А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 14
Текст из файла (страница 14)
соответствующие им обобщенные импульсы ре н р„сохра- няют свои значения: дЕ р„= — =,Уоз з1п~ В -ь,Уз (р + рсозВ) соз В = сопзц (2400) р дб рз = — = Уз (Ф+ „осозд) = сопзк дзо (2.401) Как обычно., значения констант Е, р„, и ре могут быть найдены из начальных условий полагая С = Се в равенствах (2.399)., (2.400) и (2.401)., их определяющих. Найденнзпе три интеграла движения лля рассматриваемой механической системы с тремя степенями свободы позволяют найти закон движения в квадратурах. В самом деле. выражая из (2.401) з) + фсоеВ =— рв оз (2.402) и подставляя в (2.400), найдем: Р = У1 Ф з1 по В + Ре соз В (2АОЗ) откуда выражаем обобщенную скорость дк ре — ре соз В зо— (2.404) з з 121 УдЕ дб Обобщенные координаты р и з~ являются циклическими ~ —, = — = О), '1 дно дез Е = — Л'В~ +, + — В' + тд1 сов В.
12.405) 2У, з1пз В гдз откуда находим: з лВ 2 ( (р„— рвсозВ)  — + 3 —, в —, е в) (2406) Вс 11 У, '~ 2,У,' в1п~ В 2Уз Разделяя переменные и интегрируя., получаем квадратуру. определяю- щую неявную зависимость В = 01з): à — 1е= ~~ ВВ ,407) вв, 2 ( (р — ре сов В) рз — Š—, — —" — тд1 соз В 1) У,' 1 2.7,'вшзВ 2,Уз Рассматривая отношение обобщенных скоростей В и 0 с учетом получен- ных ранее соотношений 12.404) и 12 406) р.
— р,,совВ в',~ в 12.408) с (и — рв, сов О) р' в- °,, -' .„...в) 2.У', зшз В 2,Уз 2 после разделения переменных получаем квадратуру, которая определяет зависимость р = зв(0): в р, — рв,совд зв Фе=х)ЙВ У,'з!и В Вв 7 — ыз ( 2 ( (р — ре сов В) рз х — Š— — — ~ — тд1 соз 0 (2.409) ,У, '2,7, 'в1п~ 0 2уз 122 Подставляя 12,402) и 12.404) в выражение 12.399) для обобщенной энер- гии, получим дифференциальное уравнение относительно одной обоб- щенной координаты В: И, наконец. записывая отношение обобщенных скоростей р и В (при этом 1) выражаем из соотношения (2.402), куда подставляем равенство (2.404)., определяющее обобщенную скорость ф) ре — — е~соэВ В сЫ ВВ рв Уре — рв сов В 1 ,У( япз В (2.410) (р~ ое соз В) он 2,У,'яп В 2Уз — Е после разделения переменных, найдем третью квадратуру, определяю- щую зависимость й = ву(В): Уре соэВ в В — ' —, ' (рв — рвсовВ)) (,Ув,У,' з1п В 6 — 4в=х у .
(2.411) 2 вв ~ 2 ( (р„— рв созВ) рз )~,У,' ~ 2,У, 'япе В 2уэ Соотношения (2.407). (2.409) н (2.411) определнют закон движения волч- ка в квадратурах. Задача 2.8.3. Монета массой гл и радиуса )7 может двигаться произвольным образом по горизонтальной поверхности. Построить лагранжиан монеты и найти закон ее движении в квадратурах. Главные моменты инерции монеты У1 -- .Ув = Ув н .Ув =- У. 123 Решение. На движение монеты наложено единсгвенное ограничение: ее ннжнян гочка не должна отрываться от горизонтальной поверхности, имея возможность перемещаться лишь по горизонтальной поверхности.
Поэтому нз шести степеней свободы, максимального числа степеней свободы произвольного твердого тела, остаются только пять. В качестве обобщенных координат выберем координаты центра монеты в горизоитальной плоскости х„„ш х, уь„: — у и три угла Эйлера О. х и йс При этом направление осей неподвижной хух и жестко связанной с монетой 1с началом в центре монеты) х'у'х' систем координат выберем так, как показано иа рисунке 1оси х', у' лежат в плоскости монеты, а осы' перпендикулярна ей). Поскольку координата х„„, как несложно увидеть из рисунка.
