И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Угловая скорость ег этого трехгранника где ого = — ' =- —,— угловая скорость вращения центра масс тя!з а в 'о 'о вокруг Земли. Момент количества движения где И вЂ” абсолютная угловая скорость спутника, причем г)!=8!!, 812=821, 81з=соз+гР Ц вЂ” угловая скорость вращения тела вокруг орта пз).
Направляющие косинусы, выраженные через эйлеровы углы, соответственно равны созм, = — з1п!р, созссз —. — сов йсозгр, созаз =- з1п Осозср. Полученные выражения позволяют испольэовать уравнения Эйлера (2) Рассмотрим частный случай, когда ось симметрии спутника почти лежит в плоскости орбиты 0=22;2 — х, х«1, а угол между осью симметрии и радиусом-вектором го центра масс весьма мал (ер«1). Тогда (4) (5) ог == 0 п, + (ср + ого) з1п 0 пз + (ср + ю,) соз 0 п,, гг(!81 соз!ог) + озого г)з = 1-1 21 (ого аогг) 821~8 уз ~ 2 О 8 128 =- 1-8. !Ог =.
Х !Ог = гР Ого Огз Ого Х Е, == За!,'(у, — г' ) х, йз = Зюо(У! аз) ср ~-з = О Подставляя (4), (5) в (1) — (3), найдем Угх+ его(4,/1 — ЗУз) х — Узйз (гР+ ого) =- О, Уггр+ Зого(71 — л'8)ср+ )8Рзх.= — О, л 8 4)з = О (згз = соп21), (6) (7) (8) дииаяика твердого тела [Гл. 8 изааз = 0 (3) Из (3) находим ааа= (ср+саа)сов О+зри=сопз1. В нулевом приближении ~р= — атв, 9=0. Поскольку суточная угловая скорость вращения Земли фв» р, О, то йз--~рв и в (1), (2) можно пренебречь первыми слагаемыми. Тогда а'з (~р — - «тз) трз — Зета (l, — а'з) соз 9 соз' р, ,1з О тРз =- )ато (Ут — /з) 81п О зп1 ~р сов тр. (4) (5) Усредняя (4), (5) по периоду 2н/твв, найдем (р) = — ы, — , 'Лр, (О) =-О, 2 й~р = —.
в А — гз сов О. 2 т(о 2з Для Земли угол между плоскостью эклиптики и осью симметрии Земли равен 9=23, — —, — = 36щ Следовательно, а 7з — 1т 1 тРо г Хз 800 ' втз 1 Л'р = ата. 80000 Различие между полученным периодом, равным 80000 годам, н наблюдаемым, равным 26000 годам, объясняется тем, что в расчете не учтен момент сил притяжения Луны. Если У,»уз, уравнения (6), (7) упрощаются, т. е. х+ 4таЬ =- О, р -ь Зтва р = О. Таким образом, ось симметрии колеблется около направления радиуса-вектора центра масс с частотой (/ Зтаз; ось также нутирует вблизи плоскости орбиты с частотой 2таз.
8.48. Вращательный момент, действующий па Землю со стороны Солнпа, обусловлен сплюснутостью Земли у полюсов. Поскольку эксцентриситет орбиты Земли е=0,0167 весьма мал„то можно считать, что центр масс Земли движется по окружности радиуса г,=1,5 10" м с угловой скоростью аз =. тà — "" (М,— а масса Солнца). Используя уравнения (1) — (3) задачи 8.47, запишем уравнение Эйлера У,(ат. — та.ы.)+.7, Л, = 3 а(г, — У,) 81п О оз Осозз р, (1) Ут (етз -)- итзатт) — ат,йзУз —.— — Затаи (Га — Уз) 81п О соа ср з1п ~р, (2) ГЛАВА 9 Уравнения Гамильтона 5 1.
Канонические уравнении. Скобки Пуассоне 9 г. Поместим начало цилиндрической системы координат в вершине конуса, а ось Оа направим вертикально вверх. Тогда лагранжиан материальной точки рг ря 1 ~ + ргЧ,г) тиар 2 ~ Мага рр = гп, р(г = ьчр я3 Р 5!Пг а и функцию Гамильтона О = -(- р мп'а, р 2рг 2рг рг ',- игла р.
Затем получим уравнения Гамильтона ряпа . р, . р г г р=, чг=- —, рр- — — — тра, р„=О. рг гпрг ргрг 9.2. Положение точки на расширяющейся сферической поверхности зададим сферическими координатами 9, р (начало координат помещено в центр сферы, ось Оа направлена вниз по вертикали). Тогда кинетическая энергия точки Т = — (гг(Г)+ гг(г) 9'и гг(К) ргзтпго1 2 имеет структуру Т= гхг)+ Т('>+ Т~р) То> = — г'(~) [Ог -'; ~Р з!пг 6], Т<п =- О, Тта> =- — г' Я, 2 2 а потенциальная энергия Ь' =- И'> =- — тйт (Г) соз О.
