А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вычислить скобку Пуассона для компонент момеита импульса и импульса материальной точки (Ь„р,) . Решение. Прежде чем приступить к вычислению скобки Пуассона, представим компоненту момекта импульса Е, в виде функции канонических веремеииых. Для этого векторное произведение радиус-векшра и импульса запишем в виде определителя и раскроем его разлагая по первой строке: ! с1 е„ е, Х=(гхр]=! х у г Р* Рг Р* = е (ур, — р„) + ег(хр, — хр,) + е.(хрг — ур,), (3.33) откуда находим (3.34) Е =- Рэ — У Используя свойство линейности скобки Пуассона по первому аргументу.
представим искомую скобку в вице суммы двух: (:Рх) ( Рг УР* Р) ( Рэ Р) (УР*.Р) Далее расписывая каждую из двух скобок по правилу Лейбница, сводим их к фундаментальным скобкам Пуассона: (~* Р*) = х(Р,;Р-)+ (;Р.) Р, - У(Р,Р.) — (и Р*)Р* Нетривиальной оказывается только скобка во втором слагаемом: Таким образом, Пуассона к так называемым фуидамеитальиым скобкам Пуассона. Это достигается применением осиовиых свойств скобок Пуассона, таких как билииейиость, иекоммутативиость и аналог правила Лейбница. Задача 3.2.2. Вычислить скобку Пуассона компонент момента импульса материальной точки (Ь,, Е,) .
Решение. Используя выражение (З.ЗЗ), запишем аргументы искомой скобки Пуассона явным образом в вцце функций канонических переменных: Ь, = Є— УР,. ь = УР* хрю Используя свойство линейности по первому аргументу, запишем (7-. Т.) = (УР. — Р,:хр, — УР*) = (УР.: Ра — УР*)— — (хр„, хр„— ур ) .
(3.35) Используя свойство линейности по второму аргументу, каждую из двух появившихся скобок также распишем в виде суммы двух: (Ь„Ь,) = (УР„хРл) — (УР„УР ) — ( Р„,.хрл) + (гРюУР„) . (3.36) Далее каждую из четырех скобок распишем по правилу Лейбница. сводя их к фундаментальным. Так при вычислении первой скобки сначала применим правило Лейбница для первого аргумента (УР* хрз) = У(Р:хРл) + (У.хрз) Р* (3.37) а затем в кажцой из двух образовавшихся скобок — прнвило Лейбница для второго аргумента: (УР,, хр„) = У(х(Р,,Р„) + (Р„.,х) Р„) -«(х(У,Рл) -~- (У,х)Р„)Р,. (3.38) Из четырех фундаментальных скобок Пуассона, к которым мы пришли, нетривиальной является лишь одна: (У:Рл) = — (Р, У) =-1. Поэтому (3.39) (УР*, хрх) = — Р' 142 Аналогично расписываем оставшиеся три скобки в (3.36): (ур.: ур.) = и(у (р* р*) + (»., у) р.) + (у (у: р*) -> -1-(у,у)р,)р, = О., (3.40) (хр„, хрэ) = х(х (р„, р„) -Ь (р„, х) р„) + (х(х.рэ) + + (г, х) рэ)р, = О, (3.41) (зр,: у *) = з(у (р, р*) + (р, у) р*) и (у (, р*) -> +(х,у) р,)р„= х(рэ,у) р, = хр,.
(342) (1х; гч) = зр —:ср* = ьэ. (3.43) Задача 3.2.3. Лля классической частицы массой т, движущейси в произвольном электромагнитном поле, вычислить скобку Пуассона компонент вектора скорости (х,у) . Ответ выразить через напряженность магнитного поля. ьз е— С= -тть е -А тс-ед. 2 с (3.44) где А., 1л — векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля. Обобщенный импульс частицы дС е ° р"= —, = тт+ -А, дт с (3.45) откуда выранозем вектор скорости: т = — (р"- -А) . (3.46) 143 Решение.
Представим компоненты вектора скорости классической частицы в виде функций канонических переменных. Лли этого, например, вспомним, как выглидит ее функция Лагранжа: Поэтому аргументы скобки Пуассона, которую нам предстоит подсчи- тать, х = — (р, — -А,) ., у = — (р» — -А») . 13.47) Используя свойство билинейности, представим искомую скобку Пуассона в виде суммы четырех: 1 1 е е 1х,уу = — ср, — -А, р — -А 1 = .. ° .)- е тэ = — ~~р», ру) — — (р А») — - (А«р») + (-) гА», Ау) (3 48) Скобка в перво»л слагаемом фундаментальна и равна нулю. Последняя скобка 1'дА* дА» дА«дА»'1 ,,~гдр, дх» дх, др,у 13.49) дА, дА» др; др» Скобку Пуассона во втором слагаемом в 13.48) распишем по определению: з 13.50) Производная —, ш 0 лля всех значений « = Г$.
