И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Ось О'х' направим к центру окружности, ось О'у' направим по стержню, а ось О'л' — перпендикулярно плоско- 8.37. Из закона изменения импульса О Ж '+ад' О = — тнсозсс+ 1ч, 1-Ааа 0 = а соз о ߄— Йаа ), Хоа'81п асоза = (йв — )ам) асозга — (Йв — Ж;) аз1п~х, 0 = — а 81п а Я1, — Йм ) Из (2), (4) и (6) находим Кн == )га„= О. (1) (2) (3) (4) (6) э 31 343 Общин случай движении сти окружности Тогда угловая скорость стержня имеет компоненты озб,ы„= 318,ы,=О, где ео — угловая скорость окружности. Главные моменты инерции соответственно равны — тоа l„= 0 Х, = тле. 12 12 11оэтому кинетическая энергия вращения стержня 'Т = — (6' + «Рсо за 6) . 24 Так как потенциальная энергия центра масс Н --- — таг соз 8, а 1/3 2 то окончательно для функции Лагранжа получим выражение Я вЂ” — (100а: (9з1п'6+ сов'8)оР ';-12(/3 ~ ызО~, 24 И Поскольку лагранжнан явно от времени не зависит, имеет место закон сохранения обобщенной энергии Н =- Π—.
— Я = д,с дв =- — (100а — (9 з1п'Π— 'соз'6)«Р — !2(/3 ~ созО~ = Н,. 24 а Из начальных условий 6 (О) =- ~, 6(0) = 0 получим Н =- — — тааоР. 2 3 Следовательно, Оа = — ~ 3 (/3 ~ — 2соасовО~ сов О. 5 1 а Таким образом, о 1«=а= — ( — (8У3( а ) 4еа~) 838 Выберем начало 0 подвижной декартовой системы координат в вершине конуса, ось 0$, направим вдоль линии соприкосновения конуса с плоскостью, ось Оса направим перпендикулярно вращающейся плоскости. Обозначим через 8 угол наклона линии соприкосновения обеих поверхностей к вертикали, направ- 344 Динамика таеоаого тела [Гл. 8 ленной вниз.
Так как конус катится по плоскости без скольжения, его угловая скорость складывается из угловой скорости плоскости ( — от сов О, О„ыз(п О) и угловой скорости конуса относительно осн Озь таким образом, угловая скорость конуса имеет вид . — (м„о, «з1п О), где он — пока неизвестная компонента по оси 0$ь Компоненту ео1 можно найти, если рассмотреть скорость произвольной точки конуса, находящейся на его оси на расстоянии а от вершины конуса.
Эта скорость равна (тог1, где г = а(сова, з(па, 0), т. е. равна а( — та з1п Оз1п ел, еаз1пйсовст, то, з1п<х). (2) С другой стороны, ось конуса является фиксированной относительно системы отсчета Овтзава, угловая скорость которой имеет компоненты ( — сов О, — О, еез1п О). Поэтому скорость рассматриваемой точки осн конуса также равна (Яг1 = а( — тоз1пйсоза, тоз1пйсоза, — тасозйз1пеа+ Осоза), (3) Сравнивая (2) н (3), заключаем, что (4) ео, -- Ос1дса — тасоз О. Таким образом, получим угловую скорость конуса та = (Ос1до,— тосовО, О, оэз1пО). Теперь повернем систему координат О~~Ыа вокруг осн Оза на угол а, так чтобы ось Оз1 совпала с осью конуса.
Тогда угловая скорость конуса в проекциях па новые оси примет вид то =-(ат,сова, — ы,з1па, наз1п О). Новые оси являются главными осями инерции конуса для любого момента времени. Главные моменты инерции конуса соответственно равны — тп(авшаоа, — вт(а(4 — Зз1п'а), — пР(4 — Зз1п'еа), 1О 2о 20 С,тедоватсльно, кинетическая энергия конуса Т =- 1(1 + 5 созе «а) ач з1па я + (4 — 3 з1па а) оР в1па О), 4О Общий случай движения а его потенциальная энергия 3 0 = — — 'тесова сов0. 4 Таким образом, получим лагранжнан конуса Е = — ~ (1+ 5 сов' сс) (6 с1я а — со соз 8)я в!ив а + 40 + (4 — Зв!и'а)оРв!и'О+ — дсовеисов9~, Отсюда ясно, что обобщенная энергия сохраняется, т.
е. Н = — ~(1+ 5созеа)в)пва(Оес18ва — оРсовеО)— 40 — (4 — 3в!и'а) аРв!пи 6 — — соз'а сов О~ = Н,. 1Ои Используя начальные условия 6(0) = —, 0(0) = О, найдем, что 2 И„= ~~ еР(зв1п' — 4). 40 Поэтому интеграл обобщенной энергии можно переписать в виде (Овс(ива — оРсов'6)(1+ 5сове а)в!п*а = =- 10 (8/1) соз'а соз 9 — оР (4 — 3 в!и'и) сове 0 или 5 сове а — 1 1од 6' = оР соз 6 ( — сов 8 5 соева-! !,) ! 1еае(5соче а — 1) Полагая здесь 0=0, получим окончательно совО, = 10д а , 6,= —. !со' (5 созе а — 1) 2 8.40.