(2а — угол раствора конуса). Отсюда найдем обобщенные им- пульсы Уравнения Гамильтона [Гл 9 ро = тга(() О, р, = тгг(1) фв1пгО. Далее, используя определение функции Гамильтона Н (Т(г) 7,о) 1 Уо))~. найдем Н = р' + —" — — тг'(() — тат(() сов 6. , (; — „1 Отсюда получаем уравнения Гамильтона Ро дч лве (с) ' р сига(Г) а|и'В ' г Ро=- ч — тасг(г)а1пВ, Р =О. ева (() мпа О 9.3.
Согласно условию имеем наса Я= — — , '— Ач — еф, 2 с где А = — [Нг1. 2 Вводя обобщенный импульс гс = — =- тч+ — А, дЯ е дч с найдем гамильтониан заряда дЯ 1 Г е Я =т — — Я = — (со — — А~ +еф. дч 2ис, с Затем получим уравнения движения дед е Г е гс = — — = — — ![Н,п — — А~ — еЧф, дг 2тс ~ с д52 ! / е г = — = — (и — — А).
дет(,с Из уравнений (3), (4), учитывая (1), можно найти (4) тч = — [чН) — ед ф. е с Обобщенные импульсы, как функции обобщенных координат и ско- ростей, соответственно равны Канонические уранненнн Скоокн Пуассона ЗБ1 Положим, далее, ~р=0 и покажем, что проекция обобщенного момента импульса 1к=[гаа1 на направление напряженности поля сохраняется. Действительно, дифференцируя — (а Н = [г и] Н -)- [г, ас[ Н и да и учитывая (3), (4), найдем, что (аН=сопз(. Из (3) и (4) следует еще один интеграл саа = тс — — [Нг) = тт + — А.
е 2Р 2с с Далее, умножая обе части (5) векторно на Н, найдем интеграл га = — [ас Н1 = — ~м+ — А,Н~. с с 1' е си* еа ~ с (6) совИ вЂ” 7е) = (Р + — — )— 2с р1 1 еи р ) 2ра на плоскость перпендикулярную Н (в полярных координатах). 9.4. Запишем соотношения между проекциями оаь оаа, оаа угловой скорости тела па главные оси инерции и углами Эйлера; м,= ~з( Чвй О+Всоз р, м,= йсовфз1пŠ— Вз1п р, оа = ~р О+ ар. Так как кинетическая энергия а = — (Хагс1 1-Хаааа+ Хао'а)ю 1 где Хь Хь Ха — главные моменты инерции, то Р,=Х,оу,—. +Хаааа —.+Хасоа —- дааа деа д% д~р др = Х,оа,в1парв1п О+ Хаоаасоварз1п О+ Хаоаасовй.
13 зак. а Этот интеграл означает постоянство составляющей радиуса-вектора центра орбиты заряда в плоскости, перпендикулярной Н. Этот интеграл является аналогом интеграла А прн движении заряда в кулоновом поле (см. задачу 0.00). Действительно, умножая обе части (6) скалярно на г, получим уравнение проекции траектории заряда [Гл. 9 Уравнения Гамильтона Подобным образом найдем ра = Г1 о21 сов 2[1 — 12 еаа в[п тр, Ра = лапта. Следовательно, ,Г...= р,— '+р,сов р — р,с[оба[пф; 21п тд ми 8 з 2 гов = р1 — р. в[о тр — р с[8 О сов тр; 202 2Р ап8 л 2 ма = Ра. Используя зти выражения, нетрудно получить функцию Гамильтона: + ра в[п 'ф соа 2р ~ — р с[И 8) [ — — — ) + мпв ) [, 11 2'2 2 2 + ~ + )+ +и(ВО И Отсюда найдем, что — — — — — рас[дО) в[п22р+ д~[1 ~ 2 (, мпд + рв [ ' ' — р, с[я 8) сов 2$— т Мпв — — в[и 2тр~ [ — — — ) + — = ~,) ди = М1М2 ~1~2 — — — ) -[- —.
