И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Из последнего уравнения следует а=го. Вводя комплексную скорость и=х+(у, из (1), (2) и = — аедае — "' + 1с«и; а = — о; сс = йго. (3) Решение этого уравнения ищем в виде и=Ае' ', Тогда из (3) получим А= — ае ""; А=С вЂ” а(е-'*; С=О. Следовательно, и (1) = — а(ес!ои-и>. Таким обРазом, па = (и(а+го — аа(о (еоЕоОа Т= — =— 2 2 еч (Гя. 1 во Кинематика и уравнения движения точки х = ((е $, у = 1пт $. 1.45. Имеем уравнение движения тела лег + у (() г + й (1) г = О. Предположим, что существует такое преобразование времени т = т(1), которое приводит к уравнению дат дг лт — +у, — +йег = О дтч дт С ПОСТОЯННЫМИ Уе И тте.
Переходя к новой независимой переменной т в первом уравнении и сравнивая результат со вторым уравнением, найдем, что функции у(1) и й(() должны удовлетворять дифференциальному уравнению т д . / аа(г) т(г) ~ ой —. ~4~ — „~ г,р, а преобразование времени определяется интегралом 1 46. В качестве ортов выбираем орт дг пт = —, дг ' направленный по касательной к траектории (5 — длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории), орт п, нормальный к траектории и направленный к центру кривизны: дп даг и =- гг — = Я вЂ”, да даа дат ~ — ~ где Я = ~ — ~ — радиус кривизны, и орт да' ~ и, = (птп].
Найдем скорость и ускорение: дг дг Ч= = 5=5ит дг дг Уравнения движения точки 91 $2) ан - -, "нт - а' и = — = зп, -1- ни, = зп, -', з — == зп, + — и. й оа Следовательно, гяз = Р,; ят — =- Р„; О = Ра. 1.47. 1) Рассмотрим уравнение тпх = Р(1) с начальными условиями х(1о) =О; х(1о) =О, Обозначим через Ь оператор, преобразующий функцию Р(1) в решение уравнения х(1) =- ЕР(1). (2) В силу линейности уравнения (1) оператор А обладает свойством суперпозицин Е(Р, + Р,) = йРт+ 7Рв Л(СР) = С1,(Р), (3) и свойством (4) Р(т) =- ) Р (Р) 6 (( — Р) й'.
Следовательно, хЯ= ')Р(Р)6( — ') и Согласно свойствам (3), (4) и определению (5) 03 ч С х=) 1Р(1)6(( — Р)Ш' =-~ Р(Р)16(1 — 1)т11' = ) тт((, Р)Р(Р)й'.(6) с, ы Функция Грина (5) удовлетворяет уравнению лтб = 6(1 — Р), где С вЂ” постоянная. Будем понимать под функцией Грина 0(1, Р) результат воздействия единичной силы, действующей в момент времени 1', Тогда 6(1, Р) = Еб(1 — Р). (5) Как с помощью функции Грина 6(1, Р) выразить результат преобразования (2) любой заданной функции Р(Г)? Для этого представим Р(1) в виде [Га. ! Кииематика в уравнения двитаеиия точки а начальные условия имеют вид 6 (! = !' — е, !') = 0; 6 (! = !' — е, !') = О. Интегрируя (7) и учитывая (8), находим (8) бм е=бс+а=О (10) При !<В решением уравнения (7), удовлетворя»ощим начальным условиям (8), является 6(1, !') =О.
При !)!' уравнение (?), т. е. 6=0, имеет решение 6 (», »') = А! -1- В. Из начальных условий (9), (10) находим А= —; В= — А!'=- —— а» lа Следовательно, со(»(с 6(», !') =. — (! — !'), !' ( ! ( оа. (11) Таким образов», х (!) = ~ 6 (К, !') У (!') с!с' = — 1 Р (!') (! — !') с!Е'; с. се о (!) = х (!) = — ~ Р(!') с(!'. (12) (!8) сф Формула (12) может быть также получена двукратным инте.
грированием уравнения (1) с, х(!) = — ~ ЦГ(т)»(т) Шс. Действительно, меняя порядок интегрирования, найдем с с х(1) ~с!т5Р(т)й, = — ~ Р(т)(! — т)с(т. ас м,) с. ст сл(6» !.е — 6»' — а) = 1! 6»'+е = !?сл, (9) т, е. прн 1=!' имеем конечный разрыв. Поэтому сама функция б при 1=»' разрывоз нс имеет: Уравнения нвиження точки 93 $ 21 О(1,1) =- ) гсссес сс ' ссссо, (15) Учитывая, что +О еснсс — ссс!со 2ст пз (7) и !15) найдем — тоРб„= —, т. е.
пп о 6(1,1') = — — ! есечс — сч — и. Это выражение не определено пока не задано правило обхода полюсов. Учитывая, что прн 1 — 1'>0!аспас>0, а величина Ре(со(1 — 1') < <О, находим, что в случае ! — 1'>О контур интегрирования надо замкнуть в верхней полуплоскости переменной со.
Это обстоятельство можно учесть, заменяя в (15) ос-счо — се (е — малая положительная величина, которую после вычисления интеграла надо положить равной нулю). Итак, + сс(1 — !') = — — ( еснп —.со 2исн,3 (и — с' е)* Ю (16) Замыкая контур интегрирования прн 1 — 1'>О в верхней полу- плоскости «с, а при 1 — 1'<О в нижней полуплоскости, из (!6) получим результат (11).