.„„= Лв1пВ. (2.412) то кинетическая энергия движения центра масс Т„„= — (х~ '; у~„ь с ) = — (х~+ у + Я~д~соэ~д). 12.413) Так как оси выбранной нами системы координат. жестко связанной с монетой, совпадают с главными осями инерции., теизор инерции в этой системе координат диагоиален.
так что диагональиые элементы А1 122 ~О. ~ЗЗ Поэтому кинетическая энергия врашательного движения монеты вокруг оси, прокодяшей через центр масс. может быть записана как: з Твр = ~ 1о' '~ У = — Го(ыз .~-ыэ) + —,1.иэ. (2.414) где компоненты и и ыэ и ыз вектора угловой скорости вдоль осей системы координат х'у'х' могут быть стандартно выражены через углы Эйлера 124 в соответствии с равенствами (2.391), (2.392) и (2.393) из предыдущей задачи, так что. по аналогии с (2.394), 1 р — )ь(Р ь1п 0 е 0 ) ч- —,1 (в е РсоьВ) . (2.41о) Как следствие, для полной кинетической энергии монеты будем иметь: Т = Т ч- Т = — (хь е уэ ч Яьджсоьэд) 2 +-,7е(ф~гйпьВ т 0~) + — е'(е' т рсоьВ) . (2.416) 2 2 Бе потечщиальная энергия: (2.41 7) (7 =. тдгк„= тадй сйп В.
Стало бытьч лагранжиан монеты (2.421) 125 ь = Т вЂ” У= — (1 +у +)ь В соь 0) + — )э(Р ьш В+В ) -~- 2 2 1 2 +-0(ы+ ьесоьВ) — тддыпд. (2.418) 2 Закон движения монеты найдем используя метод интегралов движении. Поскольку лагранжиан не зависит явно от времени, а обобщенные координаты х, у. р и 1э являются циклическими, то интегралами движения являются обобщенная энергия Е и соответствующие перечисленным координатам обобщенные импульсы р„, р„. р и ре. ,дЕ ,дЕ дЕ дЕ ;ВЕ Е =. х — е у — -~- 0 —, + х — -~- ф —. — Е =- дх ' ду дд дье д6 2 = — (х ч у'+)7~0'соььВ) т —.Уе(элып~д+ В ) + 2 1 э +- 0 (~0 ч Р соь В) — , 'гпуй ьт В = сольц (2.419) 2 дЕ Р* = —. = ПЭх = сопь1.
(2.420) дх дЕ Р„= — = гпд .= сольц ду ВЕ Ре = —, = ГсРч йп 0+ У (Ы + ассад) соьВ == соней (2.422) дчэ рэ = =.7(~Ф.~- рсоьВ) = сопьь дЕ (2.423) дй х(1) = — Уьхе, Р »и у(1) = — 'С+у„. Р» »и (2.424) (2.425) С учетом равенства (2.423) соотношение (2.422) может быть записано в виде: р„=,У»»»в1п В ч-р„сов В, (2.426) откуда выразим обобщенную скорость ф: р. — расо»В Уе в1п В (2.427) Тогда., выражая из соотношении (2.423) обобщенную скорость»1 с учетом последнего равенства, имеем: ы = — — ф сов В = — — ~рг — р», соа В) . (2.428) ре рч соз В ,У У,У»в1п В Подставляя х и у, выраженные соотвественно из (2.420) и (2,421), а также выражения (2.427) и (2.428), в обобщенную энергию (2.419), получим дифференциальное уравнение относительно одной обобщенной координаты В: (р — рч сое В) =-и'(», »» '») ° ' ' ° д»» ° 2 2У»ап  — — — — (2.429) 2(У и» ту' откуда находим НВ д= — = ггг 2 (Е' — — Я ~ »), »430) ~~ Уе+тУУ»сов»В( 2У»е1п В 126 Значения этик интегралов движения однозначно определяется начальными условиями.
