И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 44
Текст из файла (страница 44)
т. е. [Н)1'=О, изменение 9.38. Производящая ческое преобразование д5 Р« =— дй Поскольку 1(д, р) — интеграл движения, ЬН=О. функция В(д, Р, 1) порождает канони- 382 (Гл. 9 Уравнения Гамильтона 9.39. Запишем уравнение Гамильтона — Якоби для осциллятора дд 1 т дд 1 и — + — — + — ваада = О.
д1 2т ~дд) 2 Полный интеграл этого уравнения (' I 2а в11/а Б (д, а, 1) = лк» ( ( — — дв~ т(ч — "„тай Примем постоянную а за новый импульс Р. Затем из уравнений дд д5 ,о= —, да ' д,П найдем каноническое преобразование 1р = — — агссоз 9 ( — ~ — 1, р + дно д = 2ту. 1 ! лноа 1 па и 2д' В переменных чт, Р новый гамнльтониан Я = О.
Следовательно, Ф=О, Ф= О, т, е. 1',1 =р, У= Е, где р, Š— сопз1, Таким образом, д = ~ —,) соз (м1+ р). 9.40. Используя изохроппость вариаций, запишем принцип Гамильтона — Остроградского в виде а (' ( У ~ дп 99, + '~~ б9,) п1 = О, П ~=1 если 941(1,) =-бд!(1,)=О (! =1, 2, 5). Интегрируя по частям члены, содержащие вариации скоростей, получим а — — бд,) Ш = ~~1~ —,64;~ — ~ ~1~ — ( —.) буф. (2) 1, Из (1) и (2) ввиду условий на вариации координат в 1е и с! най- дем — — — ~ —.) ~ бд,сй = О.
сч Отсюда, поскольку бд независимы, следуют уравнения Лагранжа. ОА1. Согласно интегральному вариационному принципу для систем с любыми заданными силами н идеальными (голономными и линейными неголономными) связями ~ (6Т вЂ”,' 6А)с(1 = О, ~ Ар!!7; + Ар = О (р = 1, 2,... ссз), с=! (2) причем бс)с(1е) =бд,(1!) =О (/=1, ..., зс, зс=ЗЛс — Уг!); здесь сУ вЂ” число материальных точек системй, сг! — число голономных связей; сгз — число неголономных связей.
Используя выражение для виртуальной работы заданных сил 6Л =,5, фбдсп с=-! представим (1) в виде н се з~ ~'(~~с' — "6~ +'~,'— "б +'~„'дб ) А1=О са ! Отсюда, интегрируя вторую сумму по частям и имея в виду обра- щение в нуль вариаций координат при 1в и 1ь получим с, з, — — — — +с1,~бд,,с,=-О.
са!=! Теперь обратим внимание на то, что вариации координат под. чинены согласно (2) условиям Лснбс1! = О (~ =- 1, 2,..., ~ге), ,— 1 (4) 4 з1 Канонические преобразования. Вариацианные принципы 383 ЗВ4 (Гл, 9 Уравнения Гамильтона Затем используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Умножим каждое нз уравнений (4) иа «свой» неопределенный множитель ид и проинтегрируем во времени от (а до 1!. Результаты втой процедуры сложим с (3) и найдем с, а„ вЂ” — — — ) -)-С;Сс+ ~),иВАВ; ~ басс(1 =О.
(6) сц с=! В=! которая совместно с (2) является системой э!+да уравнений относительно зс+йа неизвестных функций дс(1=1, 2,, з!) и иВ(р =1, 2, ..., Фа). 9.42. Лагранжиан заряда Я = Т+ — Ач — еср, е а его обобщенный импульс есв=лсч+ — 'А. с Поскольку обобщенная энергия сохраняется (Н=Н,), Я = 2Т т Ач На! е с с, с, 5 = ~ Яс(1 = ~ ~2Т + — ' Ач) с(1 — На (Гс — 1!). с Таким образом, укороченное действие с, Ф' = ~ ~2Т+ — Ач) с(1, с, (2) Число вариаций координат равно з! из них зависимых Йа, а независимых э! — йс (рассматриваем случай, когда ЗЛс>йс+йа, т. е.
эс>йа). Далее подберем нс множителей сед так, чтобы в (5) обратить в нуль коэффициенты при йа зависимых вариациях. Тогда, чтобы удовлетворить (5), следует потребовать равенства нулю остальных э! — йа коэффициентов при з,— йа независимых вариациях. Таким образом, из (5) найдем систему уравнений а~ — — ) — — = с~с+ ~~) ~ид.4Вс (с = 1, 2...зс), (6) сС С дТ т дГ дС (, дчС ) дсСС В ! йз Канонические н еобразования.
