И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 30
Текст из файла (страница 30)
6 37. Имеем уравнения движения в заданных координатах (н= — е ) Собственные и главные колебания системы которое аапяшем в виде 1 ®на= 1г аа (гааа гааа) ~~11 (мок+мы) 1~ 2 при этом И>~сов~+моя. Первое частное решение (са=аи) определяется амплитудами 4~+ею~ С,=а; С,= — 1 а. Иыа Аналогично для второго частного решения получим Огоа Отделяя, наконец, реальную часть общего решения в комплексной форме, находим х = Асов(со„1+ сс) + Всоэ(гаа1+ Я; У=А ' о' з1а(в,1+ а)+В в з1п(гоа1+ Р) Йоь Яыа (здесь А, В, а, р — действительные произвольные постоянные). 6.38.
Положим г, — радиус-вектор 1-того атома равным г,о+по где гм — радиус-вектор 1-того атома в положении равновесия, и, — смещение этого атома от положения равновесия; при этом допустим, что полный импульс и кинетический момент молекулы равны нулю. Тогда Ет,пг =О; (1) Ет, (ггч,] = Хт,(г, н,) = — Ет, (г„иД = О. а (2) В случае линейных колебаний условие (2) приобретает вид Хш,[г„нД =О (начало координат может быть выбрано произвольным образом). Направляя ось х вдоль оси молекулы, получим (н =(х, у)) т,х, + лгяха -1- таха = О; (3) т,у, + т,у, + таун = О; (4) таус = таун (5) 1) Рассмотрим вначале продольные колебания.
Вводя обобщенные координаты 5~=ха †5=ха †, найдем Лннейные колебания Гл 6 1 х, = — — [(та+ т,) $, + тДа], М = т, + т, + 'те1 М х, = — [тДа — та$е]' 1 М х,= — [тЯ,+ (т + лй)5е]. 1 М Следовательно, лагранжиан молекулы (та (та + 1пз) Ь + 1па (та+ тя) на + 2М + 2~,Р,тата) — — а ф+ ц) 2 где и, — жесткость молекулы при ее продольных деформапиях. Далее из уравнений Лагранжа т, (тя + та) й, + т,тайн — и,Мин = О; т, (т, + т,) йа + т,тайа — и,Мие = О находим уравнение для определения частот продольных колебаний / 1 1 21[М еое — оР ~ — + — + — ~и,+ =О.
иа /на ша лаагна на Следовательно, е на[/1 1 2 еа1я = — — + — +— 2 на а та ма -"у'(-.') (-.') -:;-=1 В частности, для симметричной молекулы (т,=та=т; та=М) е /1 2 1 яка оа1 =и, [ — + — ~,' оае — — — —, М~' т а для несимметричной (т1=те=т; та=М) еяа131~ /гб!2 ел я = — — + — ~ — + — —— 2 ( яа М ) У лаа Ма тМ й) Рассмотрим теперь поперечные колебания молекулы. Потеиниальную энергию изгиба молекулы запишем в виде — б, Яа1а 2 Собственные н главные колебания системы 247 4 2] где Ь вЂ” отклонение угла от значения и; б = — НУ вЂ” У ) + (У вЂ” Уа)11 1 (б) ха — жесткость молекулы при изгибе. Используя (4), (б) и (б) и выражая все смещения уо уа, уа через б: 2та 1ттта Уа= — Уа Ув= б, та тата + 4тата + тата Ут = — Уа: та та найдем лагранжиан, характеризующий поперечные колебания молекул 1 тт а ната ~= — 2 — у,— — б = 2 2 2 на1а т,татаи е— 2(тат +4т,т,+тата) 2 и квадрат собственной частоты / 1 1, 4 со' = ха 1 — + — -~- — 1.
' ~ та т, та 1 Для симметричной молекулы (лат=тле=от; лта=М) т =2ха( — '+ — '), а для несимметричной (т,=тпа=т; пта=М) т =ха~ — '+ — '). — 4 Ра — (2х„— ха+1 — х, т), ! следовательно, уравнениями движения системы являются х, = — а (2ха — ха); х, = — мса(2ха — х, — ха); хв = — а (2ха — ха), 6.39. Начало координат поместим в одну из точек закрепления струны, ось х направим по импульсу рт а ось у — вдоль покоящейся струны. На материальную точку с номером и действует сила [Гл.
