И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(2) 2 2япве Запишем (2) в виде (.о.Π— совЕ,) ~1+ (~! з+ з'~ = О в!пв 0 (здесь й = оо/2да). Это уравнение имеет коРни Оа = Оо " Ов причем соз О, = — 1А — )/ /гв -~- 4 (1 + й соэ 8,)). 2 При й»1 соэО,= — соз(Оо/Ф), т. е. 8,<л, если и/2<Оо<м; при й(~1 соайв= — 1+2йз!и'(О~/2) 5.45. Используя сферические координаты задачи 5.43, напишем выражение эффективной потенциальной энергии (/„п(8) = + т«асов О Мо (1) и уравнение для точек поворота Ео О + (/ н(8). (2) УчитываЯ, что Ео = тпв/2+ тда соз 8о* а Мо = «юоо з!и Оо, с помо!цью (1) получим (2) в виде — + ( 8,8) О (3) 2 Мпв Е Первый корень (3) равен 8~ — — Оо, второй подчинен уравнению о тоо сов Во+ сов Вв +!««а = О.
2 .и!пв Юв По условию задачи Ов=п/2. Следовательно, — ~4соз Оо+ ту~ = О Уравнения Лагранжа в неаавнсимых координатах $2) 203 а 2аа а или со =— в <Ео< . соа Оа 2 5.47. Как известно, знергия взаимодействия заряда с заземленной сферой еахх (7(г) ==— где и — расстояние от центра сферы до заряда. Следовательно, яоа еагс Я= — + 2 2 (га — Яа) 5.48. Введем обобщенные координаты: и и гр — полярные координаты первого шарика (начало координат совмещено с вершиной прямого угла). Тогда я = — х (та + гагра) + — ' 2 2 и, следовательно„сохраняются момент импульса тхг'Ф = Мо и знергия 1 2 — (т, + та) ге + — тггвгра = Е,.
2 2 (2) Используя начальные условия, отсюда получим тхгагр - тхахоо, гих+ ога °, оьг и ~гоа 3 2 — и'+ — гр' =— 2 2 2 (3) (4) — гга 6= 5+ ~а ги Этот шарик достигнет стержня за время г,+ге — —.' ~ц у'"'.," иа т огх Таким образом, радиальная скорость первого шарика х("- Ф Г (5) гих+ ога Следовательно, скорость второго шарика в момент достижения стержня будет равна (Га б Уравнения Лаг анка Далее из (3) и (5) найдем уравнение траектории первого шарика: г=1,зес <р Ь.40. Положение точки 1 будем определять полярными координатами р и зь, а положение точки 2 — углом 9 отклонения нити от вертикали и азимутальным углом «рв. Тогда лагранжиан Я = — '(р'+ р"-<р() + ~' 1ра+ (1 — р)'О'+ (1 — р)'~р~аз1п'01+ 2 2 + и~у(1 — р)созО н дает следующие интегралы движения: дЯ М, = —.
= щ ра(р, = Ма,; дф, Ма = Х = яаа(1 — р)вчазшаО = Ма,б д.й ~Ра Е = — '(ра+ раО() + — а[У'+ (1 — р)'О'+ 2 2 + (1 — р)' р1 з1п' 0) — лад (1 — р) соз О = Е,, (2) Если начальные условия выбраны так, что рве=Он=О; Ое — — О, из (1) и (2) получим ма+ та 'и 1И1а Р + — — ~'ай(1 — Р) =Ее. 2 2аьра х, =- х, — $ соз ~р; х, == х, — 1/ Р— За з!и ~р, уа =уа — $31пт; Уе — Уа-, Г 1 — $ сов 7, ха = ха + з соз Ф; Уа = Уа + ьа зш 'Р' х, = х, + К1а — Са жп ~р; где 1 — длина стороны ромба у, = у, — ~/1а — За соз ~р, 5.59. Рассматриваемая плоская система имеет четыре степени свободы. В качестве пезависимыт координат выберем: ха, уе— координаты геометрического центра ромба; ф — угол, образованный осью абсцисс и диагональю ромба, которая соединяет первую и третью материальные точки; $ — расстояние первой материальной точки до центра ромба Декартовы координаты удобно отсчитывать от силового центра.
Тогда имеем араанення Лагранжа а неаааненных координатах 205 Дифференцируя эти формулы и подставляя значения производных по времени в формулу для кинетической энергии системы Т =- — (х~~+ д1 -1 хя —,' д~ + ха + да + х~ + д~), после упрощения найдем Т = и (2х~с+2до~+ ~ + 1афа ) га еяа Так как иа мтую материальную точку действует сила г, = — аг, (1= — 1, 2, 3, 4), то обобщенные силы равны 4 дг ч>= — и т г,— =— 1 дат а=1 4 — — ~~~(г)а~ (т'= 1, 2, 3, 4). 2 дч1 1=! Выражение в квадратных скобках выразим через независимые координаты 4 ~" (г,)' = 4(хо+до) +2)а. Следовательно, Щ = — 4яха'* Яа = — 4ядо' (~а = Яа = О.
Далее находим уравнения Лагранжа в независтаных координатах: л"та+ ало — — О, гида+ада — — О; Я+ Ц/(1 — ~~) = О; ф = О, Приведем общее решение этой системы; де-— — пасов — 1-~-Ь„$1п $~ — 1; т ят С = 1 зш Фет + т!а)' 'Р = фет+ Че1 здесь а„, ан, Ь„, Ьн, ф„фо, йо, фо — постоянные интегрирования, определяемые цачальпычи условиями.
