И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Лля притяжения (еоЯ>0) движение фипитпо при условии Еды < О. При Ее > 0 движение инфинитно. В случае отталкивания (ееЯ < 0) )г) всегда Ео" > О и движение инфипитпо. При этом если Ед" < "~; г(0) =- — оо; г(0) =-ге, [)[а ~ гв))!2 то происходит отражение заряда в точке с координатой ) г, — -- — — - — дв — г' При Ео > —— (2) [еоО ~ [)аа а)1)2 г (0) = — оо; г (0) = го отражения ие происходит. В том же приближении И<<92 после усреднения по периоду 2п/о) из (4) и (5) находим ([йо[2= [а[2+ ~[Ь*[2) [/(г) = (10) [На [.,а [ 221)/2 Потенциал ( 1 О ) представляет собой одномерный потенциал Кулона, определяющий движение в направлении силовых линий магнитного поля.
Первый интеграл уравнения (9) Методы усреднения Зот "О с а = [[1е[е-[-м)не Ь' =- —— [соя й рне [ [ Ь р е)э/2 Следовательно, а = аее'ещ; а, =- )те'"', Ь = Ь,е — 'я[о; Ь, = ге'м; се<2 [' Й щы,) [ое [ т т т)а/2 СО тч = еЕ + — [чН[ с ищем в виде ч = — ~еЕ,,Ш+ с — ~+ ч,. [ей) йеф Поскольку е[т=О, то (1) сводится к уравнению — ' [еЦ вЂ” (1гф)+ тч, =- — [ч,[т[ф. йе Й с (3) Теперь сделаем подстановку ч~ =чр+чм чр -— — — — фф) [[е)т! )т] =- (~йр) е. йефс т ейеф от Тогда из (3) получим тч, +тч =- — [ч,Н[.
р 2 (4) Условие медленности изменения полей позволяет пренебречь членом тчр. Таким образом, оставшиеся члены соответствуют движению частицы в магнитном поле. Итак, скорость ведущего центра [иди) Я г н ч, = ~еЕ[[й+ с + [, )' и' ен ег и Закон движения заряда в плоскости Оху определяется функциями х = г соз (ф — ре) + Л соз (Ы + ф + а,); у = — г з$п (ф — ()е) + 1т з[п (ет1 + ф + ае). 7.29. Электрическое поле представим в виде Е = Е, + Е д, Ед =- )'(1) е, где Е[[ — составляющая, параллельная вектору Н=ф(Г))т. Реше- ние уравнения Нелинейные калебаиия [Гл. 7 7,30. Уравнение движения электрона имеет внд лис =- ее РФ вЂ” — '1ИЦ, ее с где Предположим, что высокочастотное поле отсутствует.
Тогда, ис- пользуя интеграл энергии (2) и один из интегралов уравнений движения у = сеех (сао- еяО 1 (3) получим х =. = сяа х + — х. 2 я, 2ееУ слл 2ееое магнетрон заперт — ток отсутствует. Теперь рассмотрим «дрейфовое» приближение. Движение электрона в рассматриваемых полях можно представить как движение по окружности, центр которой, в свою очередь, перемещается. В связи с этим решение (1) будем искать в виде г = го+К, (5) где га — медленная функция времени, определяющая положение центра окружности, а К вЂ” осциллнрующая с частотой саа функция. Предположим, что высокочастотное неоднородное поле удовлетво- ряет условиям ~ — .
— ( « ~ Ф ~; ~ )т — ~ << ( Ф 1 Тогда (!) можно записать в виде ле (га+ м) = еуФ(га) — е" (гоН] — — ФН] с с Отсюда видно, что х обращается в нуль при х~=2еа(7/тйае. Сле- довательно, прн х,<п', т. е. Методы усреднения Поскольку за период 2п/о>о величины го, го существенно не изменяются, то при усреднении их можно считать постоянными. Поэтому после усреднения по периоду 2«с/ото найдем уравнение, описывающее поведение центра окружности: О =- с«1/Ф (г,) — — [геН[ с (6) Ф (хо, 1) = — хо + — з1п (от/ — /е ио) з1т й хо.
У а ьн у Эти уравнения определяют поведение «ведущего» центра. Далее удобно перейти к новой переменной у'=ус †/; и= †. ьс Тогда из (7) получим (индекс «0» у хо и уо далее опускаем) с доз' х= — —.—,; (8) Н ду' (9) Н дх где Ф' = (о — и) — х — — з1п(д у')з(т/е„х; о = — — скорость Н а си о с о с дрейфа в направлении оси у в отсутствие переменного поля. Фактически замена переменных у-е-у' соответствует переходу в систему отсчета, движущуюся вместе с волной. Поскольку скорость (х, у') перпендикулярна '7Ф', то траектории ведущих центров совпадают с эквипотенцналями Ф.'=сонэ(.
