И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Запишем интеграл энергии в виде теа Т + — =Т,. 2 Подставляя сюда Тх пз (4), получим ге = — ~Та — — Н(г)~ 2 Г т~.а т Не частица отразится — составляющая скорости г изменит знак, По- верхность г=гь непроницаемая для частнц, называется магнит- ным зеркалом. где Тда, Но — значения энергии поперечного движения и поля в некоторой точке хо. Если Н(г) возрастает, то в точке гь опреде- ляемой условием Т вЂ” — Н(г,) = О, т~а а и, Колебания с мелленно менянинимися параметрами Пусть теперь частица сталкивается с двумя магнитными зеркалами, движущимися навстречу друг другу со скоростью и. Тогда после каждого отражения компонента скорости г частицы возрастает иа 2и. Эта идея была высказана Э.
Ферми в качестве возможиого механизма ускорения частиц. 7.13 Поскольку сяа(1) медленно меияюгцаяся (в масштабе т) функция времени, то при )~я~я>1 будем искать решение в виде х =. А(1!е'ио Из уравнения х+еаах=О имеем А + 2(Ая -Р ЙА — зЯА; сяа А = — О. А — зЯА -~-снЯА = О; 2Аз+зА =- О. (1) (2) Из (2) находим, что А== и )/а Из (1) след1ет зй ыя+ А А Если (5) то в первом приближении можно считать зя мя Следовательно, решение задачи имеет вид х =- = соз (~ к' сяе й + са) при саа О ив (6) а~ ~ таят, а, — рпа,П х==я) +=я ' при еаа= — не<О.
(7) т% )Я Решения (6), (7) в окрестности точек 1е, где сеа(1я) =О, становятся бесконечными Это обстоятельство связано с тем, что в области Г-(а приближенные решения (6), (7) становятся иепри- Отделяя здесь миимую и вещественную части, получим два урав- иеиия; (Гл 7 Мелииеаиыа колебания 288 из сравнения (5), (7) с (1), (3) находим с=А/2, а=гс/4. Из сравнения (6), (8) с (2), (4) найдем 0=В; ()=М/4.
Таким образом, получим две пары «сшитыхл линейно независимых решений ехр ! — '! '!7 — оРЫ, с)) 7о; 2 )с'К с, х, (!) =- сэ =з(п ! ( (ГоРШ+ — "1, 7(( га; с ! = ехр ~ ~ ')с — оР сс! ~, ! )> Еа; ха (!) = с, Ц(с' ' й+ — '~, 7((7,.
с й 3. Методы усреднения х = кос ге"'ос — (ос г"е — с"ос, о а (2) где * и г' — комплексно сопряженные функции времени. Тогда исходное уравнение приведем к виду г = аг(со,т,х, х), где г = — — 'е — с"ас/(х, х, сос!). 2оса (3) Представим далее г как суперпозицию плавно менякяцегося члена $ (с характерным временем изменения параметров 7„'в2н/осо) и суммы малых вибрационных членов, т.
е. представим г в виде г = $ + е ссс (й, Г) +..., (4) где функция $ удовлетворяет уравнению $=еа,($, !)+еаааЯ,7)+..., при атом функции ио а, в (4) и (5) подлежат определению. (5) 7,15. Используем замену переменных, которые определяются формулами х = ге'""' + г'е — '"'. (!) Методы усреднения Так как Р(х, х, в11) периодична (с периодом Т=2пlво), то Р( '., 1) 1;л е-тлииР (х хл в 1) (6) Далее из (4) и (5) следует, что г =$+е — $+е — +... е (а, + — ) +е — а,+...
(7) дит ° дит ( ди, т я ди, д$ д~ (, дт ) д$ В свою очередь, правую часть (3) согласно (6) и (4) можно пред- ставить в виде ряда л=+лл Р(х х в 1) = Х е-'~л! 1Р а, Г, в11)+ л л (8) Подставляя (7) и (8) в (3), в первом приближении найдем О) а, + — ' = ~~ е " 'Р„("а, 5', вт(). (9) где т+тл +се Р(нл ф* 1) ~ т~~~ е — ~лип Р ф Ц' в1)т(1' (11) Учитывая (10), из (9) после интегрирования найдем и, 5, 1) = д)л [~~1' е-'~и Р„(й, Ц', вт1) — Р1 й. (12) Рассмотрим некоторые частные случаи.
