И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(ооо 221) Следовательно, среднее значение мощности, поглощаемой осциллятором (среднее за 1/Л вЂ” «время жизни> оспиллятора), будет равно Лена 2 1 Ео 4т ! то+ Л 12 (оое — ооо) + ( 'оа у+ Л у — (ох — — 6 =- О; 2 (2) -+Л' [ 2 ее т где [е=еоН/лес; еоо = 2ео()е/лйе. Систему (1), (2) можно свести к одному уравнению введением комплексной координаты $=х+(у: $ + Л $ — 1 14 $ — — ово й = — — Е,. 1 2 ее 2 т Решение этого уравнения будем искать в виде интеграла (4) Тогда ее Е„(оо) (оэ — ооо) (оо — ооо) 6.66. Предположим, что волна распространяется вдоль оси йс Тогда уравнения движения имеют вид: 2 х+ Лх+ йд — — х= — — Е,; оео ео (1) 2 т Вынужденные колебания где сХ !»с ас — — + асо ае — -(.
«скос 2 2 асо,ео = —,(ьз ~'~/ ье' — йао) (асо) аоо). 2 Решение (3) также ищем в виде интеграла Оо г =- )е г а'асс(а. В результате подстановки найдем оо Е, (со) аа а (а — ао) (а — во) где х / х* аз с = "+ ае( ао ~/ а« 2 т 4 Средняя мощность, передаваемая волной электронам, равна Фе =- — ао(Еч) = — ео(Ке(йЕ„+ зЕо)) = 2в еое (' ~' са ! Е„(в) ~о 1 а. ( в(Ео(в) Р тТ,) ( (со — в,) (а — осе) (со — соо) (в — ао) Вычислим (б), предполагая, что Е (а) и Е,(с«) ие имеют особенностей.
Замыкая контур в верхней полуплоскости а, получим 4« "'о' а,ил(а,о) аоил(«ссо» л йи са) ~ ио (ао сосо — осоо «Чо — оссо 1 где ис(в) = — „! Ес(в) !' — спектральная интенсивность с-той компоненты поля. Таким образом, если спектр волны сосредоточен вблизи частоты аео, то поглощаемая мощность отрицательна.
Это означает, что электроны передают энергию волне, т. е. в системе электронов, движущихся в заданнои конфигурации полей, возникает индуцированное излучение на частоте аео. В том случае, когда )Е,(а)(е произвольно, (б) можно представить в виде 26Б [Гл б Лнненные колебания + 2и,(ы) )В (ы ао) + 4 6.56. Решение ) равнений движения х —,).х+ аох= — 'Е(г,г) (Е(г,1)=Е„) будем искать в виде х =хо+ х„+ где хо — решение не возмущенного волной уравнения, т. е.
хо = а з1п (ааг+ а). (1) Обусловленное слабым внешним полем возмущение х1 удовлетворяет уравнению х, + )», + ао х„= — Е (го, 1), го = (хо, О, 0) е Его решение может быть представлено в виде х,(1) = ~ х е"нг(1, (2) где еЕн хн =— аьа — — ~ а, т (а — ы1) (а — аа) ' ' 2 Ю Е =- — ( Е(х„()е-' 'г(Е 2н,) Е(хо, 1) = ~ Ен(а, 1) е'и'а; ~р = а 1-(- и, Следовательно, Е> — — — ) 2'Е„(а, 1)еан'4+"1""'г(1 = ХЕ,(а, а+па„)е-", (3) 1 Ф 2н,) Поскольку (в силу (1)) Е(хо, 1) — периодическая функпия с пе- риодом 2л/<оо, то 2а7 Вынужденные колебання % з) где Е (а, 1) = ) Е„(а, в)е'""йо (при вычислении (3) учтено, что Е „= Е„).
Мощность, передаваемая внешним полем осциллятору, /дф дф ~ .Ф' = е Ег =- — е ф ф г = — е ~ — — — ~. ~ др д) ~ ' При усреднении по времени первый член даст нуль, так что ( Р) = (е ф ~~ = — е ( — (ф(го, Г)+ г,т7ф(го, 1)+ ° ° 1) = = е( — ф(го. 1)~ — е(г,— (го, Г)).
д дп д( М (4) Прн усреднении по начальным фазам и первый член в (4) не дает вклада. Поэтому среднее по времени Т и фазам а значение мощности равно кн т (.; Р» =- — ~ На ~ г1 — (хо, 1) Й. 2иТ о,) д1 Учитывая (2) и (3), из (5) после усреднения по фазам получим г ен Ч т (' Ел(а, () Е""и Ен(о, в+иво) е"ы тТ ~~,) (в-вк) (в — ) Этот ряд можно представить в виде суммы по положительным значениям и: «огн» = — ~ и(1Еа — 1(а иво))" — 1 Е~+л(а, ив,)(').
