И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(18) Из (!3) и (16) следует, что кинетическая энергия частицы Т= =тл ~ 5~'/2 экспонснциально возрастает. Предположим, что вначале частица покоилась в некоторой точке с координатами го= (го сон се, гоз)па, О). Тогда, учитывая (16) из (17) н (18), найдем нижний р,„=гое 'ги верхний р он=кое "' пределы удаления частицы ог ааоо н г оси х. При 1»1/Хо кинетическая энергия частицы Т = — р,„ з определяется частотой переменного поля и размерами системы. [Гл. г Нелинейные колебания а/= — — +Я(1 1) аи ад где периодическая сила Я может быть представлена в виде ряда Фурье: (2) Далее ввиду условия положим, что координата а слагается из $— плавно меняющейся за время 2п/И функции и быстроосцпллирую- щей функции и(Г), т.
е. Ч=я+а (3) Поскольку йй))еое, то амплитуда вибраций мала и, следовательно, ~и~(( !й!. Поэтому уравнение (1) можно представить в виде аЯ+и) =- — ( — + и — ', ...) ~ + + Х (Я„+ и —" -р... ) ~ е,'"=~~' Теперь усредним (4) во периоду 2п/йй и найдем а$ = — — + Я, 6) + (а ~! —" е' ') .
де, д$ лнее (4) (5) Для ионов массы ле заряда ае условие ен1 мо приводит к значению ведущего поля Н =- — '10 — 4Э (то — масса протона). Поуль скольку для реализуемых на практике полей Н(10' Э, то рассмотренный механизм ускорения может быть использован для ионов массы т( — '!О' в области нерелятивистских энергий. ен Например, при а~=10' Гц, ге — — 1 см находим, что протон достигает энергии Т=10 кэВ за время 1~ — — 14/аоЬ, совершив 14/2пл оборотов. Наибольшее удаление р в этом случае составлйет 33 см.
Ведущее поле Н=10' Э. Если ускоряются однократно заряженные ионы легких элементов (гп 10те), то соответствующее значение энергии равно 100 кэВ. Ведущее магнитное поле в этом случае Н=!О' Э. 7.19. Запишем уравнение движения точки Методы с едяеняя () (еь) еслпс (б) я~о При решении этого уравнения можно считать Я„(а) постоянными.
Тогда и = — у ' — е'""'. я! Ъ(5) а а(сп))е ;ее Далее, учитывая (7), из (5) получим аф = — — + Р(а), дУ (7) (8) где )а(ье) Сет (ее) ~ (т~Ч ~оа(ее) есеис ~~)т ~е' ев ас) лФе л'-се Прн вычислении среднего значения учтем, что с+г (е'<".~ чп') = — ( а'<"+" чпс с(( = Ь„ с',) (9) (10) н вместо (9) найдем ~а =().е — — „у', ) Ю (5) дс?л а аейе д$ еесе = (~ей) — — у„ ! ч1д)9 ~' 1 2а 2а дЕ асссс афО или Г(В=ав — —,' —,' (Д() а, ()(1]'); а =()а, () — ()..
Таким образом, уравнение (8) принимает вид дССесс . Ц (еь) Ц (ье) ) ф (еь) дй где с е ее= — „' ~~~) д, () ((~'~ — ~Ю.а)~ Вычитая (5) из (4) и пренебрегая членами и, получим урав- нение Нелинейные колебании 298 [1л т Отсюда видно, что действие быстро осциллирующей силы сводится к изменению эффективного потенциального поля, в котором движется точка. 7.20.
Используя результаты предыдущей задачи, получим уравнения ай = — — -~ (и ' ' созв,1~; дУ дЯ,(е, 1) дй де аи =- Я, (Е, 1) соз в„1. (2) При интегрировании (2) учтем, что Я,(й, 1) мало изменяется за время 2п/вы Поэтому 2 1 1 Далее получим уравнение движения по плавной траектории а$ = — —; доеп .
