А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119855), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Отметим, что интеграл в соотношении (3.166) может быть легко вычислен, а получающееся выражение будет представлять собой уравнение плоскости, что говорит о том, как мы знаем, что движение в любом центральном поле является плоским. Выбор знаков чшэ в полученных квадратурах осуществляется стандартным образом и определяется исключительно направлением движения частицы. Задача 3.3.2. Система описывается гамильтонианом Методом Гамильтона — Якоби найти закон движения системы в квадрату- рах. Решение.
Сразу скажем, что эту задачу мы не смогли бы решить методом интегралов движения., используя известные нам правила нахождения нх по виду гамильтониана. В самом деле, по виду функции Гамильтона мы заключаем, что интегралами движения являются: сам гамильтониан (он не зависит явно от времени)., а также функция 1 1(Рь ЧЙ = рз ь (3.167) в которую факторизуется вся зависимость функции Гамильтона от пары канонически сопряженных переменных рз, оз. Однако этих двух интегралов для системы с тремн степени свободы недостаточно, чтобы найти закон движения. И как мы уже отмечали, невозможность найти интеграл движения по виду функции Гамильтона (или функции Лагранжа) не означает вовсе, что их больше не существует для данной системы. Сейчас мы увидим, как метод Гамильтона-Якоби воспроизведет этот недостающий интеграл движения весьма элегантным образом.
Запишем уравнение Гамильтона-Якоби: — + — —, + — — + 170 Следовательно. интегрируя первое уравнение (левая часть равна 31), (Ь(94) =*~»1рл)~~,— — +С, Едд (3.175) (Сд — произвольная постоянная). Во втором уравнении в (3.190) (правая часть равна,3з) произведем разделение переменных 71 и 27м собирая в левой части все слагаемые, зависящие от первой, в левой — от второй координаты: %1(271)) 2А)71 + )12»21 = (ЯР()7д)) +)62271~ — 261)7г = Вд! (3.176) откуда находим функции )Е)(91) и С7д(272)) Е )д) ) Ь»д 2»,,— д 1+ » 12!22) 4)~)= ) 2~» — 22 244+».
)2)22) В итоге, полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби будет иметь вид: д),, „)--д, +)»В)».+ д„,-»21 х / )ь72 -Зз — 2»11)72 + 2)171 т ( )гдз)(А — — з + 34! (3.179) )74 дУ' ) 24271 2271 — = — г~ / дд /)Д», *», -»1 2)дд (-2)71) ) 2»-д — дд + д и 172 где адднтивная константа Д, представляет собой сумму ранее введенных С), С2, Сд н С4. Закон движения найдем путем дифференцирования полного интеграла по неаддитивным константам и приравнивая результат к произвольным постоянным.
Лифференцирование по 31 дает квадратуру, которая выражает неявную зависимость между переыенными а е) н сд) 2 Г 2 дд г — го = х ЫЧР Чг + 2д,д, — д (3.181) -бз-гб,Ч,+Д,Ч,' РРЧз Чд Дифференцирование по неадлитивной константе Р)з приводит к квадратуре, выражающей неявную зависимость между гремя обобщенными координатами Ч„Ч2 и Чз: дК / М! (-Чд) / ЫЧ Ч2 24 2 Рд 22222 ,2Ф вЂ” —,Р 2 4 РР— д — 2222 ,2 2 д д дддд ~ / ~ = оа (3 182) 2,'5з — Рг которую перепишем в виде, учитывающем начальные условия; Ф д Чз Ч2 „, 2'-д, — — 22,2 д ~Р / 22Чз ~2 Чз ) Чз (3.183) наконец, дифференцирование по неаддитивной константе 1)д приводит к квадратуре.
устанавливающей неявную зависимость между обобщенными координатами Чд и Чтд — = ад. (3.184) дд ' 2ддд 22,,— ддля ' 22-2 22 ~+ 2дд Разбивая произвольную константу од на две части, представляющие под- становки интегралов на нижних пределах, запишем ее в форме: 21 4Ч2 22 РРЧ2 , 222 22,, — д, д,,/-д,— 22,2 РЕ 173 которую тут же перепишем, разбив произвольную константу ад на трн части (одна представляет собой ге, две другие — результат подстановки обоих интегралов на нижних пределах): Соотношения (3.181), (3.183) и (3.185) устанавливают закон движения системы в квадратурах. Для полноты картины выясним смысл и получим выражения, позволяющие определить значения неаддитивных констант дм дэ и дз. Для этого последовательно продифференцируем найденный полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (3.179) по обобщенным координатам Ч„Чз и Чэ.' дЕ Р1 = — = ш,3з т 2дгЧ1 — дэЧзэ, дЧг дЕ Рз = — = ~ — дэ — 231Чз + дэЧэ: дЧз др' ) 1.
Рэ = — = ш1,(Ла — — э; дЧэ 1 Чэ' (3.186) (3.187) (3.188) 3, = †' (Ч, + Ч,) ж дэ Р~+Рэ 2 2(Ч~ + Чэ) ' лэ=р + —. э 1 э Р1Чэ + РэЧ1 э а дз = -АЧгсз+ Чэ — Ч1 (3.189) (3.190) (3.191) Константа дэ, как несложно видеть, воспроизводит собой ранее упомянутый интеграл движения (3.167), который мы нашли по виду гамильтониаиа.
С учетом (3.190) константа д1 представляет собой гамильтониан системы., который также, как мы выяснили в самом начале решения, также является интегралом движения. Константа дз, определяемая равенством (3.191), представляет собой новый, неизвестный нам интеграл движения, который мы ие смогли найти ранее. Чтобы иметь возможность найти значения интегралов движения (3.189)-(3.191), необходимо найти выражения для обобщенных импульсов рь рэ н Рэ, выразив их через обобщенные скорости и обобщенные координаты.
