И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найти границы движения точки. 5,43. В цилиндрических и сферических координатах найти функцию Лагранжа и первые интегралы для сферического маятника, т. е. для точки, движущейся по гладкой офере радиуса а в однородном поле тяжести. р з1 Обобшеииа-иотеиииильиые силы 5.44. Предполагая, что начальные условия в предыдущей задаче заданы в виде 0(0) =Ои', ср(0) =0; 0(0) =0; ~р(0) =Чти, найти границы движения сферического маятника. 5.45.
Шарику сообщают скорость им горизонтально направленную вдоль касательной к внутренней поверхности гладкой чаши— полусферы радиуса а. Найти такое соотношение начального положения и скорости шарика, при котором шарик в момент достижения края чаши лишь касается его. 5.46. Точка движется в снловом поле, ее потенциальная энергия равна: а) (1=(1(х), б)0= 11()' х'-', у'), в) 0 =(у(ух'" +у', з), г) и= и()~х'+у+:),' Написать лаграижиан, уравнения Лагранжа и первые интегралы движения материальной точки. 5.47. Написать функцию Лагранжа для заряда, налетающего иа заземленную металлическую сферу раднуса т? (10, $ 3). 5.48. На гладкой горизонтальной плоскости лежит нерастяжимая с пренебрежимой массой нить, к концам которой прикреплены шарики с массами пт, и пть Нить образует прямой угол, в вершине которого огибает тонкий гладкий стержень, скрепленный с плоскостью. Первый и второй шарики находятся соответственно на расстояниях 1, и 1и от вершины угла.
В начальный момент времени первому шарику сообтцпли скорость ом перпендикулярную нити. Чему равна скорость второго шарика в момент времени, когда он достигнет стержня? За какое время он достигнет стержня? Найти уравнение траектории первого шарика. 5.49. В горизонтально расположенной плоскости сделано маленькое отверстие, через которое продета нить длины 1. На концах нити закреплены точки с массами т~ и ть причем точка массы лтт лежит на плоскости. Найти лагранжиан системы н первые интегралы движения.
5.50. Материальные точки одинаковой массы находятся в вершинах ромба, сторонами которого является шарнирно соединенные стержни пренебрежнмо малой массы. Точки притягиваются к неподвижному центру с силами, пропорциональными их расстояниям до центра. Полагая, что силовой центр и материальные точки лежат в одной плоскости, определить закон движения системы. 5.51. Написать лагранжиан двух свободных материальных то~ек, соединенных пружиной (подчйненной закону Тука) н движущихся в однородном поле тяжести.
5.52. Два заряда движутся в однородном электрическом поле. Записать функцию Лагранжа системы. $ 3. Движение под действием обобщенно- нотенцнаньных снн 5.53. Шарик массы лт, перемещаютцийся по гладкому стержню, уравнения даеравжа (гя в соединен пружиной пренебрежимо малой массы с некоторой точкой этого стержня. Г1редполагая, что стержень движется с постоянным ускорением а, направленным параллельно его осп, найти закон движения шарика. 5.54.
Материальная точка движется по гладкой прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью ва вокруг вертикальной оси, проходящей через прямую, и наклонена к ней под углом а. Найти лагранжиан точки и указать интеграл движения. 5.55. Точка движется по гладкой вертикальной плоскости, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ы (ось лежит в рассматриваемой вертикальной плоскости). Написать лагранжиан точки. 5.56. Шарик движется по гладкой окружности радиуса а, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, совпадающей с диаметром окружности. Указать интеграл движения и найти закон движения шарика, 5.57.
Материальная точка движется по гладкой окружности радиуса а, которая вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через одну из точек окружности, с постоянной угловой скоростью ы. Найти первые интегралы движения и уравнение Лагранжа для независимой координаты. 5.58. В системе отсчета, жестко связанной с Землей, в сферических координатах найти лагранжиан частицы, которая движется под действием тяготения Земли.
Найти закон движения частицы в квадратурах. 5.59. Записать функцию Лагранжа для заряда, движущегося в однородных постоянных магнитном и электрическом полях. 5.60. Заряд движется в однородном магнитном поле. Найти функцию Лагранжа и первые интегралы движения в цилиндрических координатах. 5.61. Найти функцию Лагранжа и первые интегралы для электрона, движущегося в цилиндрическом магиетроие.
Так называется прибор, представляющий собой два коаксиальных цилиндра с радиусами г, и га (га>г,) и потенциалами Ф, п Фа соответственно; цилиндры помещены в магнитное поле; напряженность поля Н параллельна оси цилиндров. 5.62. Найти функцию Лагранжа и уравнение движения заряда в поле магнитного диполя. 5.63. Найти функцию Лагранжа и уравнение движения заряда в поле магнитного монополя. 5.64. Найти уравнения Лагранжа для частицы, которая движется в поле магнитного диполя, вращающегося с угловой скоростью оа [11), 5.65.
