И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Точка движется в однородном поле тяжести по гладкому цилиндру радиуса Р, ось которого образует угол а с вертикалью. Найти реакцию связи как функцию положения точки (в цилиндрических и декартовых координатах). 5.7. Точка движется в однородном поле тяжести по гладкой сфере радиуса а. Найти реакцию сферы как функцию координат и скорости. 5 6. Точка движется в однородном поле тяжести по гладкой сфере радиуса а.
Найти закон движения точки в цилиндрических и сферических координатах 5.9. На гладкую неподвижную кривую х = а (соз ф + ф з!п ф); у = а(з~пф — фсозф) (ф > О) (эвольвента окружности) нанизано небольшое колечко массы т. Вычислить реакцию связи как функцию положения на кривой, считая ось Оу направленной вертикально вверх. «Гл. 5 Уравнения Лагранжа 5.10. В однородном поле тяжести по гладкой лемннскате и'=2авз«п2ф(0<ф~п!2) с осью симметрии, составляющей угол и!4 с вертикалью, скользит точка массы т.
В начале координат (рис, 5,10) скорость точки равна нулю. Определить, как изменяется со временем реакция связи. Рнс. 510 Рис. 5,2 5.11. Точка массы т движется под действием силы тяжести по гладкой цнклоиде х = а (ф — з1п ф); у =- а (1 — соа ф) с осью у, направленной вверх по вертикали. Найти закон движения точки и реакцию связи как функции параметра ф.
5.12. Шарик массы т движется по гладкой плоскости, вращагощейся с постоянной угловой скоростью вокруг горизонтальной осн. По какому закону меняется со временем реакция связи? 5.13. Точка движется в однородном поле тяжести по гладкой окружности радиуса а, вращающейся с постоянной угловой скоростью в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной осн, которая проходит через одну из точек окружности.
Найти закон движения точки и реакцию окружности, 5.14. Гладкая недеформируемая кривая — лемниската Бернулли гв=2авсоз2ф — вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг одной из осей симметрии, направленной по вертикали (рис. 5.!4). По кривой может двигаться шарик массы и. Найти реакцию связи как функцию положения шарика на кривой. 5.15.
Бусинка находится в иаинизшей точке вертикально расположенной неподвижной шероховатой окружности радиуса а. Какую минимальную скорость надо сообщить бусинке, чтобы она достигла горизонтального диаметра окружности? Коэффициент трения равен Й. 51 Уравнения Лагранжа с реакциями связей 6.16, Двигаясь по горизонтально расположенной шероховатой окружности материальная точка проходит путь 1 до полной остановки. Какая начальная кинетическая энергия была сообщена точке? Найти реакцию связи как функцию положения точки.
Рнс. 5Л4 Рис, 5ит 5.17. Материальная точка перемещается по наклонной неподвижной шероховатой плоскости, составляющей угол а с горизонтальной плоскостью (рнс. 5.17). Коэффициент трения равен й. Найти закон движения точки и реакцию связи. 5.18. Однородная цепочка длины 1 перекинута через верхнюю горизонтальную грань неподвижной призмы, сечение которой является трапецией с ост~рыми углами а и 6 при горизонтальном нижнем основании Рис. 5ДВ (рнс. 5.18). Каково положение равновесия цепочки на призме с гладкими гранями, если а длина ее верхней грани? 5.19. Материальная точка массы т находится на поверхности гладкого конуса хя — +уз — ге =-О 4 с вертикальной осью. Точка отталкивается от вершины конуса с силой, пропорциональной расстоянию от вершины конуса с коэффициентом пропорциональности х. Найти положения равновесия материальной точки.
5.20. Материальные точки с массами и/2, и, пг попарно взаи- (Гл з з2 Уравнения Лаг анжа подействуют между собой с силачи отталкивания, пропорциональными произведению масс и расстояниям друг от друга. Все три точки находятся на гладкой горизонтальной окружности радиуса а. Найти положении равновесия системы. 5.21 Материальная точка массы т может перемен(аться по поверхности гладкого эллипсапда — -)- — "-;- — ' =1 (а>Ь>с); аа Ьа еа эллипсоид вращается с постоянной угловой скоростью га вокруг вертикальной оси Ог. Найти положения равновесия материальной точки относительно эллипсоида, 5.22, В гладкой неподвижной полусфере с вертикально расположенной осью симметрии покоится тонкий однородный стержень массы пг.
Какая часть стержня находится вне полусферы, если радиус сферы г, а длина стержня 1>2г? $2. Уравнения Лаграняга в независимых координатах и законы сохранения обобщенного импульса и энергии 5.23. Две точки с массами т~ и лга соединены гладкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок пренебрежимой массы, Найти функцию Лагранжа и закон движения грузов. 5.24, На одном конце легкой иерастяжимой пити„перекинутой через гладкий блок пренебрежнмой массы, укреплен груз массы гль По другому концу нити перемещается обезьяна массы та по закону $(1) относительно нити. Найти функцию Лагранжа системы и закон движения обезьяны относительна поверхности Земли.