(7) — — — И~ (б) тТ ~.1 „1 (в — в1) (в — вн) Отсюда, применяя теорему вычетов, находим 2нкен к-т ~ юл « дн» =- — ' ) ' ~ ! Е„(а, (и+ 1) в ) !' ~ — + в,(п + 1) ~— ив„Т г П Линейные колебания (Гл, 6 Согласно условию электрическое поле в волноводе Е (г, () = С (х, у) ~ (о>! — йг) (ось г направлена по оси волновода). Тогда (7) принимает вид ((Л>в) = "' ~~)~ и(!С„>(а))в — )Си~к>(а)!в)>., Е (хв () = ~) Е (хв >п) иоан > =- ~) Ев (о и>) 6 то>-" еле,>+и> (8) О1 э в,т Тогда из уравнения движения найдем Ъ х чп>+>в<ил+и> д,~ ли~ 3 й>в (9) где евЕв(а, й) м [(йвв+ а ив)в — ~Х(М + не>в] — ы~~! Подставляя (9) и (8) в (5), получим яя т ((ыра)) == — — ~ да — ~ х> ' >((= Е Г > Г»Е(хо,>) 2п,) 2Т,) д> е — т ев $' ~з!~ % е„(а, й) >й' (> е „(а, й') вне+и >"> т = — ! (( т) е, (Ю+ав>в)в — Ъ(йвв+лыв) — е>в йЯ)Е„(а, й)!» >и (й() + л в>в)а — >.й (й(> + л ыв) — о>,' Из этого выражения следует, что неоднородный спектр внешнего поля может существенно изменить величину поглощаемой мощности.
При определенных условиях она может быть отрицательной, т. е. осциллятор может отдавать свою энергию переменному полю — возникает мазерный эффект. Величина «МъТ определяет фактически полную энергию, переданную осцилляторам при взаимодействии с конечным во времени импульсом излучения. Если же электромагнитное поле меняется во времени периодически, то взаимодействие с осцилляторами удобно характеризовать средней мощностью. Рассмотрим, например, взаимодействие осцилляторов с волной, период которой равен 2п/(е, В этом случае Вынужденные колебания 2б9 6.57.
Каждая частица подчиняется следующему уравнению движения: апг =- еЕ,сов(ои — йг). Поскольку воздействие волны на заряд мало, для достаточно малых интервалов времени можно допустить, что г =- г<в> + г< и -,' где Р>=р+не( — закон движения заряда без воздействия поля, а г<н(т) — возмущение закона движения, связанное с волной.
Тогда, интегрируя (1), находим ги> (() = з1п [(ев — йне) ( — ер], т (ы — йне) где ~р = кр — начальная фаза частицы. еяЕе я (ы — йяе) 1 Т, =- з(п' ая (ы — нее)а 2 Теперь вычислим среднее по распределению начальных скоростей значение Т,: (Те)», = ~Те) (не) а(ке = 2 ию 1 яв а 1 не (ы — йое)— 2 е(О,.
(ы — Аоа)а Здесь о, — компонента скорости, параллельная к. Наибольший вклад в последний интеграл дает область о,-ав/и, причем размеры этой области уменьшаются с ростом й Поэтому Ю Мна (ы — де~я)— (Т)„,= — ), ~ — ) ~ а(на = ~ а ),~ (ы ао)а Различным частицам соответствуют различные значения фазы нк Если частицы распределены в пространстве однородно, то и распределение фаз также однородно. Найдем среднее по фазам значение кинетической энергии, приходящейся на одну частицу; гн 2 г т, щ, "'е (Т)е.= — ~ — (те+г )аанР =- +Т„; 2н,) 2 2 е Линейные калебания 270 (гл 6 Следовательно, частицы с тепловыми скоростями о,=- ~~'20/и — а~/г заметно поглощают энергию электромагнитного поля; если же тепловая скорость частиц о,«ге/й — фазовой скорости волны, то поглощение энергии весьма мало.
6.58. Скорость броуновской частицы г (г+ ы) — г(г) ег- о аг тг =- — е.г+ Г(1), где — Хг — сила сопротивления среды. Умножая обе части (!) скалярно на г н учитывая, что и гг = — гг — г', й получим ш ФМ Х иге †. — — эю' = — †. — +гГ. 2 н)е 2 Н Усредним это уравнение по множеству частиц Тогда ле — — <ге> — ЗИТ = — — . — (г'), 2 нГе 2 Ж так как < '> = ент; <гГ> =0 (здесь й — постоянная Больцмана, Т вЂ” абсолютная температура жидкости). (2) где Ы< т,— 10 с — промежуток времени„в течение которого частица практвчески сохраняет свою скорость.
Сила Г, действующая на частицу, обусловлена хаотическими и нескомпенсированными ударами молекул жидкости о поверхность частицы. В результате сила Г флюктуирует с характерным временем т~ — а/о, где а — среднее расстояние между молекулами жидкости; о-- тепловая скорость молекул. Следовательно, т1 — 10 е/10е с- 10 'е с«те. Таким образом, при усреднении величин, характеризующих броуновскую частицу, за промежуток времени т1~Л~<<те движение частицы происходит практически с постоянной скоростью. Уравнение движения броуновской частицы имеет вид 271 Вынужденные колебания После первого интегрирования уравнения (2) получим — — В7ет — (г') == Се '" +— ~Ы х х Поскольку рассматриваются большие интервалы времени — Г)) 1, то ж о е бит — ("> =— от л и, следовательно, (ге) = — ! Бет к Таким образом, среднеквадратичное смешение броуновской частицы растет линейно со временем.
При движении шарообразной частицы А=Опт!а, где а — радиус частицы; т! — коэффициент вязкости жидкости. В известных опытах Перрена масса частиц т=- 10 " г, а=!О-' см, я!=10 е г/см с Поэтому величина пе/Х=т/бне!а 10 е с и, следовательно, сделанное выше допущение оправдано 6.59. Из уравнения движения броуновского вибратора тх = — их — Хх+Р аналогично предыдущей задаче найдем — — (х ) — йТ = — х(х ) — — — (х ). 2 2 Ше 2 Л7 Очевидно, что (х') = — + С,е"'+Сне и где (2) Из (1) следует, что при Г-е оо (х >= —. ьт и Это соотношение является следствием статистической теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