а) Если в,((в„то Ра, Г,е) =Р.(~,Г,в,т). 1ат/л злл 4 Теперь усредпим (9) по периоду Т=2тт)во, имея в виду, что $— медленная функция времени. В результате получим а, ($, 1) = Р($, $', Е), (10) Нелннейные колебания 1гл. 7 б) Предположим, что 1(х, х, а~1) пернодична с периодом 2п/вь Тогда Р.®, ~, ~,1) = ~Р... (~, ~) Л1 Следовательно, при точном резонансе Р(В, В', 1) = ~ Р-,(В, Ь'). пв +а~в~ 0 Для нахождения решения вблизи резонанса положим п1а~+аме= =6«мо.
Тогда Р($,Г,1) = ~' Р, ($,$')е 'е'. ле,+л,е,=е в) Если в1~оо, то Р=О, т. е. 4=0 при Ц=сопз1. Итак, в первом приближении рассмотренного метода я=$, ьа=еР($, яе, 1), где Р($, яе, 1) определяется формулой (11). 7.16. В рассматриваемом случае мо еР(х х ы 1) (хеЯел+ х е ахеи)ае мвс зев 3! Следовательно, из формулы (11) предыдущей задачи получим еРЯ,В)= — '~ !В! В. 4 При этом ~функция $ удовлетворяет уравнению $= — ~ !Г$. 4 Решение этого уравнения ищем в виде $=Ае'е. Тогда А =О; ф= — — "' А'. 4 Таким образом, А= —; ф= — ~ ао. не 2 16 Учитывая, что г = $ = Ае"~; х = ге'еи + г'е — ее ~, получим ~ .
(1 — — 16)1+ф.~. еея Методы усреднения 291 7.17. В этой задаче е7 = — волсозат( х; вР1х. х ат() = — —.созвтг(зе' "-т з е '"')е ""1 2О о+г зР Я, $', 1) =11гп — ~ Р(г, г, атД) ~о ос(1. т Т.> 1) В случае а~~во при вычислении функции (11) задачи 7.15 соз в11 можно вынести за знак интеграла. Тогда ~Р(й, $, 1) = — — 9~Я. 2О Следовательно, = — — соз аЯ; аоа 2О $ = — ехр ~ — ~~созвттс(г+ тр ~; н Г отдав Г 2 ~ 2 х = асов тр; тр = ) ао (1+ — соз ат1) Й+ тро.
Ь 2 а Это решение можно получить, используя результаты задачи 7.13, Ь поскольку 1тво=в, (! + — сова,1), 2) В случае ао 2 во введем обозначение а1 †2 во. Тогда РЯ, Г,()= — '" а,Г"'; 5= — '" .Г ". 4 4 Е С о Решение последнего уравнения ищем в виде$-= Че . Следовательно, функция Ч удовлетворяет уравнению то Иное ° Ч+ — Ч вЂ” — Ч'= О.
2 4 Полагая Ч=и+Ь и отделяя мнимую и действительные части, получим систему уравнений: б оыо 2 4 ово о+ — и — — и= О. 9 4 10Чо* Методы усредненнн 293 3) Если то~~сон, то Ё($, $", 1)=0; $=0; В=- —; а=Аз'", 2 а решение имеет вид х = Асов(тое(+ а). 718. Запишем напряженность магнитного поля в виде Н, = Н~; ~ =- 1 -)- Ь сов ог,й (1) Здесь Н вЂ” «ведущеее поле, Ь = — — «коэффнциент модуляции:> Нт Н (6<<1). Если магнитное поле создается соленоидом, то напряженность возникающего вихревого электрического поля Е = — — 1Нг)1.
