И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 18
Текст из файла (страница 18)
2.49. Поместим начало координат в центр Земли, а координатные оси направим на «неподвижные» звезды (эта же система будет использована в задачах 2,50 — 2.59). Используя закон сохранения энергии тоя глайя гясо лтяия Ф г 2 ге Звконы нзмененнн нмп льсв, моменте н ввергая [Гл. 2 и полагая в нем г=ое; о=0, найдем начальную скорость оо для параболической орбиты Г 2нйв о и $/ ге При ив<ив орбита эллиптическая, а при оо>о„— гиперболическая. Если угол между начальными скоростью и раднусом-вектором точки равен 90', а скорость точки Г яй' ге то орбитой является окружность, Прн ио>п, центр Земли оказывается ближайшим к точке фокусом, а точка выведения — перигеем орбиты; прн во<о, центр Земли оказывается дальним фокусом, а точка выведения — апогеем орбиты. Для того чтобы спутник двигался над поверхностью Земли, необходимо выполнение условия г,„= — ) И.
(1) 1+в Пусть в момент выведения угол между начальными скоростью и радиусом-вектором спутника был равен и/2. Тогда "о'о . в гово /о 22йв1 р = —; в' = 1+ — ~оо — — ) . 2М' 12'11' 1 г ) Используя зти выражения, запишем условие (1) в виде г' 2яйе Аг ое ) го ге+ о (величина, стоящая справа, меньше о,). 2.50. Условием пролета спутника над Землеи является г м= ~ >ге.
(1) 1+в Обозначая через и угол между начальными радиусом-вектором и скоростью спутника и учитывая, что Р= (аиегев1ва)е ео 4 — — зрп а; лгваге в ягт ее ып'а Движение под действием сипы тяготения 127 2з1 из (1) находим 2 (1 — — ) оО ) о~(а)! эю = гю 2 о — мпю а — 1 дю Следовательно, угол а удовлетворяет условию з!и а ) — = з1п р, т, е. а ) 13, и гю где 6 — угол между образующей искомого конуса и его осью.
2.51. Скорость спутника равняется расчетной скорости на круговой орбите данного радиуса, т, е, ,Г Ню "о = ~/ "ю = 1( + ~. гю В то же время ввиду отклонения расстояния от расчетного полная энергия и момент импульса равны г гик м гю — 2 ею . 1 2 М=тйУ вЂ” г;! го =го+Лг. я гю Тзкнм образом, эксцентриситет и параметр эллипса равны в= 1+ и Дг!о р = — = и, (1 + — ) = 1т.+Ь+2Л г. гю гю Подставляя числовые данные, найдем е = 4 10 ю; р = (6,680+ 0,006) 10ю м. 2.б2. Зггсцентриситет и параметр расчетной орбиты соответственно равны зо = 0; ро = го = Л+й. Для реальной орбиты полная энергия совпадает с расчетной 1 гнайю Е = — —.—.
2 гю Поскольку расчетная скорость Г эю' Законы изменения импульса, момента и энергии !Гл. 2 момент импульса для реальной орбиты М = тР'мгбт соа 6. Следовательно, эксцентриситет и параметр орбиты соответственно равны 2ЕМо е = ~Г 1+ — = в!и 6; ааао11о Мо р = — = г,соа'6, лзоеко а отклонения в перигее и апогее р ! созе 6 Лг = — г, =-., ( —,— — 1) = —.,6; л 1+с 1!,М 6 Лг = — — го -го 6. р 1 — е Подставляя числовые данные, находим е = 0,017; р !6 880 О 003), 1Оо и' Ьгр-— - — 0,11 !О' м; Ь»,=0,11 10' м. 2.63. Модуль скорости спутника "="о+11" со= ~/ го=»тт" » ф~о Его полная энергия и момент импульса соответственно равны М = лтй ),»д», (1 + — ' ) . ео ) Следовательно, ~ (1, ао )е ~ 216о1 (!+ ае )е ( + 2ле) 'о = О'! 6 го = — — го = 4 — го 1а е! 1+о ' 1 — е ео Движение под действием силы тятптения 2.54.
Записывая закон сохранения момента испульса и энергии через величины, взятые в апогее и перигее: а а грор' жпта аяйа апра тайа 2 та 2 Гр получим ад та ° 1 ай' тр о Р +т тр У та +тр та Отсюда, учитывая, что Йр, Й, сь, 1с, приближенно получим 1/ "р(1 ~ ьа зйр), ~/ щ (1 л ьр зйа) При торможении в апогее для орбиты приземления Й" Й„; Й' = О н, следовательно, Ао, =-+ ~/ЛЯ (1 — — ") — 1~дЯ (1+ р ') = — УйЯ вЂ” р. 4Л ) л )- 4й При торможении в перигее Й;=Й; Й; =О, а Ьо = т/ф (1 — — р1 — ~/'у~~ /1+1' р 1 = — $Гйтт — '. — а,', 4й ) 4й Таким образом, выгоднее тормозить в апогее. Подставляя числовые данные, находим Ьоа —— — 53 м/с; Лор аа — 124 и/с.
2.55. Скорость спутника / за' Увеличим величину скорости в любой точке орбиты до значения (см. задачу 2.54) о = 1/ф~(1+ '); прн этом Ь от = о — о, = — ф'ф~ — Й,-й, 4Л В результате спутник перейдет на промежуточную орбиту. В апогее этой орбиты скорость надо увеличить от значения Гл. 2 Законы изменения имя леса, момента я зне гни Ао величины соответствующей движению по окружности радиуса гт+ йа. При этом произойдет изменение скорости х = а сов-р.