При точном синхронизме волны и электронов (и=по) траектории ведущих центров определяются уравнением С = — з1п/е„у'Ййсх; С = О, хс (10) . ч. е. эквипотенциалями являются катод х=0, прямые Й„д'=О, ~-п, 4-2и и т. д. Из (10) и (8) видно, что при —.тс/2</сну'<л/2 движение происходит ох катода к аноду. Электроны образуют «язычок», движущийся к аноду. Электроны попадают на анод, когда ведущий центр приближается к нему на расстояние «/т1 — — оо/ото. Наи- (здесь также учтено, что [тго[(( ~ ЦгеН)). Умножая (6) векторно с на Н, получим с с дФ с дф го = — [Н~7Ф(го, Г)1; хо =- — — — ', Уо = — .
— ', (7) НЯ и дуе Н дхо Нелинейные колебания [Гл. 7 310 меньшее время 1, движения до анода соответствует ведущим центрам, движущимся при й„у'=О. Из (8) имеем й Н ~~ а[1 й„х и, следовательно, д — Я, гн йн дл Н Н 2 — 1п 1н 2 Итак, при точном синхронизме (иг оо) бегущая волна сколь угодно малой интенсивности отпирает магнетрон — появляется анодный ток. 7.31. Скорость заряда удобно разложить по ортам т, и, е: т — орт, направленный по касательной к силовой линии магнитного поля; орт и направлен по'главной нормали к силовой линии; де и/р = — — = — (ту) т да (здесь р — радиус кривизны; з — расстояние, отсчитываемое вдоль силовой линии), а е= [тп[. Будем искать решение уравнения движения тг = — [ге[1 с в виде г=го+К, где го — радиус-вектор ведущего центра, а К описывает вращение вокруг силовой линии (Кт=О).
Скорость ведущего центра представим в виде го= го[+ зт. Далее будем предполагать, что ~Я вЂ” («~Н~; ~чо[ [<<а<<[К[. В этом случае К(1) является быстро осциллирующей функцией, а ноь, з — медленно меняющимися [ в масштабе Т=2п~соо, во= еН (го) ) функциями времени. Используя квазиодпородный ха- ис Методы среднення зы рактер магнитного поля, из (1) и (2) найдем лт(ч<ц +зе — — +Й =- — [тоь+зт+К„Н(го)+(Вр)Н). ееп -'т е р ) с (3) После усреднения по времени из (3) получим лт(тоь+зт — — '"1 = — '[но~Н(го))+ — (ф, (йд)Н)).
(4) р ) с с Почленно вычитая (4) нз (3), найдем уравнение птй = — [ЮЧ + — [зт, (НЧ) Н) с с Поскольку второй член в (5) существенно меньше первого, то К = — [КН] или К = — [Щ); тнс еН К = оь соз тяг и+ иь з1и атг е. (6) Вычислим теперь среднее значение первого члена правой части (4). Учитывая (6), получим — [К(й р) Н) ~ = — ([Р ([«ЩИ) Н)) = т и есм „,д Н,РЯ)=— тнэ ь Воз = — — е,е т д Н,= — уО. 2Н ~две» Я ~ 2Н Здесь учтено, что ()~А) = — н 6, Следовательно, уравнение (4) приобретает вид е' ') е ио 2 тл '[тоь + зт — — и ) = — [ноьН) — Л ~ро (7) р / с 2Н В «дрейфовом» приближении (но1 = О, в=О) из (7) следует выражение для скорости ведущего центра нее сто~~ то~= — е+ [ рН). еНр 2еИЯ Гл 7 Нелинейные колебания Затем, учитывая (6), находим дт~ та — ((и (]еР]о)Н]К) = — е„,е „,тетд,яН,(ФЩ = ;р т .
т„до т, до = — е,ые, тат„ртн1 = — а(ер) Н = — '5 = ' ° ( ) Н д О'дЕ' Из (8) получаем инвариант т„ — = С. Н (9) Теперь из (7) в проекции на орт т найдем т1 дН /ПБ = — — ° —. Н да (10) Умножая обе части (10) па з и учитывая (9), получим д еае йо — — = — С вЂ”. Ж 2 <Ы Следовательно, сохраняется величина — +СН=С, 2 (11) (см также задачу 7 12) Найдем теперь адиабатнческие инварианты задачи.