6 Лннеаные колебания где а=4Ро/т1, Отсюда получим уравнение для амплитуд сь сз, сз.. (2а — вз) с, — асз = О; — йас„-1- (2/(а — в') с, — Иасз = О; — ас, .+ (2а — вз) сз = О. Затем нз характеристического уравнения найдем квадраты собственных частот в', = 2а; вз,з = а((А+ 1) ~ ИИ+ Ц а из уравнений для амплитуд — соотношения между амплитудами с'; =О; с! = — с~; с, (2а — вз)=асз) сз =с! „ [Ф 2 [2).
а) (2). с(!" (2а — г4 = а(Р; с1" = сз". Наконец, получим общее решение — 1ш (с[)!)е(е,(+ с()2) е(е,(+ с[з) с(о) 1). х = [ш ~ — (2а — вз)с! н(о*(+ — (2а — вз)с( е("(~; ( 1 2 (и 1 2 З) ~ н а х = [ш( — с! с(е'+ с! е(ьн(+ с, е("')). (!) (2) . (3) Если в начальный момент времени й= О х,о= хзо = хзо =О, а скорости точек хв=хзо=О; х)о=до/ш, то из общего решения найдем Рз(яа — о)й)(2н — вз) ~ з!нв,з з[нв! ~ х,-- 2 2 В(но (о)2 'оз) Мз о)з 6.40. Поперечное смещение шарика с массой 8л) равно — — — з1п — а1 — )/ 2 а)п =, где аз =Ро/л)1. 6.4!.
Пусть Л( материальных точек совершают продольные колебания, а точки с номерами О, У+1 (крайние концы пружины) закреплены, Обозначим через х„отклонение и-ой точки от поло. жеиия равновесия. Тогда кинетическая энергия системы Собственные и главные колебания системы 249 э 21 а потенциальная энергия Ф+! х (1 — ~ (хл хл — !) ю !го = х!о+! = О. 2 Учитывая, что — = б„, — символ Кронекера, находим дкл дко дУ вЂ” = х (2хл — хл — ! — хл+!) дкл где соо = х/т.
Ишем решение (1) в виде хл = Алсоа(о!1+ <р). Подставляя (2) в (1), найдем — о!'Ал — — ого (Ал.!.! — 2Ал + Ал.1-!). (2) Каждое из этих уравнений напоминает дифференциальное уравне- ние, так как связывает значение амплитуды А„в «точке» и с ее значениями в близких «точках» и+1 и и — 1. Поскольку уравнение линейное, то естественно искать решение системы (3) в виде А Аего (4) Действительно, амплитуды такого вида удовлетворяют системе (3), если частота является определенной ~функцией волнового числа Й, а именно го' = 4а!оз1п' —. 2 Таким образом, получим решение (2) в действительной форме хл = С сов (йиа+ а) соз (о!1+ !р), (6) где о!(й) определено в (5). Далее из граничных условий хо=хи+!=О находим а=и!2 и набор возможных волновых чисел где х — жесткость одной пружины. Следовательно, из уравнений Лагранжа получим систему 2 хл + ооо (2хл — хл.с! — хл !) = О, [Гл б Линейные колебания Этот набор определяет собственные частоты оз„= 2гоо ~ в[п — ~ = 2озо ~ з(п ! 2 ) ! 2(У+1) (8) и амплитуды С„(т) = Се[и†У+1 (9) Рассмотрим некоторые частные случаи 1) При М=[ существует одно главное колебание (гп=1) с частотой оз, = 'и'2 гоо и амплитудой С1 —— С.
2) Если У=2, то первое главное колебание (гп= 1) совершается с частотой оз, = 2оов[п — = о!о.Амплитуды этого колеба- 6 ния соответственно равны С,(1) = Сз1п — = — С. 3 2 С,(1) = Са1п —" = — С; 3 2 Для второго главного колебания (т=2) получим частоту 2а еое = 2оз в(п — = у'Зао и ьмплитуды о С,(2) =Са[п — = — С; С,(2) = Сз1п — = — — С. 2а »ГЗ 4а т/ 3 3 2 3 2 2ые(У+ 1) а в[п Ю аа 0 — —— й 2(У+ 1) и различна для волн различной длины Л = — = 2а 2(У+ 1) а й я1 Иапример, в случае У.з 1 для коротких волн, возникающих при возбуждении самой высокой моды (т=Ф), Л „ = ( + ) 2а; У о! ек = 2озоа)п нУ 2ееа - 2озе, '0 = 2(У+ 1) а Для длинных волн, соответствующих моде лч=[, Л „= 2 (У+ 1) а = 2Е ([.