Электрон движется в переменном неоднородном аксиально-симметрнчном магнитном поле, вектор-потенциал которого Обобщенно-потеютиальные силы Ач = — ( рН (р, г) с(р; Ар =-- А, = — О. Р о Какому условию должно удовлетворять поле, чтобы электрон двигался по окружности данного радиуса гоу 5.66. Тонкая магнитная линза образована полем, определено 1 ным вектором-потенциалом А„= — ~ рН(р, г)т(р; Ае=А,= О; 1т о причем Н(р, з) отлично от нуля в области з,<г<г,. Из точки (О, О, го<г,) на линзу падает пучок электронов под малыми угламц к оси г. Найти фокусное расстояние линзы.
5.67. За1тяд движется в магнитном поле Земли. Вектор-потенциал А = —, где 1а — магнитный момент Земли. Найти гранивг) /3 цы движения заряда в меридиональной плоскости. Качественно исследовать характер движения заряда в экваториальной плоскости. 5.68. В электротехнике при расчете электрических цепей, содержащих конденсаторы, индуктивиости, сопротивления и сторонние э. д. с., весьма удобным является метод Лагранжа. В этом случае в качестве обобщенных координат удобно взять параметры йь характеризующие механическую кон~фигурацию системы, и заряды Яо Обобщенные скорости ф являются токами, текущими в проводниках.
Лагранжиан системы складывается из лагранжианов электромагнитного поля, механической системы и взаимодействия полей и токов, т. е. имеет вид :и" = — 1 (З~' — эе) с( + уе„,„+ — 1 А)сО' — ~ рр'с( а а ! Р ал 3 с Энергия магнитного поля заключена в индуктивностях и равна 8 о 2 Х а электрического в в конденсаторах: — ~РЛ = — '~„ (в этих формулах йм и С, — коэффициенты индуктивности и емкости соответственно, а суммирование ведется по всем контурам). Джоулевы потери учитываются введением диссипативной функции )З == — ' ~~~~ ~й,. (д, 1) 4, где тте — сопротивление тхтого контура.
[Га. 5 Уравненнн Лагранжа Электродвижущне силы 6 „действующие в г-том контуре, можно учесть, вычисляя виртуальную работу 5А=Х4;бЯ„где Я, полный заряд, протекающий в готом контуре. Найти уравнения Лагранжа для системы проводников и закон изменения энергии в случае неподвижных проводников. 5.69. Найти, функцию Лагранжа и уравнения движения для цепей, изображенных на рис. 5.69, а) и б). Рнс 669 5.70. Замкнутая квадратная рамка может вращаться вокруг одной из сторон, расположенной горизонтально, Рамка находится в однородном магнитном поле, снловые,нинин которого вертикальны, Найти интегралы и закон движения рамки.
5.71. Дина момашина переменного тока представляет собой совокупность двух контуров: первый (ротор) с заданным током У, вращается под действием заданного момента сил, второй (статор) — неподвижный. Найти ток Ув во втором контуре и )тловую скорость вращения ротора в квазистационарном режиме. ГЛАВА 6 Линейныв нолебания $1. Собственные одномерные конебвння 6.1. Найти частоту колебаний точки массы т, движущейся по абсолютно гладкой горизонтальной прямой и прикрепленной к пружине, другой конец которой закреплен на расстоянии Й от прямой.
Жесткость пружины х, длина в ненапряженном состоянии 1а. 6.2. Упругая пренебрежимой массы нить, длина которой в не. напряженном состоянии 1з=2а, перекинута через два гладких горизонтальных стержня, расположенных на одном уровне па расстоянии а. Оба конца скреплены с шариком массы т. Определить частоту вертикальных колебаний шарика, если в положении равновесия нить образует равносторонний треугольник (см. задачу 5.28). 6.3.
Бусинка массы т может двигаться по гладкой параболе у=йх~ с осью у, направленной по вертикали вверх. Определить частоту колебаний бусинки. 6.4. Шарик массы и может двигаться по гладкой параболе у=рхз с осью у, направленной вверх по вертикали. Шарик прикреплен к двум одинаковым пружинам жесткости к, навитым ка параболу и жестко закрепленным другими концами на одинаковых расстояниях от вершины параболы равных а вдоль параболы.
Длина каждой пружины в ненапряженном состоянии а. Найти частоту линейных колебаний шарика. 6.5. По гладкой неподвижной окружно- х сти радиуса 1( может перемещаться точка массы т, соединенная с пружиной жесткости н. Другой конец пружины закреплен в плоскости окружности на расстоянии а>)т от ее центра.
Длина ненапряженной пружины 1з. Найти частоту колебаний материальной точки, пренебрегая силой тяжести. г 6.6. Точка массы щ находится на пере- 1 сечении прямого вертикально расположенного кругового цилиндра радиуса Р и плоскости, образующей угол а с горизон- — — тл том (рис. 6.6). Найти функцию Лагранжа и частоту линейных колебаний точки вбли- ~р зи ее положения устойчивого равновесия (связь считается гладкой). Рис 66 (Гл б 40 Лннеяные колебання 6.7. Найти средние за период линейных колебаний значения кинетической и потенциальной энергий точки массы т, которая движется по гладкой линии пересечения горизонтально расположенного цилиндра и плоскости, секущей цилиндр так, что плоскость эллипса, образованного линией пересечения, направлена под углом са к горизонту. 6.8. Точка массы т находится на гладкой кривой ук аз(пйх, расположенной так, что ось х горизонтальна, а плоскость Оху образует с вертикалью угол а, Определить частоту линейных колебаний точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
