И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если ось г направить по нормали к плоскости, то уравнение шарика можно представить в виде г~ — за+у=О, А где знак «минус» соответствует движению вниз. Интегрируя это уравнение, получим иа е. — и — г -т=д-Се ь ИВ и$ Выразим постоянную интегрирования С через начальные значения координаты н скорости шарика. Тогда вместо последней формулы будем иметь и ь и — ап г ~ — =(га-у- — )е та у а ту~ Полагая в этой формуле го=О; га — — л; г=О (для движения вниз), найдем квадрат скорости перед падением: — — и г~= — (1 — е ), сна 2и Ф а следовательно, и начальную скорость шарика при его движении вверх. 'а г.
Полагая в (!) г,= О; га =г~,' г = О (для движения вверх), найдем высоту га подъема шарика: 2а — — и г, = — 1п(2 — е '" ). 2ь 1.31. Уравнение движения имеет вид яг = пщ — йон. Направим ось г по вертикали вверх, Тогда из (1) н начальных условий следует, что х=у=О, а движение подчинено уравнению Уравнения движения точки 5 21 Вводя обозначения г=о; ив=лгу/а, представим (2) в форме о= — у(1 — — ).
(3) Интегрируя (3), получим о(!) = — и !)т —. дг И (4) Из таблиц !(гх следует, что прн — =2 !)г — =1. Поэтому навг и и чиная с г=2и/д, движение происходит практически с постоянной скоростью и. Переходя в (2) к переменной г — и = — д(! — — ) н интегрируя это уравнение, находим зависимость скорости от вы- соты о(г) =- — и ~1 — ехр ~ — — (Н вЂ” г)~ ~ 2н ~ ы/2 и' Интегрируя (4), получим высоту как функцию времени: ив ат з(!) = Н вЂ” — !пс1ч —, Ы и 1.32. В системе координат (рис. 1.32) с началом в источнике, осью у, направленной по вертикали вверх, и осью х, лежащей в заданной плоскости, закон движения каждой частицы определяется функциями х = о, соз сс г; уг о з!пссà — —, фЯ вЂ” о Рис, г 32 где о — угол между начальной скоростью и осью х, Следовательно, уравнение траектории частицы ииеет вид у = х!я се — ~ х'.
(!) 2о'ч сове а Точки, лежащие на огибающей у,(х), принадлежат траекториям и удовлетворяют условию 82 [Га, ! Кинематика и у авнения движения точки ду(х, а) да (2) откуда следует, что 1да=ооа/дх. Затем из (1) и (2) получим урав- нение огибающей с'о дха а р (х)= —— 2а 2о2 (3) тг = — тай — исхг. Это уравнение можно переписать в форме — (теис) = — деи' [с, ес откуда ге ' == — — е"' 1с + та -[- — й, ы я Я х х где то — начальная скорость некоторой частицы. Так как при 1=0 г=О (начало координат помещено в «испускающую» точку), то г= — "(1 — е — "') — с[с+ е (1 — е ')[с. х х х' Это закон движения произвольно выбранной частицы.
Из равенства (],—.с) ~ [с ~, "(1 е-ис) ~ас е [х х' х следует, что в момент времени 1 все частицы независимо от на- правления начальной скорости окажутся иа расстоянии "о (1 е-м) х от точки, лежащей на расстоянии (1 е — хс) Ф а х ха от начала координат вниз по вертикали, Таким образом, областью, недостижимой для рассматриваемого пучка частиц, является область, лежащая вне «параболы безопасности» (3), 1.33. Пусть [с — орт, направленный по вертикали вверх. Тогда уравнение движения любой из частиц имеет внд Уравнения движения тачки 1.34.
Уравнениями движения в координатах х, у, г являются. еЕо г х = — ' в1п —; у = О; г = О. т а Следовательно, еЕО цо! х = — з!и —. а г = "о1 у=О; Отсюда еЕ,а / ао/ х =- — — ~сов — — 1); тео а еЕ,а / а оо/ х =- — — ( — з1п — — !), тао ао а тг = еЕ, соз т/+ еЕ, е!и т/, получим где А и  — постоянные интегрирования. Направляя ось х декартовых координат вдоль вектора Еь а ось у — вдоль Ет найдем х = — ' (1 — сов Ы) + х„! + х,; тто (т! — з!п т!) т уо/+ у.; еЕ, тто г =- го/+ го Отсюда видно, что траектория протона будет циклоидой, лежащей в плоскости г=го, если хо = уо = го = О и Е, = Е,.
1.36. Запишем уравнение движения злектрона в координатах: где оо = ~е ~ Бо Из (3) с учетом начальных условий следует, что г=О, а из (1) находим т х =- — — з1п ау. а (4) 1.35. Проинтегрировав уравнение движения протона г = — — сов т! — — з1п ео!+ А/+ В, еЕ, еЕо тто амп х = — тсовау.у; у =- ее сов ау и; г=О, (1) (2) (3) [гд ! 84 Следовательно, т. е, (6) Кстати, уравнение (6) следует непосредственно из закона сохра- нения кинетической энергии (7) Соотношение (7) дает зависимость у(1) в квадратуре. Используя ее, из (4) можно найти х(1), а из (4) с помощью (7) — уравнение траектории в виде савау == — зЬах+сЬах. Уат 1 31. Направим ось х вдоль напряженности Е электрического поля, а ось г — вдоль напряженности Н магнитного поля Тогда уравнения движения примут вид (1а) где м = УН[тс.
