а прицельный параметр е р = 1"(х) = ах Г = — С18- = р(В). а В 2 2 (2.231) Дифференциальное сечение рассеяния гпг = 2пр(В) ~ИВ = 2г ( — ) ссй- — ВВ.
(2.232) . бр(В) ( Тат ' В 2 Записывая дифференциал ЫВ через элемент телесного угла ВП по аналогии с (2.220) получаем а~ Ый Й~ = — -;-г —. 16 Пэ1п В/2 85 ахц' в этой точке, как известно, определяет значение тангенса угла на- клона касательной: Определим для полноты картины, в каких пределах изменяется угол рассеяния д частиц пучка. Для этого необходимо рассмотреть две «предельныхь точкм х = 0 и х = Ь, ограничивающих поверхность вращения. После столкновения частицы с поверхностью вращения в точке с абсциссой х = О, ома будет двигаться в диаметрально противоположную сторону, что соответствует значению угла рассеяния д = я.
При рассеянии в точке с абсциссой х = Ь угол рассеямия дь может быть определен из соотношения (2.230): дь 1 О! 2 2 (2.233) откуда дь = 2 агсьй— 2Д (2.234) Очевидно, что при рассеямии во всех остальных точках поверхности вра- щения искомый угол рассеяния мемяегся в пределах; д <д< Итак, дифференциальное сечение рассенния частиц на заданмой поверхности вращения а«дй г(о = —, при этом дь < д < л. 16 е!и д/2' дь 1 !й — = — иЬ 2 2 о,у и(г) = — —— г2 с энергией Е ((о, д > 0)). Решение.
Нахождение сечении падения ма силовой центр !гнал сводится к махождению предельного прицельного параметра ре, поскольку !Тпал = т ре. г (2.235) Вб Задача 2.6.4. Найти сечение падения на силовой центр для частиц массой пц движущихся в потемциале Е = ггеК(Ро Ро). д — и,Е(Р.Р) = О.
дР о — "гол=го (2.236) ор — „и,„(Р Р)~ < О. гуро е Эффективный потенциал частиц пучка ~' (((Р, Р) = ~I(Р) Ч. —. = — + — (ЕР— 3) . (2.237) Ерг а 1 е ' ' г г дифференцируя его, запишем систему (2.236) явным образом: г ГЕРг 6) Ро Ро — — — —. (Еро — 3) = О. а 2 ~2 Рг (2.238) ч о (гЕРо 3) < О 2а 6 Ро Ро Из второго равенства сисгемы (2.238) находим, что Ро = — — (ЕРо — Ф) ° г (2.239) Подставляя последнее выражение в первое уравнение системы (2.238), получаем: аг аг а2 2(ЕР2 3) + 4(ЕРг )) 4(ЕРго 3) 87 По определению предельный прицельный параметр — это такое значение прицельного параметра, имея который частицы пучка асимптотически выходят на круговую орбиту вокруг силового центра. Его значение может быть найдено из условия равенства значения энергии частиц пучка максимальному значению эффективного потенциала, что может быть сформулировано в виде выполнения следующих условий; откуда находим значение предельного прицельного параметра: О Е 4Ез' (2.241) Проверим выполнение третьего условии в системе (2.238): 2а 6, ( ) 2а' ба4 — + —, (гя — и) = (р.2в)) Р8 Ре ~ ) 8 (ЕРзе — 8) 16 (ЕРе з— д) аь ( з аз) ВЕз — ~ (2.240): (Кр' — «) = — — ( = — —, О.
8 (Ер8 — Э) ~ 4Е) а 1ьу аз 1 асад — — л (1 — — —,у( . ( Е 4Езу (2.242) 2.7 Малые колебания Общие рекомендации. При решении задач на малые колебания прежде всего необходимо убедиться в возможности существования колебательного движения в системе. Для этого необходимо проверить ее потенциал па наличие течи минимума. Колебания будут происходить вблизи той точки минимума в окрестности которой задано начальное положение системы. Эта тое ка определяет положение равновесия системы при заданных начальных условиях.