[,21 Хв ) дв1 дУ в Та2[ как величина — — представляет собой момент 1.2 внешней д2р силы относительно оси 3, из соответствующего уравнения Гамильтона найдем '~вота (21 'Гв) 'ото22 ЬЗ Два других уравнении Гамильтона получаются аналогично. Комбинируя их с найденным уравнением, получим остальные уравнения Эйлера. [Гл. В Уравнения Гамильтона Действительно, для свободной частицы в отсутствие внешних сил Н = р Ц2т и, следовательно, ((х — рНсл), рв/2т) = р!сл, а, с другой стороны, д)/д1 = — р!сл. 9.10. Согласно условию при преобразовании г,.-э.
г,'. = г, + е (1 = 1, 2,..., Н). Изменение гамильтониана л с дгс л а дгс с=! с=! при любом бесконечно малом е. С другой стороны, для каждой декартовой компоненты имеет место соотношение вида ~~ — '" = — ~„'~р„, Н) = — (р., Н). Запишем совокупность этих соотношений в краткой форме: ~~) — - — (Р, Н). (2) дгв с -с Сопоставляя (1) и (2)„находим (Р, Н)=О, откуда следует, что вектоР Р =~~~с ~Рс ЯвлЯетсЯ интегРалом движениЯ. с=с 9.11. Поскольку Н (с),...
сс,.... с)„Р,... Р,) = Н (с1,... 'ссс+ бсЬс... с)„Рс... Р,), — = О. дСС дссс Далее, полагая в соотношении (рЛ = — —, дС дос (— = Н, находим (р,.Н) = О, что и требовалось доказать. Канонические уравнения Скобки Пуассона 363 9.!2. Преобразование координат и импульсов, соответствующее повороту системы на угол Ьч! вокруг оси, параллельной вектору п, определяется формулами г! -э г,' = г, + [а ге1 Р! 'Р! — Р!+ [ар1~ где а = и Ьеу. Теперь вычислим необходимую скобку Пуассона (М, Н) = [чччч [г,р!), Н)е= = !! ! [г, — ~ '— е-! е-! — ~~ [р, — ] = — ~~~ [г, — ~.
! ! !=! (2) С другой стороны, изменение гамильтоннана при преобразовании (1) равно Ь Н = ~)~~ [е гД вЂ” + ~~) ! [и р;] — = а ~~1 ! [ г, — 1 + дг! д!и [ дг! 1 ! ! !-! к=! +а 'в~ [р, — ~ =а е! [г! — 1. е=! 1=! (3) М, ='[гр[! = еп х,р, скобка Пуассона дМ! до дМ! дН (М,Н) =' — — — — — = + еп Ьп дх! др! др! дх! АУ .; рр, — е!!аб„!х; — — = ен„— — еп,х;х,— рар! д0 дг (здесь везде по повторяющимся в произведении индексам проис- ходит суммирование).
Изменяя в сумме ащрар! индексы йчв1, по- лучим и„р р, = е!„,р,ре — — — и;, р„р,. Поскольку ЬН=О для любого е, из (3) и (2) вытекает, что (йчН) О. Следовательно, кинетический момент является интегралом движения. 9.13. Поскольку Уравнения Гаиильтоиа [Гл. 9 Следовательно, ояарар!=О. Лналогнчно ин!х,х!=О. Таким образом, (МоН) =О, что и требовалось доказать. 9.14. Разложим функцию Р(д, р) в ряд Тейлора в точке д=д(0), р=р(О) фазового пространства Р'(д, )=Р(О)+! — '" ! + — '* — ", ! +... оа !!=о 2! е!а !!-о Поскольку — "' =(рн), оя' — "' = ! — '", Н) =((РН)Н).
о!а ( оа Следовательно, Р(д, р) =Р(О)+1(РН)!о+ — ((г"Н)НН + .. т в~роя для осциллятора Н = ~ + , следовательно, 2т 2 (Нх) =:. (Нр1 = твох. Таким образом, если Р=— х, то оно !о о~ вор~ х(1) хо+ в о + ао 2! 3! яо =х, 1- — + — —... + "о" (воба 2! 4! = хосозво1+ 'о' а!пво!. ниоо Аналогично для р(г) найдем Р(!) = Росозво! — тв,х,з!и в, Г. 9.15. Напишем гамильтониан системы осцнллятор+поле излучения Н вЂ” ~р — — А(г)] + — твох+ — ~ (ро+ водо).
о уравнвнне Ганнлыона — якова Здесь А(г) = ~~~'д,Ач(г). Поскольку осциллятор точечный, можно преч небречь зависимостью Ач (г) от г и заменить А(г) на А(0). Тогда канонические уравнения Гамильтона имеют вид дч = рч, Рч = — — = — согда+ — (р — — А) А; дН ! Г е ~ дН д — ~р„— — А„), р„О, Е =- — (;Π— — Аа), Ра — — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
