И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 23
Текст из файла (страница 23)
вю / рв — — + рв~рв) + тйрс$56 =ЕО; тре~р=М, . 2 1 О1нвО шв!ЙО р +С. с е 2О Е,— леяр О1И О- ьщ',1 1с = та в1п О + — соз О. МОО ра т ( р — АР) = А + тд'р', 1 и — — Р 9=5' ' О ф~ д = л з1и а и — д сов а и, = яр ив+ и и„+ у, и„ 6 =5'а1иаз1пВ, д~ йз1пасовО, д, = — дсова. (2) (з) 177 — — уз1паз)п~р = с. й аа 2 Поэтому Из (4) — (6) следует х'+ у' + хх + у у = О, т. е.
Л = — — (оа з+ ууз1па). тала иав — + тусова х = С. 2 Таким образом, 5.7. Помещая начало координат в центр сферы, получим уравнения связи и движения в виде 7Г гв — а'=О; (1) (2) тг = т д + 2Лг. Из (1) найдем — 7 = о'+ г г = О. 1 2 Уравнения Лагранжа с еакцияии связей Кроме того, из (3) и (1) получим интеграа Л = — Зтдз(паз1п~р — 2ст. 2) При том же выборе координатных осей Г = х'+ у' — )се = О; тх = 2Лх; ту = тув1па+2Лу; тг = — ту сов а.
Далее из закона сохранения энергии и уравнения (7) получим азе — + — — тузуаа у+тусоза х=Еа., 2 2 Л = — — ~ — (Ее — С)+ Эдув1п а~. а Г 2 2яз (е (4) (5) (6) (7> 1тв ог аонеиия Лагранжа [Га. 5 Зто соотношение с учетом (2) приводит к = — — ~он+ 6 ). Исключая отсюда о' с помощью ннтеграяа энергии оооо — — ткг = Ее~ 2 т(р — ргро) = 2Хр; ог о' — — р ~=-0; р гп (2) (3) тг = — ту+ 2Аг. Из (3) получим интеграл момента ~Фр = Затем используем закон сохранения энергии — (Р' + р' Ч~~ + го) + туг = Е„ 2 (6) что позволяет избежать вычисления Х.
Исключим нз интеграла энергии р, р, гр как функции г: яа ' эго р =)/ао — г'; р = —; ~р = р'аз о га (ао — ао) (эти выражения следуют из (1) и (5)). Тогда (6) приобретает вид уравнения первого порядка, которое приводит к квадратуре — =г — го (7) .) ~:ео Х = — 1, [2Е,+ Зтиг1.
Рассмотрим частные случаи. 1) Если о(0) =0; г(0) =а; х(0) =у(0) =О, то Ео — — туа. Реак- 2 цця обращается в нуль при г = — а (коорднната точки отрыва). 3 2) Если о(0) = (уа) '~а; г(0) =а; х(О) =у(0) =О, то Ео= = (3/2) тра. Реакция обращается в нуоль прн г=а. 5.8. а) В цилиндрических координатах с началом в центре сферы н осью г, направленной по вертикали вверх, уравнения связи н движения имеют вид Г = р'+ г' — а' = 0; (1) У авнення Лат анжа с реакцннмн связей где (8)о В общем случае интеграл (7) не выражается через элементарные функции.
Поэтому рассмотрим частные случаи. 1, В случае Гринхилла задаются следующие начальные условия: г(0) =0; г(0) =О. Следовательно, нзоз о Ео = Лео = 1па"о 2 Я (г) = — ~ — г (а' — г') — г' —; аз 2я "о / — з 11/з — Г = — агсз1пно ( 2е 2г (ао — Зо) 2. Найдем условия, при которых точка движется по горизонтальной окружности на высоте го. В этом случае Я(го) =0; ~ =0 — — го) (а — го) = —,; Зго — г,— а = О. ( Ео Х з з Мо, о 2Ео о нзг ) 2знзг жг Отсюда находим Ео = — (Зго — а ); Мо = — — (а — го) . нзг з з. з изй з зо 2зо го Следовательно, г,(0, а 'р = ~/ (Г зо).