Далее необходимо стандартным образом построить функцию Лагранжа колебательной системы. При этом не нужно думать над вепрь сом рационального выбора обобщенных координат: в качестве таковнг выбираются отклонения от найденного положения равновесия, козюрне впоследствии буз(ут считаться малыми. Для нахождения закона малы 88 Поэтому, подставляя найденное предельное значение прицельного параметра (2.241) в соотношение (2.235), для сечение падения окончательно получаем: Задача 2.7.1.
Колебательная система описываетгя лагранжианом (Ч2Ч1+ 4192) ( +Ч1 Ч2)- Ц Ч1Ч2 Найти закон малых линейных колебаний, возможных в чикой системе. Решение. Во-первых, убедимсн в возможности существования колебательного движения в системе. Для этого исследуем потенциал системы (члены лагранжиана, не зависящие от обобщенных скоростей ч„ч2 и взятые с обратным знаком) 1 и(Ч1: Ч2) = — +Ч1 + 42. (2.243) Ч1Ч2 Вычисляя первые частные производные и приравнивая их к нулю, аи 2 дЧ2 Ч1'Ч2 (2.244) 89 линейных свободных колебаний необходимо произвести разложение построенной функции Лагранжа в ряд Тейлора по малым отклонениям от положения равновесия, сохраняя члены не более второго порядка малости. Последнее обеспечивает линейность дифференциальных уравнений, описывающих колебания. Далее составляется система уравнений Лагранжа, к решению которой стандартными математическими методами сводится дальнейшие действия.
В частности, требование нетривиальности решения однородной системы дифференциальных уравнений приводит к характеристическому уравнению, позволяющему найти собственные частоты. Надо понимать, что у каждой колебательной системы ровно столько собственных частот, сколько степеней свободы она имеет. При этой каждой собственной частоте (моде колебаний) соответствует строго определенная амплитуда (комплексный столбец амплитуд). В случае вынужденных колебаний наличие внешних потенциальных сип производится на уровне лагранжиана: необходимо построить добавку к функции Лагранжа в виде их потенциала. Система уравнений Лагранжа в этол1 СЛуЧаЕ будет неоднородной и решается по-прежнему стандартными математическими методами. Напомним, общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения однородной и частного решения неоднородной систем.
а?? — = — — 20-1=0, О!?2 !?1!?2 (2.245) находим точку экстремума потенциала: (2.246) 901 1 402 ! — =2>0, 01й„„,1 2 1 П22, ) 2 2 З !?1!?2 41?2 бг — — им = (2.247) 2 ! = 3 > О. (2.248) б2 '~0!=02=1 Итак, найденная точка (2.246) является точкой минимума потенциала системы, а потому в ее окрестности возможно колебательное движение.
Для дальнейшего решения введем новые обобщенные координаты (2.249) Х1 = 41 — !?01 = !?1 — 1., Х2=!?2 002=42 1, которые представляют собой отклонения от положения равковесия. Подставим Я! =1+х1, !?2 = 1+Х2 в лагранжиан и, считая х, и хе малыми, используя асимптотическое соотношение (1 ь х) '~ = 1 — х + х' +..., 0 90 Чтобы убедиться в том, что она является точкой минимума! проверим выполнение условий критерия Сильвестра: все угловые миноры матрицы, состоящей из вторых частных производных потенциала дз??(д) и, =- —,~, вычисленных в точке экстремума !?ь должны быть поаое,) ' ложительнй: произведем разложение в ряд Тейлора до второго порядка малости; с = — (1ч- Х2)*1»- (1+ х,) Х2~ ~— 2~ 2~ -(„'„, 1 — + (1»- х») + (1 + х») (»- х!)(1 х2) = -(х, + х» +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