Кинематика и уревненнн движения точки Подставляя (4) в (2), получим уравнение оР у = — — в[п 2ау. 2а Умножая обе части (5) на у и интегрируя, найдем и !ует и ае — — = — — соз 2ау. УЕ 2,1 ат 4ае ме ° 2 еое у' =- —,соз2ау+С,; Се =уо — —, 2а' 2ае ме у' = уо — — 81п'ау. ае Ое = хте + уе = уо и (4). Далее, из (6) находим и е ЙУ Уо — ( — Вп аУ) е х = еоу+ — Е; а1 у= — ах; я=О, (1Ь) (1с) 88 Уравнения движении точки ф 21 Учитывая начальные условия г(0) =г;, ч(0) =чо, из (1с) находим г =- гв1 + г,. (2) Интегрирование (1а) и (1Ь) удобно провести, вводя комплексную координату $=х+(у. Умножая (1Ь) на 1 и складывая результат умножения почленно с (1а), получим $ = — ио$+ — Е е (3) с начальными условиями $(0) == хо --1ув, е(0) =- х„— (у,. Интегрируя (3), найдем (4) где С,=60) ) —, тм Итак, 3 (1) = 8 (0) е — Яы ч- — ' (е — "" — 1).
(5) Поскольку х = Ке ф, у = 1т ф, из (5) следует еЕ х(1) =хвсознт(+ увз!пгог, — 81ттго(; (6) у(Г) = у,сои Ы вЂ” х,з1погГ+ — (созот( — 1). еЕ Из (б) видно, что заряд имеет постоянную составляюнгую скорости в направлении [ЕН1, равную по величине еЕ)тот=сЕ)Н, 1.38 Уравнение движения заряда тч =- еЕ+ — 1чН) с после замены 1ЕН) ч= с — +ч' Ие преобразуется в уравнение тч' = е — (ЕН) — ' — (ч'Лг). Ее с Далее, подстановка ч' = е — (ЕН)1 1- ч" тНа 86 [Га 1 Кинематика и уравнения движения точки дает тч" = — (ч Н[.
с Следовательно, скорость заряда может быть представлена в виде ч = с — + — (ЕН)1+и", [ЕН[, ен Н' си' Здесь первый член правой части равен скорости дрейфа электрона в направлении, перпендикулярном к плоскости, проходящей через векторы Е и Н, а второй член характеризует ускоренное движение вдоль магнитного поля. 1 39. еаза [ ааааа ивах — 4с еаНа 1.40.
1) Из уравнения движения тг =. — [чН) — уч с получим уравнения в координатах х = осу — (у!т) х; у = — их — (уст) у; г = — (у/т) г. Следовательно, — — с 7 г = гае (2) — инс — — с 7 и (1) = х+ су = и (О) е (3) где и (О) = х, + ауа. Из (2) и (3) находим па(с) =- [аЯ[а +га ([и(0) [а+ гад) е ™ овне Уравнения динжения точки 4 2] — — ! 27 Итак, Т=Т,д мое 2 Та 2 2) Умножим обе части (1) скалярно на 7. Тогда получим, что ( тиа) 27 т. е. Т=Тее 1.41.
Поместим начало отсчета системы координат в место вылета электронов из электронной пушки, а ось г направим по осп трубки вдоль вектора Н. Тогда уравнения движения примут вид х= — ещ; у=-тех; г= О (от=]е]О/тпс), х =- — ' [З]П (м + от]) — З]П «[. У = — "' [сов еа — сов(се+ от])[; г = ий Пусть 11 — время пролета электронов до экрана (Г,=Ь/и). Элек- троны, вылетающие под разными углами а, фокусируются в раз- ных местах трубки, так как х(1,) = — "' [з1п(и+ Ы,) — з1оа[; о (1,) = — "' [сове» вЂ” сов(от], + сеЦ. Однако если выполняется условие (и — целые числа), то все электроны фокусируются в одной точке х=ц=О', г=Ь.
Итак, длина трубки должна удовлетворять требованию Е = 2пс — л. ити ]е]Н 1.42 Выберем осн координат так, что В= (Е, О, 0); Н= (О, О, О). Тогда уравнения движения имеют вид а начальными условиями будут х (0) = га сов са; у (0) =- о з1п сс; г (О) = и (м — угол между проекцией скорости на плоскость Оху и осью Ох). Интегрируя (1), находим (Гл ! Кинематика и уравнения движения точки еЕ х — «>у+ Лх = —; ис (2) У+ сох+ Лу = О; г+ Эг = О, где с« =. еН)тс, Л =- (с/тп. Вводя и = х+ (у, из (1), (2) находим и + Ли + (оои = —.
еЕ Следовательно, и = ае — '" — "' + еЕ а=Ае 'и. ис(Л+ ио) Искомая скорость х = Реи = Ае — ассов(с«1+ а) -(- еЕЛ ис (Ле+ соа) При усреднении по периоду Т=2п1с«экспоненциальный множитель можно вынести за знак усреднения, так как Л««ь Поэтому еЕЛ еЕис' т (Ла+ соа) са)со+ еоИа 1АЗ, Поскольку ()) («Но, то уравнения движения имеют вид (е= — ео) х =- — —" Ео сов (с«1 — ег) — ус«; у = — — ' Ео и!и (с«1 — йг) + хт«; ео (2) г = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