Сделать это можно на основе уравнений Гамильтона; дуу Ч1 = —. др1 Чз — Чз' (3.192) 174 откуда после нехитрых преобразований находим выражения для неад- дитивных констант: 95 дН рз (3.193) др, в, — д»' дН Чэ = р' (Ч1 + Ч») дрз откуда, выражая импульсы, иаходим: р» = '1»1 йз)ч1 (3.195) Р 1ч! ч») Ч»: (3.196) Рэ =— (3.197) 91 +йэ Так что теперь, зная значения обобщенных коардиват 9,(се) и обобщениых скоростей д,(хэ) в начальный времени, находим значения обобщениых импульсов р,(еэ) при» = Сэ. далее, полагая 1 =- Фэ в соотношениях (3.189) — (3.191)., найдем значения иеаддитивиых констант Зь (3.194) 3.6 Переменные «действие — угол». Адиабати- ческие инварианты Общие рекомендации.
175 Переменные «действие-угол» вЂ” это особые канонически сопряженкые перел«еииые. которые могут быть введены ие для всякой системы. Система должна удовлетворять ряду требований. среди которых, в частности: совершение системой периодического движения, консервативность системы и возможность полкого разделения переменных.
Переход к этим каноническим перемеииым представля«т собой каиовическое увивалевтиое преобразование с производящей функцией, представляющей собой коордииатвую часть полиого ивтегрвла уравнения Гамильтона-Якоби. Сама переменная «действие» дается иитегрвлом по периоду изменения соответствующей координаты.
Важной особеииосгью переменных «действие — уголь, как канонических переменных, является то, что гамильтовиап, записаииый в этих переменных, зависит только от перемеииых «действие» и ие зависит от переменных «угол». В случае систем с медленно меняюпгимися параметрами переменные «действие* являются адиабатическими инвариантами, то есть сохраняют свои значения неизменными несмотря на незамкнутость системы. В этом случае переменные «действие», как адиабатические инварианты, представляют собой некоторые комбинации несохраняющих со временем свои значения энергии системы и меняющихся параметров. Если в задаче речь идет о медленно меняющихся параметрах, то в первую очередь необходимо заняться вычислением переменных «действие», чтобы затем выразить через них энергию системы.
Задача 3.6.1. Используя переменные «действие-угол», найти собственную частоту одномерного гармонического осциллятора с гамильтонианом е' г г,г Н = — + —. 2»п 2 дН(Я д,7, (3.198) Поэтому задача сводится к нахождению функции Гамильтона огцилля- тора, выраженного через переменную «действие». Последняя, как из- вестно, определятся интегралом по периоду изменении координаты: .7 = — ~ р1х)йх. 1 (3.199) 176 Решение.
Данная простейшая задача иллюстрирует возможность нахождения частот систем, совершающих периодическое движение. Согласно общей теории, искомые частоты даются частной производной гамильтониана Н(,у ), записанного в терминах переменных «действие-угол» (при этом гамильтониан оказывается зависящим тодько от переменных «действие») по переменным «действие» 7,: Для осмысления интеграла «с кружочком», проведем качественное исследование движения.
График потенциала осциллятора 2 2 2 приведен на рисунке. Движение возможно при любом положительном значении энергии Е > О. Классически доступной областью движения является область х« < х < хг р» е.» Е= — + —, о 2т 2 (3.200) откуда р=х 2т(Š— — ). Ч (3,201) Несложно понять, что знаки «~» в конечном счете определяются направлением движения.
Действительно. согласно одному из уравнений Гамильтона, х = — = —. дО р (3.202) др т 177 между двумя точками поворота х, и хзс Поэтому интеграл «с кружочком» в (3.199) представляет собой сумму интегралов по двум областям: от хг до х» и обратно от х» и хп тем самым будет «покрыт» полный период изменения координаты х. Однако следует отметить, что вырэже. ния для импульса р(х) как функции координаты несколько отличаются в этик двух областнх. В самом деле., поскольку гамильтониан есть обобщенная энергия Е, запишем г (» — "), лли второй— ехг 'г — ( То есть переменнаи «действие» х= — (~г'«*1г (» — — ) — )~ (г (е- — ))= 'г (»- "Ь ) (3.203) Тем самым мы свели интеграл «с кружочком» к обычному определен- ному интегралу, который можно вычислять любым известным способом.
К примеру, произведем его вычисление используя геометрический смысл определенного интеграла. Обозначим подынтегральную функцию (3.204) чго эквивакентно можно переписать в виде уравнения эллипса: (37205) с полуосями ) 2Е а = г( —, Гг = гг'2»пЕ, )1» (3.20б) 178 11оэтому знак «+» перед корнем в (3.201) ссютветствует движению в сторону увеличения координаты х (в этом случае х > О), знак «-» соответствуег движению в сторону уменьшения координаты х (в этом случае х < О). Следовательно, представляя интеграэ «с кружочком» в (3.199) в виде суммы интегралов по двум областям: от хг до хе и от хг до х,г — в подынтегральном выражении для первой области следует для импульса записать Точки поворота хм хм пределы интегрирования в (3.203), определяются условием равенства потенциала и энегрии (3.207) Е = Гг(х), откуда ~ 2Е и'~'о (3.208) И поскольку ~х~( = хэ = а, делаем вывод о том, что значение определенного интеграла в (3.203) численно оказывается равным площади полуэллипса: 1 1 1лаб 1 ~'2Е,— -; Е я 2 '"' я 2 21 тшо шо (3.209) Отсюда находим, что (3.210) Е = 7шо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