Из общего решения видно. что центр ромба описывает эллипс вокруг силового центра При этом ромб равномерно врагцается с угловой скоростью фо вокруг своего геометрического центра, а его диагонали изменяют свою длину с частотой йо/2п. В, 6 206 Уравнения Лагранжа 551 В качестве обобщенных координат выберем координаты радиуса-вектора г центр масс системы н вектора г=гг — гь Далее запишем лагранжиан системы Я = Гт+ — — — (» — /а) 1- (та+ тг) беж 2 2 2 и уравнения Лагранжа г г„=- й; рг = — х(г — е,)— г 5.52. Если в качестве независимых координат взять координаты радиусов. векторов г, и г, зарядов, то лг гг 2 2 ~га — е Если же за независимые координаты выбрать координаты раднуса-вектора центра масс г и г=гг — гь то Я= ег+ гла г, 1гга егеа г -1- — — — +(е,+ ег)Ег + 2 2 д д,К др! 61 дгт девал и ~5.Е дЯ И дг дг (т, + тг) г — (е, -р е,)'Е; еаеа г / еа е рг = — — - ( — — — 1 ргх.
г* г (, лаа ага/ $3. Движение иод действием обобщеиио- потенциальных сип 5.53. Пусть обобщенной координатой шарика является х— расстояние до точки закрепления пружины. В сл)чае пружины, подчиненной закону Гука, получим лагранжиан Я = — — — (х — /) + тих лгаг я г 2 2 а э где а — ускорение прямой, и соотнетствующее уравнение х гаах =- ага/а+ а; а1о = —. 2 2 . 2 Х + 1 (е,т„— е,т,) Ег.
лп + глг Приведем соответствующие последним координатам уравнения Лагранжа: 207 Обобщенно нотенннальные енлы Записывая решение этого уравнения а х = — 1е+ —, нг,4соз(ае1+ а), "о мы видим, что шарик колеблется. около смещенного на величину а~ало положения равновесия. Устройство, в принципе подобное рассмотренному, называется акселерометром и применяется при измерении перегрузок, вызванных движением системы с ускорением 554. а) Введем независимую координату з — расстояние от начала координат, помещенного на пересечении прямой и оси, до материальной точки (ось г направим по вертикали вверх). Тогда х = и з1п а соз а1; у = з з1п а з!и а1; г = з соз а; я =- — (зн + анан зон а) — туз соз а. 2 Используя лагранжиан, получим интеграл обобщенной энергии Н = 3 — — Я = (3 — а Б 81п а) + тфзсоза.
д 9.' дн 2 б) В неинерциачьной системе отсчета, связанной с прямой, запишем потенциальную энергию в поле центробежной силы инерции; Р' = — — (аг'] = — — а з з1п а. а и тн 2 2 (2) Затем учтем, что — т [аг'1т' = О, поскольку г', ч' коллинеарны. Далее, записывая лагранжиан в виде Я - Т' — У" + тпг' я = — (ре+ рнае+г') — туг 2 н уравнения Лагранжа г= — д; р=ран. Интеграл обобщенной энер- гии имеет вид — (рн + гн) — — рта~ + тйг = Не. 2 2 556. Поместим начало координат в центр окружности, а ось г направим вверх по вертикали.
В качестве обобщенной коорди- н используя (2), придем опять к (1). 5 55 Введем обобщенные координаты: р — расстояние от точки до оси вращения по горизонтали; г — высота точки (ось г направлена вверх). Тогда, имея в виду уравнение связи тр=а1, найдем лаграпжиан [гл з Урввиеиия Лвгрвижв 2оз наты возьмем угол 0 между осью г и радиусом-вектором точки. Тогда х = — аз!и Осовев!; у = аз!пОз!пев1; г — асозО; Я = — (Оя + гввз1п' 0) — туа соз О.
2 Отсюда получим интеграл у = О ~~ — .2' = ~ (О' — гв' а[п' О) + тла соз 0 =- 11„ дз з который приводит к уравнению 0 = — [и,— и,н(0)), 2 где бм! = туасоз Π— — '" аввзв з!п' О. 2 Из (2) следует закон движения точки в виде (2) т 2 — (Π— и я(зй обобщенный потенциал Б =Ь'" (поскольку [гзг'"! [ч'), а затем лагранжиан (1).
5.57. а) Поместим начало координат в неподвижную точку окружности, а плоскость Оху совместим с плоскостью окружности. За обобщенную координату возьмем ф -- угол между прямой, проходящей через ось вращения и центр окружности, и прямой, соединяющей центр окружности и точку. Тогда х = асов гв! + а соз (гв1+ ф); у = — а з1п ги! + аз!п (ев! -' ~р); ив =- [евв+ (гв+ ф)'+ 2гв(гв+ ф) совф)'ав. Опуская члены вида — г(ф, !), найдем 4 и! гвив Я =- — (ф'+ 2ев'соз ф). 2 рассматривая движение относительно неинерциальной системы, связанной с окружностью, можно получить потенциальную энергию И' = — — [мг']в = — - — вязав з!йе О, 2 2 209 Обобо«еяио-оотеициельиь«е силы Далее, получим интеграл обобщенной энергии — «р — то в сов «р = гге глае 2 и уравнение движения «р + оР з)п «р = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
