И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Действительно, в силу этой теоремы ( — кхе) = — 'ыТ, 2 2 Линейные колебания (Гл б откуда (х ) =- —. ат х При 8тх ) У корень в (2) мнимый; поэтому ит я (х') = — + е "" (С1соаы,1+ Санаев,11; и При 8т и < У движение апериодичио. Если 8т и « ~Ц, то 2х и = — — ' те = — —,' ! и ~ <<!та!. Х т Следовательно, в этом случае 2И (х') = — +С,в яТ х глдвд у Нелинейные колебания $1. Собственные колебания н метод Крылова— Боголюбова 7.1. Запишем лагранжиан маятника: Я = — ~р + пгфсоз~р.
тР 2 Полная энергия маятника сохраняется, т. е. мР— ~рт — тн/созгр = Е,. 2 пиРР г. г Ео = — /пл(+ — мо', гпп = д/( 2 (2) Тогда из (!) получим — 4гао ~ з)п ( — )~. Разделяя переменные, нз (3) найдем у~ Йр 2ОЭ,/ =- /' /а~а ,р, 1/ ( — / — мп~(е/2) Обозначим Фе /г/ д ~а о ~/ ( — ) — Мп'(Ч/2) т (,2) иэ (4) получим 2~ (/+ т) = //а 1* О ~ ~ — ~ 5!и (ф2) (2~ Вместо Е, введем константу а согласно соотношению б Ц Собственные колебаввв в метод Крылова — Боголюбова 27В Подстановкой х = ып и (х =- — а(п — ~ приведем (1) к виду ~р ~ а 2) 2 Т=— Прн малых отклонениях (а«1) В том же приближении частота 2к 7 а' ) го =. = гоо (1 т '(, гв!' 7.3.
Уравнение Лагранжа математического маятника имеет вид гр -~- гвов а1п гр = О, где ~Р— Угол отклонениЯ маЯтника от веРтикали, а юов = й71. Отсюда в случае малых колебаний с точностью до первого нелинейного члена включительно получим уравнение в стандартной форме метода КБ: гр — гоо'р — е ге (гр) где в юо е я (гр) =- — грв. еа Регпением этого уравнения в первом приближении по методу КБ является функция гр = асов ф где а =- О; ф = го, —— ара 2гово ' е~, = — ~ еЯ(асовф)соафг($. 1 Г о (Гл.
7 Нелиненные колебания Вычисляя этот интеграл, получим, что е(1~ — — ы аз/8 и, следователь- но, частота нелинейных колебаний т)а~р+гпп1~2+ 1Р ы = О, ' 12)1 или <р+ вар =е1е(ч), где —; л= —. (Р, Ре гп1 Согласно методу КБ ф = а сов ф1 а = — — ' Ч> = еее — —. еа . ар а 2ые 2ыал где ~ "..на: еа„= — ~ з1п 'ар д ф 1 Г ла1нф л 151и "т'1 о ер, =О и, следовательно, а= — — (а+О); а=ае — — г; гл гл пэе ные а=О (а=О). Таким образом, гь11 у = (ае — — ) сов (еое( + а). ные (см. предыду1цую задачу).
Таким образом, закон движения математического маятника в случае малых нелинейных колебаний задается функцией ~р = пасов езе 1 — — ' 1+ ф, . 7.4. Поскольку сила кулонова трения Р =- — Г,—" 8(о) (0(о) — функция Хевисайдн, см. задачу 1.27), уравнение движения маятника имеет вид Из (1) следует, что при /=п«ооао«27, движение прекращается.
7.5. Запишем уравнение колебаний маятника /г«/~ф+/пдф= — а/'ф+1Ро б(ф — ф), (1) 2 где «Р.— коэффициент сопротивления среды, Р, — величина возбуждающего импульса, а фо>0. Вводя обозначения 1 ~о т т1 перепишем (1) в вице ф+«ооф = — Хф+1 ф — 1'Р ] б (ф — -'Ро) 2 Согласно методу КВ еав вр« а= — —; ф=вво — —, 2огд 2е«да причем еи, = — ««(Згаогоз1цЧ« — /а «оо 1 «".Г в«п «Р+] в«п«Р] ' б(асов«р — «р,)~ з1п~х(«р и,) 1 2 о = — амато — — в б(асов«р — «Р,)з1п ф«]«р = !ао«д г г л авдо сов Ч«о = ( 1 ° / «од 5«п «Рд фд и а )ваег„ «р а; ер« = — «З ~~«овХ а з1п «Р вЂ” /а«оо 1 Г Г в«п ф+]ип«Р] б(асозф — фо)~ соз«]и(«р и 2 о / ыд сов О, , ~Овфо(1; фо >а.