Ю зо 3. Рассмотрим движение вблизи положения «равновесия» г,ч — — — а, Разлагая функцию Я(г) в положении «равновесия» до членов второго порядка малости включительно, получим Я (г) = — ~ — — + 2 (г+ а) ~ — ' + а) а— 2д Г Мо У Ео ао ~ 2нзоя ~ ноя — (г+ а)' (За+ — о) ~. [Гл. 5 Уравнения Лагранжа С другой стороны, и, следовательно, (1О) Теперь, используя (10) и (9), найдем г = — ~ — + а) — — (г -[- а) ~3а+ — ), 2а Г Ео т 2д' / Ео а 1 тд ) ао Полагая и = г+ а, получим а+г» и= — [ — +а), 2й / Ео а [,тг где Таким образом, координата г точки совершает гармоническое колебание г = — ~а+ — ) — а+Асов(гаг+ а), 2й / Ео т а то [ тг,) Г = г' — а'=0; лгг'з)пой.гр = М„; — (г'+ гвО'+ г'з1п'8 гро) +тйгсоай =Ее.
2 (2) (3) Из (1), (2) и (3) найдем гное 'Р = тао Мне 0 2 тао л(оа — е'+ +тра Е=й,. 2 2тао о[но а а угловая скорость изменяется по закону Мо Мо 2(ао — го) 2та (а+ а) б) В сферических координатах получим уравнение связи и законы сохранения Уравнения Лаг аниса с реаяииями связей 18! Уравнение (5) дает возможность определить 1(О) как квадратуру Ее — — гила соз О а эта квадратура совместно с (4) позволяет найти ф(1).
5.9. Так как угол наклона касательной к осн Ох равен ф и, кроме того, с!яг афг1ф, то, проектируя обе части уравнения движения иа нормаль к кри- вой, получим — + тй сов ф =)1е). аф Квадрат скорости находим из закона сохранения энергии гиоз — + тхга(з1пгр — фсовф) = Е,. 2 В результате найдем реакцию й =- — (Ев — тй'а в1п гр) * Зтк сов ф.
2 аф 5.10. В рассматриваемом примере угол между касательной и осью Ох равен Зф. Поэтому, проектируя обе части уравнения движения на нормаль к лемнискате, получим мо Зр'2ми2ф + тггсозЗф =!о. 2 С другой стороны, согласно закону сохранения энергии — = туаз1нфУ2з1п2ф. тоз 2 Следовательно, 1с = тй. (681п 2ф з1п ф + сов Зф). Замечая, далее, что р гз ! гвфз р/ Зсгзазз1пзфз)п2ф разделим переменные: з 11= ! а с1а Фф аф 2 я з!пз ф 1Га. 5 У анненнн Лагранжа Интегрируя последнее выражение и полагая при этом гр=п12 при О, получим с(д <р = — (п1а)а ра. ! 16 Теперь подставим эту функцию в (1) и найдем окончательно 5.11. Уравнение движения точки можно представить в виде и п, + оа и — = а+ 11/т, аа да где и, — орт, направленный по касательной к кривой вдоль движения точки; и — орт, направленный по нормали к кривой; а— угол наклона вектора и, к оси Ох.
Для циклонды 1йа =' — = = с1п —, , 6н инар е г1е 1 — ож<р 2 ' (2) и, кроме того, Дз' = (г(х)'+ (г(у)' = 4а'з1п' Р (Йр)а. 2 гпо = — лги соз— е 2 ' найдем интеграл энергии — — лгдасоз гр =- Е . гане 2 а. (4) Из (4) после разделения израненных имеем Ф Ч' 2а агн — Йр н Г2 — (Ее+ жаасоа~р) а 6$ Учитывая (2) и (3) и рассматрпвая уравнение (1) вдоль касательной: уравнения Лагранжа с еанннямн сняаей 183 т. е. Ф Х соа — + 3 а саФ вЂ” + 1 Ф 2 2 где Х=~Г 2гя Ее — игяс Обращение этой формулы определяет закон движения точки по циклоиде х=х(гр(/) ) ' у=уй(/) ) ° Реакцию связи найдем из уравнения движении вдоль направления нормали к циклоиде Производная гйх/г/з согласно (2) равна с/а/с/з = — — г1ср/Пз.
1 2 Поэтому /с = тсг з1п — — то /4а з!а —, 'р а Ф 2 2 * Приннмзя во внимание интеграл энергии, окончательно находим )с = туз!а — — (Е -(- тяасозгр) г 2аз!и —; гр г е е /с == есз!и — р; /с =-/ссоз ~. 2 5.12. В системе отсчета, вращающейся вместе с плоскостямн, направим ось х вдоль оси вращения, а ось у вдоль нормали к плоскостям. Тогда уравнения Лагранжа первого рода имеют вид х — мах = — яз1п ге/; Я„= тагсозге1 + 2тхгн; г = О. Закон движения точки можно представить в виде х хасЬге1+ ~ха ) ЗЬгв1+ з(пге/ й г» ге геа у = О; г = хат+ га.