Из (2) н (3) следует, что у Ьв1пй. Затем подставим х, х', у и у' в (1) и найдем, что $=р. 2.57. Вначале найдем х(1), у(1). Из уравнения эллипса Р 1+номе и закона движения находим х = гсов~р = а(сов$ — е); и = г з1п ф =: )г' г — х' = Ь в1п $. (1) (2) Поскольку сов $ и в1п$ перноднчны с периодом Т = 2п1ге, то сов$ =- — + ~~а„соваез1; ла а ! вйт$ = ~ Ьав1плезй и г г — Ье — Вт Доз оа о г уя 4гт Пусть 1т, =100 км, й, = 400 км, До= 64 м/с. 2.Б6.
Учитывая, что центр эллипса отстоит от фокуса на расстояние ае, введем декартовы координаты с началом в точке О: х = а е + х", у = у'. Запишем в этих координатах уравнение эллипса ~ — ") + ~ — ") = 1; Ь = а К1 — е*. (2) Вводя угол й между осью х и радиусом-вектором, проведенным из центра эллипса в А, получим Движение под действием силы тяготения !з! % з1 Аналогично получим Ьв = — е!иве!и псе!сЫ = — ~ — 6!ив 2 2 Г со!ос!! ~+ т~ т ~ л го о + !' сове!о! !!т!л1 3 1 !11~ = — ~соил!ой($ — го!) = лго гн ~ ллв в о ев ! !' = — ! сов и ($ — е и!и $) с1 $ = —,Г„(п е). 2 ллв,~ ле о Итак, х (1) =- а ~ — — е + ~ — Х„(п е) сов и го 1~; 2 л ю=! М у(!) = ~~, —.Гв(пи)в!и по! 1; лв л=! (2) ет ит 2е и (!) = а ~1+ — — ~ — и„'(пи) с!!в псе 1~.
2 л и=! Чтобы вычислить функции сов !р = — ! — — ! 1; и!и ср = — и!и $, в г Вычислим ковффнциент а„, интегрируя по частям: 1т т 2 Г 2 Г в!илге! ав = — ~ соз й сов и со !с!! = — ~сов $ т) т1 лы о о — Й1 = — ~ вн!'1п(в — ев!п$))в!п$с1$= лот сй ! лл ! о о 2 = — з„(пе); ао = — е; ' и здесь использовано представление функций Бесселя 18! У„(х) =- — 1 сов(п$ — хвй! $) !!с. л .! о 132 Законы изменении ими леса момента и энеРгии Гл. 2 разложим 17г в ряд Фурье; — = — + ~„с„сов г(га г. 1 се г 2 а 1 (4) Здесь с„— — т — ~ совпЯ вЂ” ев!п$)с(й= 2 Г созлОЗГгн 2 Т 3 а(1 — 'есоз$) аТго о о 2 2 = — Хе(пе); с, = —.
и а Используем также, что "ий =ту~ Ы„в1па~1, г)„= —.7 (~~), г л ю а а ! р=а(1 — е); й=-а~! — ". Тогда получим 1 — е' ъч сов~р = — в+ 2 — '> У„(пе)совпат1; а е1п го = 2 К1 — е' ~,7„(п е) в1п а го г. з 1 (6) Ряды (1) — (6) являются частными случаями рядов Кептэйна 18, 271.
Из найденных формул можно получить значения некоторых сумм Кептэйна. Например, полагая в (4) 1=0 (с=О), найден = ~а~У„(пе). з=! Положение прямой, по которой пересекаютсн зти плоскости, может быть определено нз уравнения Мог=О (уравнение плоскости траектории), в котором надо положить я=0: "4 ол+г)4 Оу 2.58.
Вектор М=т'1гото1 перпендикулярен плоскости орбиты. Поэтому угол а между экваториальной плоскостью Земли и плоскостью орбиты равен сюва= —; М,= ~Мо~. Лг, лов Движение под действием силы титотении Отсюда для ~ре — азимутального угла искомой прямой — получим Мхо гз 'Ре = — —. Мие 2.69. Из закона изменения момента импульса находим фйи ое-1 — = — у о" — ' (ги) = — у — М. от т Усредняя обе части этого уравнения за период обращения, согласно условию задачи получим т (1) дФ т тТ,) о и, следовательно, им тал-1 — = — — М ит т (2) Интегрируя (2), находим т, М=Ми " (л=)); (За) [ и — 1 т(л — 1)аи т 1л — 1 (Зв) где Ме = т)т'~ту'~, и,— радиус начальной круговой орбиты, Из закона изменения полной энергии аналогично найдем аи тип< 1 — = — у( "+') =— й ,ил~ т (4) Из (2) и (4) получим и, следовательно, та' Е = — —.
2Ме Учитывая„что на каждом обороте орбита близка к круговой, будем иметь (р) и 13о Движение пад действием силы тяготения При Р, = О положение большой оси орбиты спутника определяется вектором (см. задачу 2.41) с=(.М1 — —. аг г Однако ввиду наличия малой возмущающей силы г„вектор с медленно изменяется со временем. Действительно, †' = — (Е,йй1 + )'и ~гРеИ 4:О. а( т Следовательно, большая ось меняет свое положение в простраи. стве 2.61.
Интенсивность излучения на расстоянии г от Солнца равна и связана с плотностью импульса излучения я соотношением д= =Х(се. За время Ы к площадке Лг поверхности частицы подходит излучение, заключавшееся в объеме Лгсоза сЫ (а — угол между нормалью к площадке Лз и прямой, соединяющей центры Солнца и частицы). Если происходит полное поглощение, то изменение импульса равно дзсйг(а=пав). Следовательно, сила светового давления, действующая на тело, равна чае Р, =-йхс= — з = —, а 4сте Запишем уравнение движения частицы в гелноцеитрической системе отсчета: еМ й Фае тг= — у — г+ — г; й= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