Равенства (2.420) и (2.421) моментально интегрируются, что позволяет найти явные зависимости от времени х = х(Г) и у = 9(1): где с целью сокращения записей введено обозначение (2.431) 21 з' /и пг) Разделяя переменные. находим квадратуру., определяющую неявную зависимость В = 0(с)/ е зе Ч- т11г сонг В 20ов1п 0 Рассматривая далее отношение обобщенных скоростей „-' и В с учетом соотношений (2,427) и (2.430) — 9 Ф Ф /, / 0 /(В г ( (ре — р,/.
сов В) +~/ г* /(~ ~/''/ после разделения переменных получаем квадратуру, которая определяет неявную зависимость л = уг(0)/ р, — ресовВ '/г /ге==я ( п0 . г х уосйп В ш г /ш (р,-р„с яВ) ( уе+пгйгсовгВ(, 2уев1п'В Наконец, вычисляя отношение обобщенных скоростей с/ и В.
сосласно равенствам (2.428) и (2.430) ре сов 0 г (р/ ре ) У Ув!п В и 00 В 00 2 ( ( ь" /) Е— — упд/1 в1п В~ /+ Я 6( //\ 9 127 Разделяя переменные, находим третью квадратуру, определяющую неявную зависимосты~ = фд). в (р сов О ы — бо = + ~НΠ— — — -у — (р — р говд)) х 1,/р в1п д ва г - ыв 2 Р (Ре — Ре сов О) (е'- ' ', — дл В)) пАзм ~,4 Е гпйз савв О ~ 21в в1пв О Соотношения (2.424), (2.425), (2.432), (2.433) и г2,434) определяют закон движения монеты. Задача 2.8.4. Определить моменты инерции однородного параболанда вращения высотой й и радиусом о плоской поверхности в системе координат с началом в центре масс.
Решение. Сначала нам удобней будет поде ~нтать компонен гы тензора инерции в системе координат с началом в вершине параболонда. Как известно., уравнение параболоида в этой сисшме координат может быть записано в виде в=С(х +у). !28 Коэффициент С найдем из данного в условии задачи размера параболо- ида: при х~ + у = С~ (уравненне окружности плоской его поверхности) координата х = Л, то есть х = —,(х'+ у') (2А36) Поскольку ось х мы направили вдоль оси симметрии параболоида, тензор инерции /и (2.436) (2,43?) Ыгп = р„, Лг, где р,„— обьемнан плотность парабо;юида.
Его. в свою очерелгч запишем в цилиндрических координатах: (2А38) с якобианом перехода ог декартовых координат к цилиндрическим (2.439) То есть (2.440) агп = Р~ Рар'цгг(х. причем 0 < р < а, 0 < р < йя. 0 < з < б. Напомним, что связь декартовых координат х, у с цилиндрическими координатами имеет вид: 129 б С = —,. аа Таким образом, уравнение параболоида У, = ~г(гп(ггбч — х,х,) будет диагональным (зч = 0 лля г' ~ 1). Элемент массы Ыгп удобно записать через элемент объема Жг: ~(К = Нхг(уг(х = ' дарг(зэг(х Р(х. у, х) Р(р.р.
х) Р(х, у, х) Р(р. р. с) х = рсоа„ у = ргбп |р. (2А41) (2.442) Полагая в (2.436) значения индексов 1 = у = 1, находим /» = ~с)тп(г — х ) = / 1Гт(р'-Ь л ), Г!одставляя сюда соотношения (2.440) и (2.442), запишем (2.443) .7» — — 11м / дй~~«Гох12(д е1п 22+ ). (2.444) Л «Ч'*1'Ь =р ~4(22~32 ~ д3д(д о1п "+2 ), (2.445) о о о «Внутренний» интеграл по координате р .~/'74 2 1 4 2 р«Гр(р е1п'22+ 2 ) = (- р е1п~42+ — горо) о р=а~/ а/й р-о 2 . г 1 о 2 г 4 2 = — — 2 Б1п 224- — — 2 р . 4 62 2 6 Тогда 2 ь р 4 2 1о , , 1о 111 = дм 022 ог — — 2 о!П ф+ — — 2 ~432 2 й о о (2.446) Вычисляя интеграл по координате =, имеем: 2«4 *=и 2 2 1 о 4 Х» = 42 1ГО2 — — 2 е!п 22+ — — 2 ( 12 /12 86 ),' о ~*=о 2 = р«~322( — а 1«з1п 22+ — а~1«2~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