2 (2) Потенциал Ф электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа ЛФ=О и может быть реализован соответствующей конфигурацией металлических поверхностей. Включение переменной составляющей магнитного ноля приводит к существенному изменению траектории и энергии частицы. Оценивая среднюю мощность, передаваемую частице вихревым электрическим полем, можно убедиться, что главный резонанс возникает на частоте ег1 =11: т/ г г еН г 2не 11 = у ого й~ь~ тое = ~ тог = нтс нт (3) Теперь найдем решение уравнений движения (е =х+(у): $ + Овей + — ((тон~ — те,) $ =- 0; (4) 2 а+ «т,г = О.
г (б) в+ — — ' ш= О. (7) 1О зек е Из уравнения (5) следует, что частица совершает аксиальные колебания только в том случае, когда г«е>0. В дальнейшем будем считать это условие выполненным Заменой переменных $ =- шехр ~ — ~ — "— )т(1~ уравнение (4) сводится к уравнению Хилла Нелинейные коаооания (Га 7 В том случае, когда Па»азой, уравнение (7) может быть решено с помощью метода усреднения. Это условие можно реализовать, выбирая значения н и И таким образом, что 2в,'(( гиоа. При этом Я порядка циклотронпой частоты гоо. Запишем уравнение (7) в эквивалентной форме: / а, ~а ге -г- ( — ') ге = е (ш) 2 (8) р (ш) = — (аза1 — Яа — 2йао соз го,( — йаыо соз" <оА Ж'.
Переходя к новым переменным иак ~ы1а 3 2 ш=-аге -а е (9) юо>к ы ге= — а,е" 2 ае,1 !ич 2 — аае 2 (10) (11) аа — гоогг+ — ( озг ~~ ~/ аа'+ гоо)г+ —. (14) 2 4 получаем уравнения для амплитуд а, и иа. аы1а ан а, = — — 'гт(ш)е; а, = ' гт(ге) е ' . Оа„ ач Операция усреднения приводит к сглаживанию быстрых пульсаций амплитуд а1 и аа н позволяет учесть эффект воздействия перемен- ного магнитного поля па нх систематические изменения Очевид- но, время усреднения Т=2л!аь После усреднения система (11) приобретает вид а, = — 1(АЛа, -- Лаа,), аг = 1(бЛаа — Лап,); Л, = —; бЛ = — ~~', — 11' — —, (12) 4ы1 4сог Л 2 Характер решения системы зависиг от корнси характеристического уравнения ~ Л (Л =.
1'' Ло — йЛ'). Общее решение системы (12) имеет внд а, = аеы + бе-", ар = аем-'т + Ье — и+от. (13) здесь Ло сов у=ЛЛ, Лишпу=Л. Условие ЛЯ>0 определяет область неустойчивости 295 Методы с едненнн Учитывая (6) н (9), получаем выражение для комплексной коор- динаты: 9 = ае-'о'-1- Ье — 'о*', (16) 1 1 где й, = — (аге — егг); Ян —— — (ого+ атг). Коэффициенты а и /г в выражении (15) определяются из начальных условий ~(0) = со и 5 (О) = ео соотношениями ((йо(1+ е») — 11."эое ); 2тег 5!н т (()гчое "— йо (1 — е — т)), вегт 5!н т Из выражений (13) и (16) следует, что траектория представляет спиралеобразную крив)го. Радиус кривизны спирали и расстояние от оси з до центра кривизны спирали экспоненциальпо возрастают со временем.
Центр спирали вращается с угловои скоростью Яь а вокруг этого центра обращается частица с угловой скоростью 11г. При точном резонансе от~ — — г1, сон у= — й/2=0. В установившемся режиме Тг»! частица движется по разворачнвающенся спирали, многократно проходящей вблизи осн з Действительно, представляя а~ и аг в виде а, = г,е'"; а, = гее'"', находим из выражения (16) расстояние р от оси з до частицы в момент времени 1 р = 1' г1 -т- гг — 2ггге соа (оггг 6 Я~ — ог). 1,' г г Таким образом, начиная с момента Г»1/Хо-— -4/мотг расстояние р изменяется за период Т=2я/то~ от значения ! а*Ь + Ь*а ( реп 1 г1 ге! !а! (17) до значения Р гн = !г, +ге! — 2(а(еоа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