д$ и,иа=С1(Р-~ — ', д',Д, 1). 4аве 7.21. Лагранжиан маятника т1езФ Я =- + тн1 сов <р + т1зеве~р 81п р з1п в1. 2 Запишем уравнение движения д т(еф = — — (--- тв(соз в) — т1з,ве 81п ~р соа вй д~т Затем, применяя метод усреднения, найдем эффективную потенциальную энергию Е'еп ($) = — тф ~соз ср — — ( — ' ( — з1п' ср], (1) 4 11,) (~ ) где -ве = д!1.
2 Исследуем теперь возможные положения равновесия маятни- ка. Из уравнения дбеп 1 / лев =- — тп1 1( — 81п ср — — ( — ~ в1п ~р соз ~р~ =- 0 д<р 1ыо получим ! ~р, =-0; ср, =-и; совари= — 2 ( — ~ . % з1 Методы усреднения Вычисляя =- та1 1сов!р-1- — ( — "" ) сов2р1, видим, что д~!'еп / мне е (1 А! ) Таким образом, если 2д1/соево 1, то положение !ре=и является е 2 устойчивым.
Это случай так называемого динамического равновесия. 7.22. Используя результаты задачи 7.19, получим ав = — — + (и 1! — 'совет!1+ — сонат!1~); дУ ! Г д!1! д!7е де 1 дв дв аи =- Я! (ф, 1) сов то!! + Яе ($, 1) сов ы,1. Следовательно, ! !' 4)! г)! и = — — ~ — — совы, т+ — — сов!о,!~; 2 ! 2 ! (1.. и ~ — совет!1+ — — сове!т|~ ) = Г д!7! д!2е дй д!в ! д т, е с д!2т!2! Я! '- 9т), 2 — - — сов(м,— от,) г1. 4аы' д„- де (!о- ы,— '-се!). Таким образом, ав =- —— дим! д$ где Кп ($) = У(й) + [ф -1- С1~е+ 2(4Десоз (го! — оте) 11. 4атее 7.23.
Из закона изменения полной энергии маятника следует дЕ дГ (1) и! д! Поскольку в случае линейных колебаний !яР!р'- я!В!ч!е 2 2 [Гл. 7 Нелинейные колебания из (1) получим дЕ ° ео — =-- тп! — — т!йра. дс 2 (2) Учитывая. медленность изменения параметра 1, усредним (2) по такому движению, которое имело бы место при постоянном значении 1, т. е, прн ср=а сон ай Тогда соя=ЕЛ, — = — тН (~Р— — ~ра) = — — т([посек = — — —, (3) де 2 4 7 2 Имея в виду, что со = — — ое —, из (3) найдем ! 2 ! дŠŠ— = — со сс со т.
е. — = сопз!. Е 7.24. Уравнением движения является тг =- Рв + еЕ + — [тН ), с где Рл = еЕо+ — (чНо]. с (2) Решение уравнения (1) будем искать в виде г=-х+и, где [п[«1»[. Тогда (1) можно представить в форме т (» -1- и) = Р (х) [- (ио) Ро + ~п — ) Р— ,'— еЕ (х) -1- до / (3) -'; е(щ)Е (х)-1- — (хН ) —,' — [х(пр)Н 1+ — '!пН ), (4) е ' с с Усредняя (4) по периоду 2п/соь получим тх = Р(х)'+ (а(пр) Е + — (х(пУ)О )+ — '[пН 1~; (б) с с то=-(пт7)Р'+ (и — ) Р+ еЕ + — !хН !. д е до 7' (6) Далее предположим, чтоЕ (г, Г) = Е(г)спасо,Г.Тогда из уравнения Максвелла Методы усреднення 301 1 ди го(Е с дс найдем Н (г, 1): —.
