И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ее тангенциальное и нор- Уравнения движения точка мальное ускорения соответственно равны постоянным а и 6, Найти уравнение траектории в полярных координатах. 1.19. В данной плоскости движутся две точки: точка 1 движется по прямой с постоянной скоростью оь а точка 2 — с постоянной по модулю скоростью из, направленной все время на точку 1. Найти траекторию точки 2 и «координату встречи» ! и 2. 1.20. Точка 5 движется прямолинейно, а скорость точки К направлена все время на точку 5 (5 и К движутся в одной плоскости).
Какую форму должна иметь траектория точки К, чтобы расстояние между К и 5 было постоянным? Найти ускорение точки К, если известно, что оно ортогонально ее скорости. Каков закон движения 57 1.21. Точка движется по кардиоиде р =2а сов,— с постоян- Ф 2 ной по величине скоростью. Найти скорость точки и ее ускорение кик функцию р. 1.22. Точка описывает кардиоиду р = 2а сов' — таким обра- 2 зом, что ее радиус-вектор вращается с постоянной угловой скоростью то. Найти скорость точки и ее ускорение как функцию ф. 1.23.
Окружность радиуса а вращается вокруг оси, проходящей через некоторую точку О втой окружности перпендикулярно ее плоскости (угловая скорость вращения окружности постоянна и равна ы). По окружности движется точка с постоянной скоростью о относительно окружности. Найти уравнение траектории точки в полярных координатах с началом в точке О.
1.24. Точка движется по спирали р=аеч так, что радиальная составляющая ее ускорения равна нулю. Показать, что абсолютные величины скорости и ускорения точки пропорциональны р (тр(0) г ы). 1.25. Точка движется по плоской кривой и в момент времени 1о проходит со скоростью то через точку, в которой кривизна траектории равна я, Найти тангенциальную составляющую ускорения движущейся точки и кривизну ее траектория как функции велийач чины скорости, если — = ат, где а — константа. дд $2. Уравнения движения материапьной точки 1.26.
Проинтегрировать уравнение движения х = йз1п —, если х (0) = тта; х (0) = 2 (/ лп (1е,а)0). 1.27. Найти скорость, которую приобретет частица в результате действия мгновенной силы Р„=аб(1 — (о), если ч(0) =0 (здесь б (1) — функция Дирака). «Гл. ! Кинематика и.уравнения движения точки го 1.28. Заряд а<0 в начальный момент времени покоился на расстоянии Ь от бесконечной проводящей плоскости. Определить время, за которое заряд достигнет плоскости. 1.29.
Орудие установлено на холме высоты Ь (рис. 1.29). Начальная скорость снаряда чо направлена под углом а к горизонту. Определить, при каком значении угла а! дальность полета снаряда и максимальна (сопротивлением воздуха пренебречь). 1.30. Шарик массы пе падает на горизонтальную плоскость с вы!' соты Ь. Начальная скорость шарика равна нулю. Движение происходит в среде с квадратичным по скорости сопротивлением.
Найти Рве. !29 высоту подъема шарика после упругого удара о плоскость. 1.31. Тело движется в однородном поле тяжести Земли. Сила сопротивления среды пропорциональна квадрату скорости. В начальный момент времени тело находилось на высоте Н, а его скорость равнялась нулю. Найти зависимость скорости от времени, скорости от высоты и высоты от времени. 1.32. В некоторый начальный момент времени из неподвижного источника испускаются частицы с одинаковыми по модулю начальными скоростями, которые лежат в плоскости, параллельной напряженности д однородного поля (частицы вылетают под всеми возможными углами).
Найти область, недостижимую для пучка частиц. 1.33. Из некоторой неподвижной точки в начальный момент времени по всем направлениям испускаются частицы с постоянной по абсолютной величине начальной скоростью. Затем частицы движутся в однородном поле тяготения с сопротивлением, пропорциональным скорости. Найти центр н радиус сферы, на которой в момент времени 1 окажутся частицы. г 1.34. Заряд и движется в поле Е = Еаз!и — и электрического а ондулятора. В начальный момент времени г(0) =0; н(0) =поп, Найти закон движения заряда.
1.35. Протон движется во взаимно перпендикулярных однородных электрических полях с напряженностями Е, сов ее 1; Еез(п ее й При каких начальных условиях и значениях амплитуд Е! и Еа траекторией протона будет циклоида? 1.36. Электрон движется в магнитном полее напряженностью Н=Несозау.п,. Найти закон движения и траекторию электрона, если г(0) =0; ч(0) =уоп„. Уравиеиия авижеиия точки 1.37. Заряд е движется в скрещенных постоянных однородных электрическом и магнитном полях со взаимно перпендикулярными напряженностями. Найти скорость заряда ч(1), если г(0) =го; У(0) =Уа 1.38. Заряд е движется в однородных постоянных электрическом и магнитном полях. Представить скорость заряда в виде У(1) =а(г)+ч", где ч" удовлетворяет уравнению тт" = — (ч"Н).