Воспользовавшись (13), решение (12) можно представить в форме х(1) =-1п(1) — — '(!~ЯМ. (14) сн Л В том случае, когда сила действует в течение конечного промежутка времени, (14) удобно переписать в виде х(1) = о(1) (1 — 8); с с О = — ' ~~'1'Р(1') (!'1 ~~'Г(1') (1'1 ', се !о 2) Для болес компактного вычисления функции Грина используем метод фурье-преобразований. Поскольку (7) является неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами, представим 0(1, 1') в виде ГЛАВА 2 Законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии $1.
Законы изменения и сохранения импульса, момента импульса и энергии материальной точки 2.1. Движение происходит под действием центральной силы отталкивания Р = тйгг. Прп этом сохраняется момент импульса (или секторная скорость а) М = 2та =lгаЬп„ Е =- т (Ь' — аг). 2 2.2. Используя выражение для силы дГГ ди дг дг дг дг дгГ г дг а также закон сохранения момента импульса — = 1гг] =- О, т(гч) =-М,. найдем, что Умножая обе части этого уравнения скалярно на г, получим М,г=-О, и е. уравнение плоскости, проходящей через центр силы.
2.3. Сила, действующая на тело, имеет вид г = Г(г) г — уч. Следовательно, — = )гг) = — т)гч) = — — М. дм т дГ т 94 где и, — единнчаый вектор вдоль оси з. Также сохраняется энер- гия материальной точки: Сохраненне нмн хьса, момента н знергнн точки Отсюда М=й4, Умножая обе части (1) скалярно на г, находим уравнение М,г= 0 плоскости, проходящеи через центр силы. 2,4. Потенциальная энергия заряда ее ет ех и= — — — — + 4у 4х 4)/х'+ ут найдем 2 ге)г 2 ге 2.5. Исходим из первых интегралов движения У = Уе' Х = ае' — "' +и,(я' —" =Е,.
2 а (2) Из (1), (2) находим тхе х 'х '2 — н +(/еМ вЂ” „=от==Ее 2 (Уе г ае). Следовательно, ах 2 — Ет — //е 1ае — 1 т~ а/ Вычисляя интеграл (заменой а1ях/а =- и), получим (начало координат помещена на ребре двугранного угла, а оси х и у направлены по его граням перпендикулярно ребру). Используя закон сохранения полнои энергии заряда ее / 1 1 ток ех ее ее — ~ — — г) 4ге ( )г2 / 2 4х 4у 4т/хайтун ' (Гл 2 Законы изменении импульса, момента и энергии Из (3) следует, что движение точки периодично с периодом Т=2 2па 1 2(Е„+ Щ ' и 1тг — (Ев — Уа )аа — ~ здесь х~ г — коРни УРавнениЯ Е,— Уо1ив — =О (положение то.
а чек поворота). 2.6. Предположим, что начальная скорость точки лежит в плоскости хг Используя интегралы движения ш 'а а оо тх = лтоо соз»»; — (х'+ га) + 11 (г) = —, 2 2 найдем уравнение траектории в виде 2 ов сова йг х о о 10г в!пв ц — 2а (г — Ь) О (г — Ь)11/г В наивысшей точке траектории»1г/»(х = О, поэтому координата верши- ны траектории ~4авп*а г,=й+ (2) га Вычисляя интеграл (1), находим уравнение восходящей части траектории х= ге(па (г к,й); ого ми 2а Г 2 ьс(й»» 1 Р— овсова у гт — г(г г»). 2д Ы Следовательно, дальность оог Яп 2а 1= 2х(г„) =- 2Ь с(п»»+ (3) и Теперь найдем максимальную дальность.
Производя в (3) замену и = с1яа, получим 2оо и г 1 = 2йи+— д !+ив Ватам, вычисляя д11ди = О, найдем, что 1 „достигается при ~4 с(я с» = /г — 1 ~= ')г' йв — 4й; в =-— 2га Сох анение импульса, момента и энергии точки При й=О, й оо, с1даа=1. При й>4, т. е. приона> 8уй, имеются две экстремальные точки. Значения углов а, при которых материальная точка достигнет заданной дальности 11<1тоа„определяются уравнением 2аа — — 'ик+ 2и(1+ 2й) — — ' = О. й й Из этого уравнения следует, что существуют трн значения угла а, при которых 1=1ь Рассмотренная задача является механической аналогией задачи о траектории луча в ионосфере в том случае, когда зависимость концентрации электронов имеет вид п(а) — (з — й)8(г — й), 2.7.
Пусть у=Π— плоскость катода, а у=с( — плоскость анода. Магнитное поле направим вдоль оси г Используя закон сохранения энергии (заряд' электрона е= — ее<О) — (х'+ у'.,'-г') — — 'у =0 2 о и интегралы уравнений х = — ву; г = О, ( в = — ~, т. е. интегралы еьН тс ) движения х= — ву; з=О, находим — (в у + у') — — 'у=-О. 2 и' По условию у(у = с() = О, следовательно, — в~ тР =- е,У. 2 Отсюда заключаем, что ток в магиетроне отсутствует, если > 1~2 аиУЛ 2.8. Воспользуемся законом сохранения энергии и интегралом уравнения х= вусоэ у!а, х = в а з1п у(а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