Н(г)в1пе!гг; Н(г) = — — го(Е(г); Ф, = — ", й! Опуская ввиду малости два первых члена справа в (6), после ин- тегрированна получим и = — ( Ев1п е!,1 — — [хН1сове!!Г); е 1 сне! с е I 1 и =- — —,, ~ Е сов е!,Г + — (хН] вп! «!т1) . тс!! с (7) тх = Ге (х) —, — ( — — (Е17) Е + — (ЕН1~; 2с 1 те!! теис тх =-- Р (х) —, ~ (Е!7 Е Р 1Е го( Е1~ . ! (8) Учитывая известную формулу векторного анализа — !7Ее = (Е!7) Е+ (Его(Е], (8) можно записать в виде глх =- г!е! (х) — рЬ'(х), где с (.!(~) =, Е'= — (~~Е (г, г)Ж~ ), ! (9) 7.25.
Поскольку о«с, то время с Л1и-с7исе, за которое электрон проходит расстояние порядка длины волны, велико по сравнению с периодом колебаний поля 1!!е!. Поэтому можно считать, что электрон движется в некотором усредненном поле, обладая потенциальной энергией е! Ее (/(г) = — ~ ~ ~Еесозсе1созйгс(1~ ) == е созейг, 2т 4т!се Теперь подставим (7) в (5) и, опуская члены порядка хг!сг, най- дем (Гл. 7 Нелинейные колебания Сила, действующая на электрон,— еобг о Р, — — в1п 27гг, 4тоо' а уравнение движения сводится к уравнению лоби л г — 1)о в1п 2йг —.— 0; (ол = 4т'ыо совпадающему с уравнением математического маятника.
7.26. Разложим функцию 1(г) в ряд Фурье (7е=2п7Л): )'(г) = — '+ ~ (а,сов вйг+ Ь,в1пвйг); 2 о ил а, =- — ~ 7'(г)соввнгНг =-О, а, =-0; 2 о Ье =- — ) 7 (г) в|п вал =- — б,лн ь.) Ле о и, таким образом, получим й (г) =- ~1, в1п (2п — 1) йг. 4 и (2н — !) н=-1 Теперь запишем уравнения движения заряда х =- — оно х7 (г); й = оооУГ(г)~ (2) (3) о е дг . о ецио г .,'- — (х' — уо) — = О; ооо = 2 дг ' т74' (4) В первом приближении движение вдоль оси г почти равномерное, т. е. г=го+о1, а уравнения движения (2) и (3) приобретают вид х =- — ооо х7" (п1); у †. — ооо у7' (а7).
Методы усреднения Здесь функция /(И) является быстро-осцнллнрующей с периодом Т=2я/44=2я//ее=/./о. Следовательно, согласно задаче 7.19 сред- няя сила, действующая на частицу, равна Ф тт, =- — — — (соох' ! ~/(И) г/г'! ); о с р„=- — — . —,'у' ( !1 / (и() г/)1 / о (6) Вычислим необходимое среднее значение интеграла: ( ~ ~ / (о() й ~ ) =— 2(до)е Х ~ я ) (Ра — !)е 2(во)е ~ и ) зб 48 ( о ) а затем получим соответствующий эффективный потенциал ()(х, р) =- — — (х'+ у') — '-.
(7) 2 хяо/ )о Под действием силы с потенциалом (7) заряд совершает устойчивые колебания вблизи оси системы, в то время как движенис в поле отдельной линзы приводит к инфиннтному отклонению ог се оси. Этот эффект аналогичен механизму жесткой фокусировки частиц в ускорителях. Возьмем теперь функцию /(г) =81п /ох. Тогда ( ~ ~ з)п йоЫ/ ~ ) =— о ыо ' /(), " "Ъ ' /(). а а а соответствующая потенциальная энергия у о о (/(х, р) =- — ~ — 1 (х' р ус). 4 Ао!- ' Следовательно, замена функции /(г) сглаженной функцией з!и/гг приводит лишь к появлению множителя порядка единицы. 7.27. Уравнения движения заряда имеют вид 1Гг! 7 Нелинейные колебания ыг .