Ва мационные нрияиипы 385 а принцип Мопертюи принимает вид бйр=О. При Н=Не и полных вариациях бон=бда=О Принцип (2) можно представить в другой форме, исключив элемент времени Ж. Действительно, поскольку 2Тсй = ттг(г, (2) сводится к 6 барс(Г= О, тое й = тосЬ = )Г2т (Ее — еср) сЬ и напишем принцип (2) в форме Якоби 6 ~ ~'К' 2т (Ее — е~р) сЬ + — Ас(г~ = О. с и (3) Теперь получим из (3) дифференциальное уравнение траектории. Замечая, что сЬ =. К(с(г)в = Р'сх,дх,, а следовательно, изменим порядок дифференцирования и варьирования. Тогда най- дем ( — бх,~Ь+ Р— ' сВх, + — А,сИх,.
+ — ' 6А,Их,) = О, дР дх~ и е дк, ' да ' с ' ' с еь я=К2 (е — е\ Отсюда, интегрируя второй и третий члены по частям, получим и (Р— ' + — А,) бх, ~ * + ~ ~ — бх; еЬ— Б~ — о (Р— ') бх,— — с(Абх;+ — 6Ас(х,~ =О. где Р— обобщенный импульс. Можно также перейти к независимой переменной з — длине дуги траектории. В самом деле, учитывая, что полная энергия сода храняется, т. е. Н=Е=Т+ер=Е, а также, что о = —, найдем йа ' [Гл 9 Уравнения Гамнльтана Здесь первая скобка равна нулю, так как интеграл варьируется при заданных значениях координат на пределах. Далее учтем, что бА,ИХ, — стА,бх, = — ' бхаттх, — — ' с(хабх, =- ха и найдем ь Ввиду произвольности бх; отстода следуют уравнения д (' яхт ') дР е ~т дАа дА~ ~ дха да 'т сЬ / дхт с ~ дх, дха / да Упростим форму этих уравнений, поскольку Н=го1А, т.
е. дАа дАь = — есиаоа дат дха и, следовательно, еитаоиг(ха = нгааОигЬа =, нми (Оис(ха Оадхи) == ггс(г, Н1,. 1 Таким образом, окончательно получим уравнение траектории (4) (5) где р = — 'у' 2нт (Еа — етр) —, сЬ дн Варьирование действия (5) приводит к уравнению траектории в форме уравнения Эйлера — Лагранжа дРт дР~ ам 6г дг д— дн (б) Если в качестве независимой переменной выбрать некоторый параметр и, то действие приобретет внд % 81 Каноиичееине преобразования.
Вариапионные принципы 387 с функцией Р =9+ — А —. е дг с Нн В геометрической оптике аналогом принципа Якоби является принцип Ферми з, 6 ~ и ( г, — ') а(з = О, где и (г, — ~ — коэффициент преломления среды. дг ~ б 7' 9.43. Согласно уравнению (4) задачи 9.42 уравнение траектории определяется уравнением грзг где Р = у' 2агЕв, Следовательно, — = О, т. е.
г = аз + Ь. Поскольку г(81) =гь г(за) =гз, находим г= * ' (з,— з)+г,. ав — зз Таким образом, полное действие Б = ) ИгггЕе г)з — Ео (гя — гз) = у~2гпЕо ) гв — гз ~ — со(гг гз). Фг 9.44. Время движения между точками (а, у(а)) и (6, у(д)) )г') )-уз Ь 3 ) и 2д (у (а) — у) зависит от вида функции д(х). Каждой функции у(х) соответствует определенное значение т; тем самым (1) является функционалом, а задача состоит в нахождении экстремума функционала. Обозначая )' )+у' (2) г' 2у (у(а) — у) Уравнения Гамильтона (Гл 9 найдем, как меняется значение ь =~( — — — —,) буях, 48) так как бу'=(бу)' Приравнивая (6) нулю, найдем условие экс- тремума функционала дР Ы дР— — — — =О ду дх ду' а умножая (7) на у', получим (так как Р дРР— —,у' = С.
ду' не зависит явно от х) Наконец, подставляя сюда (2), найдем 1 'У" 1+ 2 )/9 Теперь с помощью подстановки (8) у, — у = 1(1 — соа и), (9) ь т = ) Р(у, у') лх а при малом изменении функции у-в-у'=у+бу, причем у(а) =у„ у(Ь) =уь, а бу1.=О, бд~,=о. (4) Изменение бт можно записать в виде ь ь бт= ~Р(у+бу,у'+бу')Нх — ~Р(у, у')т)х = а а ь ь = ~ — буйх+ ~ —,бу'ах+ .. ° Г дР Р дР (5) ,) ду ду' а а Поскольку бу н бу' не являются независимыми, то, интегрируя второй член в (5) по частям и учитывая (4), получим ь ь бт = ~ — буох + —, бд ~ — ~ — —,бут(х = р дР дР !и Р д дР =3 ду ду' ~а л дл ду' Ф з1 Канонические преоорввоввния Вариационные принципы заа из (8) получим а 2 а~па и р — 1— 1 — сов и (1 — сов и)' (10) Из (9) и (10) следует ор ои мни й~ Ых 1 — сов и тем самым — = ~1(1 — соки), ох и'и х= ~1(и — вй1и)+ Со (11) Таким образом, искомой кривой является циклонда, которая определена здесь в параметрической форме соотношениями (11) и (9).
