И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 8
Текст из файла (страница 8)
6.9. Пусть потенциал взаимодействия двух атомов с массами ш1 и тя равен потенциалу Морза [/ — Ц Е-ябан — бд 2Ц Е вЂ” аН вЂ” ли О о 3 где г — расстояние между атомами, а Уа, а и га — постоянные. Найти частоту линейных колебаний невращающейся двухатомной молекулы. 6.10.
Нить (длины 1) математического маятника массы т намотана иа горизонтальный неподвижный цилиндр радиуса а (см. задачу 5.29). Найти уравнение движения такого маятника в плоскости поперечного сечения цилиндра. Чему равна частота линейных колебаний маятника? 6.11. На концах гладкой непроводящей трубки длины 2а закреплено по заряду 1;1. Определить частоту колебаний заряда е массы т, движущегося внутри трубки. 6.12. Шарик массы т с зарядом е подвешен иа нити длины 1.
Точка подвеса закреплена на расстоянии Ь>1 от бесконечно протяженной проводящей плоскости. Пренебрегая силой тяжести, найти частоту линейных плоских колебаний заряда. 6.13. Определить частоту колебаний заряда е массы т, который может перемещаться по неподвижному гладкому эллипсу с полуосями а, Ь (а>Ь). Эллипс расположен между обкладками цилиндрического конденсатора (его внешний и внутренний радиусы равны гя и г, соответственно). Ось цилиндра перпендикулярна плоскости эллипса и проходит через его центр. 6.14.
Электрический заряд совершает линейные колебания с периодом Т по неподвижному гладкому эллипсу с полуосями а и Ь. Эллипс находится в однородном электрическом поле напряженности Е, причем большая полуось а параллельна направлению поля. Определить отношение заряда к массе. 6.15. Заряд е>0 массы т может двигаться по гладкому неподвижному эллипсу с полуосями а и Ь(а>Ь) под действием заряда Я(0, помещенного в центре эллипса.
Найти частоту линейных колебаний запяда. Сабстеенные одноме ные колебання 6.16. Точка, имеющая заряд е н массу гл, совершает линейные колебания по гладкому неподвижному эллипсу с эксцентрнситетом е и параметром р в поле заряда Я, закрепленного в фокусе эллипса. Найти частоты колебаний заряда для случаев притяжения н отталкивания между зарядами. 6.17. Заряд е массы т может двигаться по гладкому неподвижному эллипсу, в фокусах которого находятся одинаковые заряды Я>0. Найти частоты линейных колебаний заряда. Я 6,18, Горизонтально расположенный проводящий однородный стержень массы т длины подвешен за концы иа двух одинаковых прово- ~2 дящнх пружинах, подчиненных закону Гука.
По этому проводнику течет ток силы Хл. Параллель)о ему расположен не- ~1 подвижный длинный про- Рнс. б!8 водник с током 71 (рнс. 6.18). Найти закон движения проводника и частоту его линейных колебаний вблизи положения устойчивого равновесия (действием силы тяжести пренебречь). 6.19. Точка подвеса математического маятника перемещается с постоянным ускорением а в направлении, перпендикулярном напряженности однородного гравитационного поля. Найти среднее за период линейных колебаний значение кинетичесхой энергии маятника. 6.20.
Бусинка массы гл может двигаться по гладкому обручу радиуса с(, который вращается с постоянной угловой скоростью й вокруг своего вертикального диаметра. Найти частоту линейных колебаний бусинки вблизи положения равновесия. 6.21. Центробежный тахометр в рабочем положении схематично может быть представлен обращенным вершиной вниз ралнобедренным треугольником с пружиной жесткости х вместо основания (рис.
6.21). В точке соединения пружины с одной из двух одинаковых сторон этого треугольника закреплен шарик массы т, а вокруг другой стороны, расположенной вертикально, треугольник вращается. Пренебрегая длиной пружины в ненапряженном состоянии н считая угловую скорость вращения (1 независящей от времени, найти зависимость Й от угла ~р в состоянии динамиче- Линейные колебания [ Гл. б ского равновесия, а также частоту линейных колебаний в окрестности такого состояния. 6.22. Шарик радиуса сс массы т подвешен на тонкой нерастяжимой нвти длины 1 в среде с вязкостью и. Предполагая справедливым закон Стокса, рассчитать среднюю мощность диссипативной силы для случая слабо затухающнх линейных колебаний шарика в вертикальной плоскости.
Л1у 6.23. Слабо затухающий оспиллятор представляет собой шарик массы т, который колеблется в однородном поле тяжести по циклоиде х = )с (ф + з1п ф); у = сс (1 — сов ф) Рис. 6.21 с сопротивлением, пропорциональным скорости (коэффициент пропорциональности й). Как зависит добротность осциллятора от ссу (Добротностью осциллятора называется величина Я = — (Е)со/ — (Е), где среднее вычисляется по периоду 2п/~о.) б й1 Получите общую формулу для добротности слабо затухающего осциллятора. 6.24. В среде с «линейным» сопротивлением по винтовой линии с горизонтальной осью может двигаться шарик массы т. Найти общее решение уравнения Лагранжа в случае движения шарика вблизи его положения устойчивого равновесия.