еО а =- — — (хх-- нн) т (я); гог =- —. а нгс В приближении х=ае+н1 поперечные координаты определяются уравнениями х — — — ' х1 (о1); а д' =- — -'"' н7 (о1). а (2) (/ =- — в' (хг 1- уг) ( (~ ~ (от) г(1) ) = и ( — ) (х' + уг) ~~~„-[-" —; п=! ОъгУ ег а Вычисляя фурье-компоненты функции 1(о1) ! т 1.=Ф~1( ) -*'"'=- — '„[( — 1)" — 1[, чьо; 1,=0,' о найдем аг чг е ! (2н — !)г кз 1 (л (г 4 У 1 г — 1 г=! 24 Следовательно, у = — [ — ') (х'+ уг).
96 1, а (4) Теперь из (3) †(4) получим уравнения: х+.ье~гх=-0; у !ей~!у=0; 42! —.— 2а г' 12 Их решение х =- А соз ((к!1+ а); у = В соз (г2г1 -!- р). Функция 1(о1) является быстро-осцнллирующей с периодом !'= =1.!'о=2п!'гн. Поэтому движение заряда может быть описано с помощью введения усредненной силы (см. задачу 7,19) ! тгь = — —, дУ (3) дг, 305 Метены с едненнн Итак, рассмотренная система линз обеспечивает фокусировку зарядов, влетающих под малым углом к осн этой системы. Сравним величины магнитного и электрического полей (см.
предыдущую задачу), необходимые для одинакового воздействия на заряд. Приравнивая частоты, найдем еНЬ есгЬ теа тяги Н га~ Отсюда, полагая Ь а Я; (/а=Е, найдем, что — ( — ) — 1. При Е 1,с) (о/с) ж0,1; //=!О' Гс требуется Е=!О' СГСЕж3 10г В/см, Такие поля создать труднее, чем соответствующие магнитные. Следовательно, магнитная фокусировка практически более удобна. 7.28. Уравнения движения заряда в магнитном и кулоновом полях можно представить в форме Д=х+(у; е= — ее) '3=1 ~ — .ЕЬ т ! ! й 1г + гг )гп ееОг !, „ь,г)ггг (2) Будем искать решение этих уравнений в виде Ог т 1 ! 3 !г -!- ! гг ! )М~ причем ! Ц !г = ! а !' -'- ! Ь )г + аЬ'еэи -)- а'Ье-г"'. (6) Покажем вначале, что !а/г, !Ь|г не меняются за время 1„'ь2п/га.
С этой целью найдем гееЯ ае "е~аг — а" Ье ам 2ееО д 1 — )а!г — —— де тег 1! Ь!г ! гг)згг аааг дг 11гь !г+ г!Ог (7) Усредняя (7) по периоду 2п/са, находим !а!г=сопз1. Аналогично получим, что !Ь!г=сопз1. Следовательно, радиус окружности /( и расстояние г до центра окружности постоянны, я =- аегаг + Ь; В = 1геае'т, (3) где а=/се'а, ь =геев — медленные функции времени. Переходи к новым переменным а и Ь, с помощью (3) получим т ', Ь наг, ее,О 1 ь-' ') (4) агт 11гьР+гг)иг 306 Нелинейные колебания [Гл. 7 Усредпим теперь по периоду 2л/о) обе части уравнения (5): т д еД дт и — (8) [ [ $ [в -)- ге[ив еао Зла д) ) [-[-ес~л о где р = [а (~ + [Ь!а -,- га =- )св -[- гв + ге В случае ))сг (( р' из (8) найдем дЬ' Евпг дг [)га + гв + аа) )~ 2гЛ 3 = рв (9) где + У (г) Еем 2 позволяет выяснить особенности движения вдоль оси г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