ЛИТЕРАТУРА 1. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков, изд.2. М., Изд-во МГУ, 1974. 2. Голдстейн Г. Классическая механика, изд. 2, перевод с аиг. М., «Наука», 1975. 3. Л а и д а у Л. Д., Л н ф ш н ц Е. М. Механика, изд. 3. М., «Наука», !973. 4. К о тки н Г. Л., С е р б о В. Г. Сборник задач по хласснческой механи- ке.
М., «Наука», 1969. 5. Т а м м И. Е. Основы теории электричества, изд. 9. М, «Наука», 19?6. 6. Анк упдинов В. А., Кельи а н С. М., Сысоева Л. Г. ЖТФ, 34, 23, 1964. 7. Л а яд ау Л. Д., Л ифш иц Е. М. Теория поля, изд. 6. М., «Наука», 1973. 8. Г р адш тейп И. С., Р ы ж и к И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, изд. 5. М., «Наука», !97!. 9. Оо!61>аЬег А. РЬуз!са! Кеу1е>с, 140, В, 1407, 1965. 10. Л а нд а у Л.
Д., Л и фш иц Е. М. Электродипамика сплошных сред. М., Гостсхиздат, 1957. 1! . Терлецкий Я. П. ЖЭТФ, 21, йй 5, 588, 1959. !2. Джексон Дж. Классическая электродинамика, перевод с англ. М., «Мир», 1965. 13. П а в л е и к о Ю. Г., Г а л ь цо в Д. В. «Изв. вузов», Радиофизвка, 9, 1232, 1966, !4. Лонгмайр К, Физика плазмы, элементарный курс, перевод с англ. М., Атомиздат, 1966. 15.
А н сель м А. И. Основы статистической физики и термодинамики. М., «Наука», 1973. 16. Джеффрис Г,, С в яр лс Б. Методы математической физики, вып. 1, перевод с англ. М., сМир», !969. 1?. Боголюбов Н. Н., Митропольскнй Ю. А. Аснмптотнчсскне методы в теории нелинейных колебаний, изд. 4. М., «Наука», 1974. 18. Кап и ц а П. Л. УФН, 78, 181, 1962. !9. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.
М., Изд-во МГУ, !971. 20. Соколов А. А,, Кульки и А, Г., Павленко А. Г. Атомная энер- гия, 31, 292, 197!. 21. Капица П. Л. УФН, 44, 7, 1951. 22. Проблемы физической оптики и другие вопросы физики. Сборник ста- тей, посвященный памяти С. Н. Вавилова. М.— Л., ГИТТЛ, 1951. 23. Капица П. Л. ЖЭТФ, 21, йй 5, 588, 1951. 24. Гапонов А. В., Миллер М.
А. ЖЭТФ, 34, 242, 1958. 25. А ока рьян Г, А. ЖЭТФ, 42, 1567, 1962. 26. Гл азер В. Основы электронной оптики, перевод с нем. М., Гостех- издат, 1957. 27. Ватсон Дж. Теория бесселевых функций, ч. ! — 2, перевод с англ. М., ИЛ, 1949. ОЛЬХОВСКИЯ ИГОРЬ ИВАНОВИЧ, ПАВЛЕНКО ЮРИЯ ГРИГОРЬЕВИЧ, КУЗЬМЕНКОВ ЛЕОНИД СТЕФАНОВИЧ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРВТИЧЕСКОЯ МЕХАНИКЕ ДЛЯ ФИЗИКОВ Зев, редакцией Т. Г.
Батенина Редактор Р. А. Бунатян Мл. редактор В, В. Конкина Переплет художника И. А. Князькова Технический редактор Т. Е. Светличная Корректоры И. А. Большакова, И. С, Хяьглтова Тематический план 1977 г. Хй 66 ИБ М 261 Сдано а набор 29/ХП !976 г. Подписано к печати ЭуП! 1977 г. Формат 807490/16 Бумага тнп. /Ф 3 Уел печ л. 24,5 Уч-нзд. л. 21,8! Изд. № 3176 Зак. 4 Тарам 16840 11ена 90 нее. Издательство Московского уннверсптста. Москва, К-9, ул.
Герцена, 6/7, Типография Изд-ва МГУ. Москва, Ленннскпе горы .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