Используя это решение, получить закон движения для случаев слабого, критического и сильного затуханий. $2. Собственные и главные колебания системы 6.25. Найти общее решение, описывающее линейные колебания системы с двумя степенями свободы (потенциальная энергия системы обладает изолированным минимумом). 6.26. На гладкой горизонтально расположенный стержень длины 21о навиты две одинаковые пружины, концы которых закреплены, а два других конца прикреплены к шарику массы т (длина каждой пружины в ненапряженном состоянии 1о, а жесткость я). К шарику, в свою очередь, прикреплена нить длины 1 со вторым шариком массы т на конце. Найти общее решение и собственные частоты линейных плоских .колебаний системы.
Собственные н главные колебания снстеыы 43 6,27, В неподвижной точке закреплена нерастяжимая нить длины й к которой подвешен шарик массы пт. К этому шарику на такой же нити подвешен второй шарик массы лт (рис. 6.27), Найти собственныс частоты этой системы н общее решение для ее линейных плоских колебаний в однородном поле тяготения. 6.28.
Лва шарика с массами т могут скользить по двум гладким полупрямым, образующим угол и'3. Шарики связаны между собон, а такжс с вершиной угла пружинами жесткости х. Пружины, закрепленные концамн в вершине угла, в ненапряженном состоянии имеют длину (е, а пружина, соединяющая шарики— длину )ы Найти собственные частоты и закон движения системы в линейном приближении (действием силы тяжести тл можно пренебречь). ! 6.29.
Точкгг подвеса двух математических маятников одинаковой массы т Рнс. 6.27 и одинаковой длины ~ находятся на одном уровне на расстоянии ге, материальные точки маятников соединены пружиной жесткости х длиной гв в ненапряженном состоянии. Найти зависимость энергии каждого маятника от времени при условии х(т((й~! (д — напряженность поля тяжести). 6.30. В качестве простой модели взаимодействующих атомов с учетом внутренних степеней свободы рассмотрим два линейных осциллятора, колеблющихся в направлении соединяющей их линии. Пусть каждый осциллятор обладает массой т и является днполем, у которого положительный заряд е неподвижен, а отрицательный — е колеблется с частотой егв.
Расстояние между положительными зарядами тт велико по сравнению с отклонениями осцилляторов от положения равновесия. Найти собственные частоты колебаний системы. 6.31. Предполагая, что инертная масса т отлична от гравитационной массы М, найти частоты линейных колебаний двух одинаковых математических маятников длины г' (точки подвеса маятников находятся на расстоянии а). 6.32.
Заряд е массы т движется в неоднородном магнитном поле, реализующем «мягкую» фокуснровку по окружности радиуса Й. Вектор-потенциал поля в цилиндрических координатах имеет вид е 1 г г' еО Ар — = А, == 0; Ая — — — 4 Н Р д Р— — . — + ... (г << тс), Р 2 Вя в Линейные нолебнннн где Н=Не(ге!р) е, 0(>?(1, Не. >7 и ге — постоянные.
Найти частоту линейных радиальных н акснальных колебаний заряда. 6.33. Математичсский маятник массы >и длины 1 подвешен к телу массы М, которое может перемещаться вдоль прорези в гладкой горизонтальной плоскости. Определить частоты линейных колебаний системы. Каков смысл нулевой частоты? 6.34. Два шарика массы т, и те могут двигаться по горизонтальным гладким параллельным стержням, расположенным на расстоянии а друг от друга. Шарики соединены пружиной жесткости н длиной 1Фа в ненапряженном состоянии.
Найти частоту линейных колебаний системы. 6.35. Два одинаковых заряда движутся по гладкой окружности постоянного радиуса )?. Найти общее решение в случае линейных колебаний зарядов. 6.36. Два шарика равной массы связаны стержнем длины ! и пренебрежимо малой массы.
Центр масс этой системы движется по круговой орбите радиуса )? вокруг Земли. Найти частоту колебаний описанного маятника в плоскости орбиты (1«И). 6.37. Найти закон движения электрона в поле у = — (я>лн+ м,уе) — — (и, + мн) гн 2 2 и однородном магнитном поле Н=Нп, 6.38. Определить частоты продольных и поперечных колебаний линейной трехатомной молекулы (предположить, что силы, действу>ощие на атомы при деформации молекулы, описываются законом Гука). 6.39. Три шарика с массами т,=т; тн=т/й; т,=>п прикреплены последовательно к легкой натянутой струне длины! так, что делят ее на равные частц (Ре — натяжение струны).
Одному из шариков массы т сообщается поперечный импульс ре. Найти закон движения среднего шарика. 6.40. Пружина длины 31 находится под натяжением Ре между двумя закрепленными точками. Шарики с массами бт и 8>п прикреплены к пружине так, что делят ее на трн равные части. В' начальный момент времени шарику с массой бт задается малая поперечная скорость ие. Найти закон движения шарика с массой 8т [16).
6.4!. Определить главные продольные колебания «цепочки» системы >у однаковых материальных точек, движущихся по гладкой горизонтальной прямой и соединенных между собой одинаковыми пружниамп, подчиненными закону Гука. Длина каждой пружины равна а, причем (й>+1)а=Е, где !. — расстояние между закрепленными концами крайних пружин. 6.42. Определить собственные частоты системы >)> одинаковых математических маятников длины 1 и массы >и; точки подвеса 4з1 Вынужденные кодебаннн маятников расположены вдоль одной горизонтали на расстоянии а друг от друга (рнс. 6.42). Между собой маятники соединены одинаковыми пружинамн (длины а в ненапряжениом состояниИ); крайние маятники соединены такими же пружинами с неподвижнымн точками, находящими- ас=г ся друг от друга на расстоянии й= (У+1) а. Найти собственные частоты системы маятников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