Умножая скалярно обе части уравнения (5) на 1с, после усреднения получим — 'У,= — 'нЦ., ЖЧ)Н]к); т„= — Р,. де е 2 ГЛАВА 8 Динамика твердого тела $4. Тензор инерции 8 1 Направим ось х с началом в вершине сектора по оси его симметрии Тогда Х =О, а Я а/2 2 Г ~ Г 411 а х„= — = — )рЧр ( совчхйф = — з1п —. я .) За 2 о — аут 8 2 Поскольку в выражения компонент Х,ь элементы масс входят линейно, для сложного тела, состоящего из частей А, В, получим У„=,(„(А)+ Х,~(В) +..., где ~ р (г) (гаем — Пгь) 4У Уд~ ("1) = лтА ) р(г) Ж~ А 8.3.
а) У = — Ма', з б) Х = — МР (1 — — ~) 2 ( а 8.4. а) У, = — Ма'1 У, =- — МР; У, = ---М(а'-+Ьт); б) 71 = — МЬ" Ух = — Мат; .(з = — М(а'+ Ь'). 4 4 4 85. В системе координат с осями Ох н Оу, направленными вдоль осей симметрии пластинки, все неднагональные компоненты тензора инерции обращаются в нуль. Главные моменты инерции вычислим по формулам Х„= о Ц уЧхт(у; Хт — — о Ц хЧх4(у; Х, = з„+ Х„ 11 зак 4 (Гл 8 Динамика твсрлого тела 314 где о — поверхностная плотность массы, а интегралы берутся по площади, ограниченной лемнискатой. Например, и и 4 а О ссвтз 4 Ха = 2о ~ ') р'сова О!)рс)6 = оа' ) соз'О сов'2ЫО.
— о о Так как соз'Осов'20 = — ((+соз20)(1+сов40) = 4 з = — + — сов 20 + — сов 40 + — сов 66, ! 1 4 8 4 8 то интеграл оказывается равным Ха= о (Он+8). Для компонент Х„„Ук аналогично найдем оаа опас У =- — (Зп — 8), Х = —. к 8 Площадь, ограниченная лемннскатой, равна н/4 а !'саков а =- 2 ) ~ рс4раО = а'.
о Следовательно, М=оаа и поэтому У = — (Оп+8), У = —, Маа Мяла 48 к Ма' 1 = — (Зп — 8), 48 Рассмотрим новую ось Ох' с началом в центре эллипса — эта ось составляет угол О с главной центральной осью Ох. Согласно закону преобразования цензоров при поворотах Х, = Х з1паО+Х соз'О =- — М(ЬасоваО+ а'з)п'6). 1 У 4 8.6. Главные центральные моменты инерции пластинки соответственно равны (см. задачу 8.4) 1„=- — Ма', 1„=- — Мйа,,l, = Х, -1- У„. Тензор ине ции ЗИ Полагая в уравнении эллипса — + — = 1, что х = Г сов 0, Ц ГВ1П О, получим хз уз а Ьо босов'О+ а'81п'О = азЬо ГЗ Следовательно, ! азЬз = — М вЂ”. 4 Г' 8.7. Подсчитаем вначале осевой момент У,, тоикослойной сферы массы 2Гп в системе координат о'х'у'г' с началом в центре сферы (хз -'г уз) лз =- "аз81пзОй = 4 лаз,) 2лаз,) =-,' ~ 1п ЫО~ йр о о Согласно задаче 8,2 этот момент инерции равен соответствующему удвоенному моменту для полусферы массы т (моменту инерции для полусферы, вычисленному в системе О'Х'У'Е').
Теперь найдем положение центра масс полусферы. Для этого оставим начало О' в той же точке, а ось г направим вдоль осн симметрии полусферы. Тогда (х = соэ О) 1 а ) Ргоз а а г,„=- = — ~хг(х ~ йр = —. )" Раз 2а . 2 Затем совершим параллельный перенос системы координат с тем, чтобы начало координат совпало с центром масс полусферы. Новые моменты инерции будут равны .У,и = 1~о — т(изб,„— $Д,), где $ — вектор, соединяюший центр масс н начало о', т. е. $=(0, О, — г ). Таким образом оь а 2омо еаз 5 .71 = из —— — — — = — та, 3 4 12 гл 2анз т и ов 1з = — ', Аз=Аз=Азз=0- 3 (гл. з зи Динамика твердого тела О.О.
Поместим начало декартовых координат в центр сферы радиуса а. Ось Ох выберем проходящей через центр масс сферического двуугольника, а ось Ог — через вершины двуугольннка (с точки пересечения больших окружностей, ограничивающих двуугольник). Тогда плоскость Озх будет плоскостью материальной симметрии двуугольника и вследствие этого Кроме того, плоскостью симметрии является плоскость Оху. Поэтому 1„,=Х,„=О. Для вычисления главных моментов инерции 1, Уо, Х, используем сферические координаты, связанные с декартовйми формулами: х= аз1пбсов/р, у =аз1п82!п~р, г =асозО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