а 1.39. Заряд е движется во взаимно перпендикулярных однородных постоянных полях: электрическом, магнитном и гравитационном, В начальный момент заряд покоился. Найти величину максимальной скорости„приобретенной зарядом. 1.40. Заряд е движется в однородном магнитном поле напряженности Н. Найти зависимость скорости и кинетической энергии заряда от времени, если учесть действие на заряд силы лучистого трения Г= — тч и если ч(0) =та. 1.41.
Электронно-лучевая трубка помещена в однородное магнитное поле, напряженность Н которого перпендикулярна плоскости экрана. Электроны влетают в электронно-лучевую трубку из электронной пушки с составляющей скорости и вдоль оси трубки и составляющей скорости оо перпендикулярно оси. При какой длине 1. трубки все электроны фокусируются в одной точке экрана? 1.42. Заряженная частица движется в постоянных однородных скрещенных полях Е ~ Н в среде с малым линейным сопротивлением (Г'= — уч). Найти скорость частицы вдоль поля Е, усреднеяную по периоду Т = 2п — (е — заряд частицы). еп 1.43.
Электрой движется в однородном постоянном магнитном поле Н=Ноп, и поле монохроматической циркулярно поляризованной волны, векторы напряженности которой равны соответственно Е =Е (соз(а1 — йг), з1п(а1 — Аг), О), Н =(п,Е ), где то =, ) Н ) (( На. Найти зависимость кинетической энер- ~е~Н гии от времени, если в начальный момент времени электрон покоился. 1.44.
Заряд движется в однородном нестационарном магнитном поле с напряженностью Н = О(1) и,; Н(1) = '"-(-')' Найти закон движения заряда, учитывая возникающее вихревое электрическое поле 15, 6]. 1.45. Тело массы т движется под действием возвращающей силы Р1= — й(1)г и силы сопротивления среды Гв= — у(1)ч. Како- (гд.
! 12 Кинематика и уравнения движения точки му условию должны удовлетворять функции у(1) н й(1), чтобы одним преобразованием времени уравнение движения можно было свести к уравнению движения с постоянными йе и уе? Найти это преобразование. 1.46. Записать уравнение движения точки в естественных координатах. 1 47. Найти решение уравнения тх=Г(1) с помошью функции Грина. 1.48. Точка массы пг движется вдоль оси х под действием силы оо при х< 0; -! их — — при и 0<хала; аае — — прн хв х ~а. — йх, х<0; У(х) = — Уг1хв, х) О.
2 Найти период колебаний точки. Найти скорость точки в начале координат, если х(0) =4а; х(0) =О. 1.49. Тело массы т брошено вертикально вверх и движется в среде, сила сопротивления которой Г"= †ай, где и — постоянный коэффициент.
При движении вверх и обратно тело имеет одну и ту же величину скорости на высотах й1 и лв соответственно. Показать, что е'М" —" >+ е — 'а<а — ви = 2, где йе — максимальная высота подъема. 1.50. Частица массы т движется под действием силы Г= ( — таях, — тУу, 0) и силы сопротивления Г" = ( — 2тХх, — 2тХу, 0), где Х вЂ” постоянный коэффициент. Найти уравнение траектории, если х(0) =а; у(0) =О; г(0) =0; х(0) = 0; у(О) = Ха; г (0) = О. 1.51. Точка движется в плоскости Оху под действием силы Г =(ау, Ьх, 0). Найти уравнение траектории. 1.52. Точка движется вдоль оси х под действием си.чы Г„=ах — уха. Найти закон движения х(1), если х(0) = $~2а/у; х(0) = О.
1.53. Точка движется в поле с потенциальной энергией ГЛАВА 2 Законы изменения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии 9 1. Законы изменения и сохранения импульса, момента импульса и энергии материальной точки 2.1. Найти выражение для силы, под действием которой материальная точка массы т движется в плоскости а=О по закону я=а си И, у=6 зпИ.
Приведите значения сохраняющихся при таком движении динамических величин. 2.2. Показать, что при движении точки в центрально-симмет- ричном поле ее траектория лежит в плоскости, проходящей через центр силы. 2.3. Материальная точка движется в центрально-симметричном поле при наличии силы трения ге= — тт. Будет ли это тело двигаться в плоскости, проходящей через центр силы при произвольных начальных условиях? 2.4.
В начальный момент времени заряд е неподвижен и находится на расстояниях г~ от двух бесконечно протяженных проводящих пластин, образующих прямой двугранный угол. Найти скорость заряда как функцию его положения. Е 2.6. Точка движется в поле с по- л тенциаломУ(х) =(?э16' —. Найти за- л кон движения точки. 2.6. Точка движется в поле й (?(г) =ту(г — Ь)6(г — й),где 6(г) — ступенчатая функция: 6(г) =0 при а<0; 6(г) =1, если г>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