Таким образом, если а>«ро, то ]/ а «рг / 2аа ог ="+ " 1фд (2) Ч 1] Собственные колебания и метод Крылова — Боголюбово 277 (Гл. 7 З7В Нелинейные колебания если же а<фо. то м х — — хр — ох; ф = аое соз (охи( + а). 2 о Полагая в (2) а=О, находим Здесь корень будет вещественным при условии ро)2пйфо(. Следовательно, в случае ро(2пйфо( стационарные колебания невозможны.
Из (2) также вытекает: если а(0)(а„то а(х)~ -о 0; если а, (а(0) (а,, то а(г)х „-о а,; если а(О) )ах, то а(~), -х-ах. Итак, для возбуждения незатухающих колебаний с амплитудой ах необходимо, чтобы начальная амплитуда была больше аь Нетрудно видеть, что в этом случае средняя за период мощность возбуждающей силы т у' = — 1 ро-~ 6(ф — фо)фо(à — — т(оооо — ) ах — фх ян о равна средней мощности, рассеиваемой вследствие сопротивления среды т ун ' й(хфф ( хп(х х'' хь" т .~ 2 7.6.
Запишем уравнение для радиального движения сп)тинка массы та в виде лхр = — —; дУ (1) др 'но ~а~о (7(р) = — —— 2ях рх р (2) лхо'о)' ( ° ) 7 о ( зря р ) где Ро — радиус Земли. Пусть значение р,о — — Л соответствует радиусу невозмущенной орбиты. При этом частота обращения связана с моментом импульса соотношением М=лхеоДх;еоо = ййе(гео Следовательно, 5!1 Собственные колебания н метод Крылова — Боголюбова 279 дУ Далее разложим «эффективную» силу — — в точке р,о=го др по степеням х=р — г(.
В результате с точностью до членов третьего порядка малости включительно получим дУ Згн ыо бгл гоо о а — — = — татах-' — х'— х' и, следовательно, х+ етых = е(~(х), где Эыо , быо е9(х) =- — х' — — л"', 77 ов Применяя далее к этому уравнению мстод КБ, получим "=" ~'+%И) где ао — амплитуда колебаний. 7.7. Помещая начало координат в центр силы и совмещая плоскость Охд с плоскостью движения, запишем лагранжиан планеты 7- = — (рв — ' рв га) — (7(р), 2 одно иэ уравнений Лагранжа и интеграл момен га глМ 2гнЛ лгр = тргрв — у — —— ра оа р гр = Мао. (2) Используя (2), перейдем в (1) к переменнойг гр Мг Мг ! 1 р = о гр —.
р' — = —— лгрв т (,р/' о М Р)' М Р)" Следовательно, из (1) получим (и=1/р) 1, 2Лгнв Ма и+и= — т и Ров Р) Ре Рот М увгвМ Для того чтобы представить (3) в стандартной форме, введем функцию Хг и —— Ра (Гл. 7 Нелинейные колебания 230 Тогда нз (3) найдем х +х = — (х+ — ).
Решение (4) ищем в виде х=асозор+ еро+ е у, (рисова!р+ее з!п пор) ° ! (4) лоо! причем а' = — —, ор =-1 — —, ео,, еро 2 * 2а ебл лл — ~ — (х+ — ) сов ло(х(ей о еа„= О. Следовательно, 2Л / 1 = — (аб,а+ — бло), тРоМ Ро Л а =- а,, ер = (1 — — ) р + р„ тяоМ I х =- —, + а, сов ~ (1 — ) ср + <ро ~ = тРФ" 7РоМ бум ~( змт ) Рооео (6) Итак, 1 Р— (6) ! .+ е еоо ~ (1 — З™ ) ~р+ Чо ~ Р =- Ро (1 — —,) .
е =- а,Р. бтМ 1 Роео получим битМ !р = еоо(! оо) Из (6) следует, что траектория тела является незамкнутым эллипсом. Угловое смещение большой полуоси за время одного битМ оборота 6!р = т . Выражая его через длину большой полуоси Рено а и эксцентриситет ео, с помощью, формулы 2 Ро = — ' = а (1 — е,',) улРМ Собственные колебания и метод Крылова — боголюбова 281 $2. Колебания системы с медленно меняющимися параметрами. Адиабатичесние инварианты 7.8. Запишем лагранжиан маятника для случая )ф1«1; 1 е е 1 1.