— длина цепочки); юи!, = 2озоз1п " = "; о = еоцй. Фен 2(У+ Ц У+1 Очевидно, что каждую моду (т. е. главное колебание) можно возбудить, задавая начальные условия, соответствующие «конфигурации» амплитуд данной моды Фазовая скорость волн, бегущих по рассматриваемой цепочке, равна Собственные и главные колебания системы Следовательно, скорость распространения длинных волн больше, чем коротких.
6.42. Функция Лагранжа л! и «+! я!Га ъ 1 и я!я! кч а х!я %1 / - — ~,4.— — ~„р.— —,г (Ч.— т.-!), 2 2 Ь 2 л=! где !р„— угол отклонения от вертикали и-ного маятника; с)о=гря+! =О; х — жесткость одной пружины. Тогда уравнение Лагранжа для маятника с номером п имеет вид 'Ря — — 12гРя — гвя-! — !Ря+!1 — — сул.
х К Решение этой системы будем искать в виде <р, = А,сов (со( + р). (2) После постановки (2) в (1) найдем, что Ая+! + А, ! = Ая (2 — — го + — ° — ~ . «! а я я! ! х х / Затем, полагая А„=Аз)пйиа+Всов/сиа н учитывая, что в этом случае А„+!+ А„! = 2А„созна, придем к днсперсионному соотношению о! = — + — в1п —.
4х аа ! я! 2 Отсюда, учитывая заданные граничные условия, находим квадра- ты собственных частот от = ~ + — в(па и (и=1,2,... Л!). гн 2(й!+ Ц 6 43. Запишем систему (1) задачи 6 41 в виде хо г к„+!-к„к„— к„, (1) а' «! — к л на где з — площадь сечения непрерывного стержня, эквивалентного пружине. Ясно, что при а-+О отношение т/ав переходит в плотность массы р. Далее, при этом предельном переходе координата «„ должна перейти в переменную и, характеризующую деформацию стерж- (Гл 6 Линейные колебания 252 ня, а индекс л — в координату а, т.
е. х„-»и(а). Также очевидно, что ха+1 — «л и(г -) а) — и(г) ди Ф а а дг «л- «л г и(г) — и(г — а) х ди Ф а а дг ~г-л х„+г — хл а Произведение на/з в пределе даст модуль Юнга Е =1ппна/з. л- о, Итак, продольные колебания непрерывного упругого стержня будут описываться дифференциальным уравнением в частных производных д'и 1 дги — — — — =О, дгг ог дм где ог=Е/р. Приближение непрерывного распределения массы справедливо в случае, когда а весьма мало по сравнению с длиной волны. Действительно, используя выражение для скорости длинных волн (см. задачу 6.41), получим хааа ах на Е 0 = — = —.— -в.— гла лг г Для нахождения дисперсионного соотношения будем искать решение (1) в виде плоских волн и=а гег 'а'. Тогда найдем, что ег=гго.
Это соотношение говорит об отсутствии дисперсии скорости. 6.44. В предельном случае непрерывного распределения маятнику с номером л будет соответствовать положение равновесия в некоторой точке х (ось х направлена по горизонтали); следовательно, отклонению ф (как функции л) будет соответствовать функция ф(х, г). Для смещения «непрерывных» маятников, расположенных в окрестности точки х, имеем ф„+г-е-ф(х+а, 1)=ф(х, ()+а ф("' ) -1- — 'а' ф(«'и -(- .. дк 2 дкг ф — г -» ф (х — а, 1) = ф (х, () — а ф "' ') + †' а' ф («' ) + ... дх 2 дхг Аналогично для обобщенного ускорения получим дгф(х, г) л д(а Вин жденные нолебеннн ор„= — (ор ~о + у о — 2ор») — — оро оо я получим волновое уравнение Клейна — Гордона до~р нао доу ор д1о но дхо (подобное уравнение справедливо для волн де-Бройля реляти- вистских свободных частиц).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