525. Точка массы лт может двигаться по гладкой кривой у=аз)пйх. Ось х горизонтальна, ось у образует угол а с вертикалью. Найти функцию Лагранжа и интеграл энергии точки. 5.25. Точка массы т, которая может передвигаться по гладкой горизонтальной прямой, соединена пружиной с неподвижной точкон, находящейся на расстоянии л от прямой. Найти функцию Лагранжа, предполагая, что пружина подчинена закону Гука, а жесткость пружины х и ее длина 1е в ненапряженном состоянии известны. 5 27. Две точки с массами гл1 и лта, соединенные стержнем длины а пренебрежимо малой массы, перемещаются по гладким сторонам неподвижного прямого угла, расположенного в вертикальной плоскости (стороны угла образуют угол п74 с горизонтом).
Найти лагранжиаи системы (рнс. 5.27). 5.28. Упругая нить длины 2а в ненапряженном состоянии перекинута через два горизонтальных параллельных стержня, располо- й 2] Уравнення Лагранжа в независимых коордннахах 33 женных иа одном уровне на расстоянии а друг от друга. Кенды нити прикреплены к шарику массы лз, совершающему колсбания по вертикали (рис. 5.23). Найти лагранжиан шарика (нить подчи- нена закону рука). 5.29. Шарик массы из прикреплен к нерастяжимой нити, конец которой, в свою очередь, х прикреплен к верхней точке неподвижного блока радиуса а 2 (рис. 5.29).
Предполагая, что при движении шарика в плоскости, перпендикулярной оси бло- зг/~ ка, нить остается натянутой, О найти функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа. Рнс 5 27 Рнс 323 Рнс Ч 29 5 30 Точка массы лз движется по гладкой циклонде х =- и (и,— 31п и); р = — а (1 — соа и) (ось у направлена по вертикали вверх). Найти функцию Лагранжа, первый интеграл и закон движения шарика 5.31.
Точка подвеса математического маятника колеблется в вертикальном направлении по закону з(1), Получить лагранжиан и уравнение движения. 5.32. Длина математического маятника, колеблющегося в однородном поле тяжести, изменяется по закону 1(1). Найти функцию Лагранжа и уравнение движения маятника. 5.33. Восстановить вид функции Лагранжа по известному закону одномерного движения материальной точки массы и сиз ха =- — + (ха+ ое()'. а 2 Зак4 У авленнн Лагранжа (Гл, 5 5.34. Шарики массы т~ и гпа движутся в вертикальной плоскости ху так, что первый шарик остается на горизонтальной оси х, а второй — на вертикальной оси у.
Шарики связаны стержнем данны 1 пренебрежимо малой массы. Найти лагранжнан н закон движения системы. 5.35. Два шарика, соединенные пружиной, подчиняющейся закону Гука, движутся по гладкой горизонтальной прямой. Найти лагранжиан системы и интегралы движения. 5.36. Найти лагранжиан точки, движущейся по гладкой плоскости, образующей угол сс с горизонтом. Найти первые интегралы движения точки. 5.37.
По наклонной плоской поверхности бруска массы ги, скользит тело массы та (коэффициент трения между телом и по- верхностью бруска равен Й). Сам а. брусок может двигаться вдоль гладкой горизонтальной поверхности (рнс. 5.37). Найти ускорение бруска. 5.38. Точка подвеса математического маятника массы гпа прикреплена к телу массы ть находящемуся на гладкой горизонтальной Ъ прямой.
Найти функцию Лагранжа х системы, а также интегралы двиРнс, а 37 жения. 5.39. Шарик массы иг, подвешен за нерастяжимую нить длины 1ь К этому шарику прикреплена другая иерастяжимая нить длины 1а с шариком массы та на конце. Найти лагранжиан системы для случая ее движения в вертикальной плоскости (в этом случае система называется двойным математическим маятником). 5.40. Математический маятник массы ива длины 1 подвешен к телу массы гпи прикрепленному к верхнему концу пружины с вертикальной осью.
Написать лагранжиан системы, интеграл и уравнения движения. 5.41. Точка движется по гладкой поверхности конуса с углом 2а прп вершине; ось конуса расположена вертикально. Найти функцшо Лагранжа, первые интегралы и закон движения точки. 5,42. Точка движется по поверхности конуса (см. предыдущую задачу). В начальный момент времени, когда точка находилась на расстоянии га от вершины конуса, ей сообщили скорость оа в горизонтальном направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