=- — т(ефе — — тл(фе; 2 2 здесь 1=1(1). Тогда уравнение движения имеет вид — т(еф+ тд1ф = О, б Ф Отсюда, переходя к новой переменной 1, получнм — 1еое — Р + п1 ф = О ж сп или соа ~г — — л); 3 з1п (з — — 'З л). 7 (з) Ф (з) Тогда решение (2) приобретает форму С1 — о/4 ( 2 ~/ —,1 + (8) где С н у — произвольные постоянные. В этом случае (о« р'81) решение (3) может быть получено методом КБ (см. задачу 7.9).
7.9. Запишем уравнение движения маятника в виде — (т (т) ф) -'- л (т) ф = О, бе где т(т) =та1; Й(т) =таИ1; 1=1о+от; т=е1 (здесь е — символический малый параметр). ф + — ф'+ —,ф =-О. 2, я (1) 1ое Решением (1) в области 1)0 является ф (1) = — [Ауд ( — $/82) + ВУ, ( — 4~ й'1) ~, (2) где Х,(х) н Ф~(х) — соответственно функции Бесселя и Неймана первого индекса. В случае о (( )Г3 аргумент функций велик. Поэтому можно воспользоваться их аснмптотнкой: (Гл 7 Нелинейные колебония Применяя к этому )равненшо метод КБ, в первои приближении получим <р=а сон ~р, причем а =- — .
— т нн о о (1) 2нно Лг со =- со(1) = 1,г Я 1,+ог (2) Интегрируя (1) и (2), находим а'та == сопз1; аЧн~ = сопи(; оР = — )I ф + ф,. (3) Следовательно, решение имеет вид Ч~ = ао ( — ') соз ( — )Т йт+ Ро), ОЕ д вМ "нот — = — — у — = — М вЂ”, а1 аг Усредннм (1) по периоду невозмущенного движения, т. е. по пе- риоду Т обращения планеты при постоянной массе М, Т = 2гоа'~~)lт/а, я = утМ. Величины Е и М при усреднении за время 7 практически не изме- няются, следовательно, дЕ, о 11 ! ГЖ вЂ” = — Мту ( — / = — Мту — 3 Ж Тл' г о (2) Теперь используем параметрическое представление г(1): г =а(1 — асеан); 1= й — (К вЂ” ез1п$); Ш =- ~ — — е$.
1г а $' а а В результате из (2) найдем оŠ— г'— о1 и а условием медленности изменения длины является — . — ((1, т. е. 1 о1 ы ог о((йо =)/ й1. 7.10. Закон изменения полной энергии планеты в поле звезды приводит к уравнению Колебания с медленно меняющимися параметрами $2) 283 тМ или, поскольку Е =- — у —, 2а — = 2Š—. Й М Таким образом, получим адиабатические инварианты Š— = сопз1; Ма =- сопз1. Ма Ввиду того, что квадрат малой полуоси М2 М2 ЬЯ= оо 2т1 Е ! 2тМя имеется еще один адиабатический инвариант МЬ = соп51.
Поскольку Ма и МЬ адиабатическн сохраняются, орбита планеты остается подобнои. 711. Лналогично предыдугцей задаче находим дЕ ттМ1 тм ( у — — — — у( — ) = — у — =-2 — Е, дг '1 l где а — большая полуось орбиты р-точки Далее получим Е у ' = сопз1; а у --- сопз1; Ь у =- сопз1. 7.12 Поскольку магнитное поле изменяется вдоль оси г, то из уравнений Максвелла го1Н=О, д1н Н=О следует, что кроме компоненты Не отлична от нуля и другая компонента Нр. Вектор- потенциал рассматриваемого поля имеет одну составляюшую [261 рт А,р — — Р Н(г) — Н" (г) -;...
2 1б Следовательно, дА и Н =- — —" = — — Н'(г)+ да 2 Н, = —. — (РА„) = Н(г) + 1 д др Далее из уравнении движения тх= — (рН-( г — Н'т; е . у с 2 (Гл. 7 Нелинейные колебания е г ! леу = — ~ хН -1- — гхН') с 2 находим и тое с 2 — = — — (ху — ух) Н, бс 2 2с где оз. — составляющая скорости в плоскости Оху.
Усредним (1) по такому движению, какое имело бы место при постоянном поле Н и происходило по закону х (1) = х, + — з1п (еа ( + ее); сН у(~) = р,+ — соз(о22'+ее); ы тс (2) Подставляя (2) и (1) и усредняя по периоду 2п/ео, получим д ! с оЛ 3 Н 2 2 2 = — — Н=— сй 2 2с т 2 Н Из (3) следует, что т то2 — = сонэ(, Т1 = .е Н 2 Существование инварианта (4) приводит к интересным следствиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