184 У авнення Лагранжа (Га 5 тг = — тд + Яо; Ао = тд. Теперь из закона сохранения полной энергии (3) — (р'+ р'т'+ г') — — го'р' + туг = Е, 2 2 и уравнений (1) находим 2тао гро — 2тао гоо созе гр = Е,, откуда следует закон движения в квадратуре: н Го. (4) ~ — + гоо оооо у~ Множитель Х, можно найти, используя (4), (1) и любое из оставшихся уравнений т (р — р гро) =- 2т р ~рго + т ргоо + 3.,; — — р ~р = — 2ргот+рго т+ — 2аз1п~р. о Хг р гн Р 5.14.
Уравнение движения шарика и уравнение связи в системе отсчета, жестко связанной с кривой, имеют вид тг = тй — 2т [оо ч[ — т оо (го г) + тг гоо + й(; г' = 2ао соз 2~р. Тангенс угла а наклона касательной лемнискаты к оси Ох 1а а = г(у/г(х = — с1н Ьр„ (1) (2) равен (3) Следовательно, реакция связи изменяется во времени по закону Я =- 3тй'соз гоГ + 2т гоо х й гоГ+ 2т го ( хо — Я с)о го Г.
3.13. В неинерциальной системе отсчета с началом в точке пересечения вертикальной оси и окружности введем цилиндрические координаты (ось х направлена по оси вращения, а ось х— по диаметру окружности). Тогда уравнения связи имеют внд ~, = р — 2а сов <р = О; ~о = г = О. (1) Запишем также уравнение движения тг =- тп — 2т [го н[ — т [го [оо гД + Х, 17~, + )о У )о ° (2) откуда следует, что У аннення Лагранжа с еанннямн связей Отсюда звключаем, что йа/оз = 3 айр/с(з, (4) причем (() —, ( 'р) ° (5) Поэтому уравнение движения вдоль нормали к лемнискате имеет внд Затем из закона сохранения энергии + тра в1п <р ~г2соз 2ф — — (еза сов ~р(/2соз 2<р )' = Е, (7) 2 2 получим скорость шарика как функцию положения.
Формулы (6) и (7) приводят к требуемому результату. 5.15. Помещая начало координат в центр окружности и направляя ось г по вертикали вниз, получим уравнения движения н цилиндрических координатах (1) (2) где Я вЂ” нормальная реакция окружности. Из (!) и (2) следует, что я = та<ра+ тдсоз р; а~р = — я(з1п ~р+ й сов ~р) — йа(рз. (3) (4) Теперь введем функцию со = у; тогда ем ° ясе Ч= — %=сев Фр ду ' а уравнение (4) преобразуется к виду — + 2л гя = — — (з1п ~р+ я соз ~р). есее 2я ич Я (5) Ънее у' соз 2~р = — тй спасе — тез гсозссз1п~р+ е аф' 2 + т снег(н1п ср сов а — сов ~рз1п а) + Р„.
Отсюда, учитывая (3), получим -1- теса(п Зср — т езе а соз ~р сов З~р К2сов 2у, (6) а )г2 (гл. 5 У авнаннн Лагранжа 3то уравнение имеет решение О1в А (ф) а-гаа где А(ф) = — ) — а(арф+ Асовф)е'аа г(ф+ С. .) а о Таким образом, гов — Со-оаа -)- ~я ((1 — 2йв) соа ф — Зй аЫ ф$. (1 4- 4ав) а Используя начальные условия ф (0) =- 0; ф (0) = го (О) = — "', найдем С Ро 2а(1-зев) ао а(1+4йа) Наконец, полагая оР(ф = и/2) = О, для искомой скорости получим ооо в (3/геан+ 1 2йа) 1+ 4ав бдй. Уравнения движения и связей запишем в цилиндрических координатах (начало координат помещено в центр окружности) гп(Р— Рф') =В) — — (р'ф) = — й~/4+ Ф,; Р— — й+ 3~ Р=Ро) з=0 Здесь я — коэффициент трения; ро — радиус окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