Поместим начало О неподвижной системы координат в точку закрепления волчка, а ось з направим по вертикали вверх. Начало системы о', жестко скрепленной с волчком, совместим с точкой О, а оси направим по главным осям инерции. Тогда Е = — ' (6'+оРв1пвО)+ — '(ф-) сосовО)в — тй!соз6. 2 (Гл В Динамика твердого тела Отсюда найдем га(тР+ госпз 6) = гаотао — '(О'-;- гааз!и'6) мг ггга'!созО = Š— — Уаглзо 2 2 Затем из (1), (2) получим 6 = — — (Е Оеп) ,1д где !Р* Е' =Š— =уаогго, О,п = — ' — з!паО+тфсоз6. и ' ' 2 Таким образом„находим закон движения 0(!) в виде — !о 2 — (Е' — его !!) .гд где Уа — главный момент инерпии относительно оси матерггальггог1 симметрии, а й„=,Г~ +тр. Отсюда дд р = — = У,грз!по0 ~ У,(тр-)-«рсозО) созО==У,Ь, дт дЬ р,а = — =- йа (гр + гр соз О) = и агоа == — и'га, дф (2) 2 — ' (Оа —,' г! з!и' 6) + т!!! соз 6 — - Е, — — ' ото =- Ео.
2 Из (1) — (2) найдем д — аи гр =. —, и=созО, ио (4) 841. Поместим начало О неподвижной системы координат в точку закрепления волчка, а ось 02 направим по вертикали вверх. Начало О' подвижной системы совместим с О, а ес осн направим по главным осям инерции волчка. Тогда, выбирая в качестве независимых координат эйлеровы углы, найдем лагранжиан Я = — '(Оа —,' гр'з!па 6) -; — '(тР + грсоа 6)а — тгг1 сов О, 2 2 % з) Обшяй случай движения У а ччр =- — ' — фи, зз а из (3), (4) получим й' = )".(и), (6) где 7(и) = (1 — из) (а — 1')и) — (Ь вЂ” аи)з, 2Е'а а 2лза ! а =-— Р = у, " у, Исследование функпии !(и) показывает, что она обрашается в нуль в точках иь иг, из, причем — 1 <и, (и,(1 ( из.
Запишем (б) в виде и' = — р (и — и,) (и — а,) (и — ив) н преобразуем это выражение, вводя обозначения ~ь — из ' т иа — из 2 Поскольку ш= й 2 у'(и — из)(и, — и,) из (7) найдем пз = р'(! — сиз) (1 —. Ьзшз). Решением этого уравнения является эллиптический синус ш=эарй Следователы~о, и =. и,;(из — и,) впар!, а период движения по углу 8 2 Х (й) 4 Х(и) и у'р (из — и,) где К вЂ” полный эллиптический интеграл.
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. й 1. Пусть один из корней и, =- ие =- — (этот случай соответста вует тем начальным условиям, которые часто задаются в теории Гл 8 за8 Динамика твердого тела волчка: 8(0) =Оо, 8(0) =О, ~р(0) =О, !р(0) =~ро) Найдем вначале границы движения по углу О. В рассматриваемом случае ио=созОо (8) ~ (и) = (1 — и') (а — ()и) — а' (ио — и)'. Поскольку ((ив=ив) =О, то а=()ио и вместо (8) получим 7 (и) = (1 — и') 8 (ио — и) — а' (ио — и)'.
Полагая 1(и) =О, находим корни этого уравнения: и, =- Х вЂ” 1/3Р— 2лио -)- 1, и, = и„ иа = Х+ (/ Ха — 2) ио + 1' здесь аа ца lа Фо ф 42г та! характеризует отношение кинетической энергии вращения к потенциальной. Если Х»1, то ! а и,=и,— — (1 — ио), и, 22.. 2а Г (и) ж х(р (1 — иао) — авх) и соответствующее (6) уравнение х' = х(8 (1 а~а) аах1.
Его решением является х = — '(1 — соз а!), 2 где а= — фо — угловая частота нутаций. Затем из (4) аа Хд угловую скорость прецессии 2 а (ио — и) аа 1! ! — ив ! — иоа 2а найдем (10) Следовательно, амплитуда нутаций ио — и, будет очень мала. Обозначая х= и,— и, х, = и,— и, = — з1п О„получим р а аа Общий случай движения Среднее ее значение (ф) =- — = —. сиа1 Хата (11) из которой найдем 1 — и' Ь вЂ” аи = ]а ~- ]/ае — 2ри]. 2и Учитывая (4), получим скорость прецессии чч,= —,' [~чу~ — 'а']. Следовательно, должно выполняться неравенство аа>2би или 4 УаиЧ1 сва ) — соз О. яЗ Это неравенство определяет область допустимых значений чр н 8.
В случае 2])и((аа й щв1 уа ссв фа =- — = фа =. 2а уасва Я'а сов а Отсюда видно, что значение фв соответствует медленной прецессии (11)„ а угловая скорость фи быстрой прецессии не зависит от ускорения д свободного падения (как в случае свободного волчка, 3=0). 3. Случай ив=ив=1, О=О при и=ив Посколькуиа= — =1, Ь то Ь=а ((п) (1 пв) (са Рп) пе (1 и)ь Затем из (3) находим, что а=р.
Следовательно, И)=(1 — Ю(1+ ) — ] (12) аа Таким образом, точки поворота и1=иа=1, иа = — — 1. будет тем меньше, чем больше начальная скорость вращения волчка. 2. Прецессия без нутаций. Рассмотрим случай, когда и~=печь чь-~-1. Полагая и=О, и=О, получим систему уравнений (1 — ив) (а — ри) — (Ь вЂ” аи)а = О, — 2и(а — ])и) — р(1 — иа) + 2а(Ь вЂ” аи) = О, [Га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