А производная— др, Ф« дх, др» отлична от нуля и равна единице лишь для 1 = 1. Поэтому из всей суммы по индексу» «выживает» только одно слагаемое со значением индекса суммирования» = 1: др, дЛ„дЛ„ »» др дх дх '13.51) Совершенно аналогично, в скобке Пуассона в третьем слагаелюм в 13.48) ' 7аА.бр„ал.бр„'1 ,,1дР, дх, дх, дР,) 13.52) 144 поскольку векторный потенциал А = А(г, г) не зависит от импульсов и потому производные производная также «выживаегэ только одно слагаемое со значением ин- Лекса суммирования г = 2: дА„др„дА„ (А„р„) = — — * —" = — — '*. др дрг др (З.оЗ) Собирая все вместе, для искомой скобки Пуассона получаем: е )'дАг дА, 1 (х И= — — ~ — "- — *~ ° (,д ду~ (3.54) Вспоминая, что напряженность магнитного поля определяетсн ротором векторного потенциала, е (3.55) несложно сообразить, что разность производных компонент векторного потенциала в (3.54) (3.56) Окончательно, е (х,р) = — — Н,, (3.57) 145 д Н вЂ” 1%'хА~ = ~ А, дА„дА, дх ду д др дл А„А, ! 3.3 Интегралы движения в методе Гамильтона Общие рекомендации.
Часто случается так, чзо в силу тех или иных причин непосредственное решение дифференциальных уравнений Гамильтона затруднено. Так же как и в лагранжевом, в гамильтоновом формализме на помощь может прийти метод интегралов движения: вместо того, чтобы решать систему дифференциальных уравнений движения, можно решать систему, составленную из интегралов движения. При этом система уравнений должна быть замкнутой: число уравнений должно совпадать с числом неизвестных обобщенных координат, нахождение которых как функции времени и являетси келью.
то есть необходимо найти столько интегралов движения, каково число степеней свободы имеет рассматриваемая система тел. Однако интеграл движения в гамильтоновом формализме представляет собой функции канонических переменных (то есть обобщенных импульсов и координат), поэтому, чтобы превратить его в дифференциальное уравнение первого порядка только по обобщенным координатам., необходимо., используя уравнении Гамильтона, выразить обобщенные импульсы через обобщенные скорости и подставить в найденные интегралы движения. Следует понимать, что существование интегралов движении нвляется следствием уравнений движения Гамильтона, что и делает решение системы уравнений, составленной из интегралов движения, эквивалентным решению системы уравнений движения.
Задача 3.3.1. Найти закон движения в квадратурах для системы, которая описывается лагранжианом (а=совет) ~= — (р+д~)— пз о з ., асоэзэ 2 рз Решение. Отметим, чю используя известные на данный момент методы, по виду функции Лагранжа можно найти только один интеграл движения— 146 дС рр — — — —— гпр, др (3.58) откуда Р= Ре (3.59) Аналогично, обобщенный импульс ргд дС Рк = — = пэл Ф, аф (3.60) откуда 2' Ре (3,61) Функция Гамильтона я = р,р+ р,ф — С = р, Рр + р„. Ре— Построенная функции Гамильтона не зависит явно от времени ( = дУ вЂ” = О, и отсутствуют диссипации, она сама является интегралом дг движения: (3.63) И = сопвг = Е.
147 обобщенную энергию. циклических координат нет, поэтому ни один из обобщенных импульсов не является интегралом движения. В то времн как рассматриваемая система имеет две степени свободы. Однако следует долускатгч что невозможность найти недостающий интеэран движения по виду функции Лагранжа, не означает вовсе., что он не существует. Перейдем к гамильтонову описанию системы. Подвергнем заданный лагранжиан преобразованию Лежандра и построим функцию Гамильтона. Для этого сначала выразим обобщенные скорости через канонические переменные.
По определению, обобщенный импульс р„: (Поскольку гамильтониан по своему смыслу есть обобщенная энергия системы. значение его имеет смысл обозначить константой Е.) Для на- хождения второго интеграла движения. перепишем функцию Гамильто- на следующим образолс Н = —" -1- — ( — г -л асозр 2т рг (,2т (3.64) Такая форма записи гамильтониана позволяет сделать вывод о том, что выражение., стоящее в скобках, есть функция пары канонически сопря- женных перемеинмх р . р Г(Рг,,й) = -д-+ асоэлг, рг (3.65) которые нигде более, как в ней, не встречаются в функции Гамильтона. В этом случае говорят о том, что имеет место факторизация зависимости функции Гамильтона от пары канонически сопряженных переменных р.. уг в фунхцию ), а потому последняя является интегралом движения: г — + асар = С = сонэк рт 2т (3.66) Г!ри этом сама функция Гамильтона, как интеграл движения, теперь может быть записана как Н = и- -!- — = Е.
рг р (3.67) Согласно общему алгоритму, далее необходимо, используя уравнении Гамильтона дП рр дрр т.' дН р, рг (3.68) (3.69) др гпр' 148 выразить обобщенные импульсы р . ре через обобщенные скоросгн р, р и переписать интегралы движения (3.66) и (3.67) в виде дифференциальных уравнений. Однако, поскольку исходно задача была сформулирована в лагранжевом формализме, и мы совершили переход к гамильтонову, < тр~ С Е= — + —, дф 1 С = — гпд ~1 + Осоаф. 2 (3.70) Выражая из первого уравнения р рш — — = х — Š—— (3.71) и разделяя переменные, получим квадратуру, которая определяет неяв- ную зависимость р = д(1): и ы (3.72) Выразим из (3.66) обобщенную скоростыр: 1 2 л = т —, — (С вЂ” ассад).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
