И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 9
Текст из файла (страница 9)
6.43. Получить уравнение колебаний цепочки осцилляторов (см. задачу 6.41) для предельного случая непрерывного распределения массы. Найти дис- Рнс. 6.42 персионное уравнение для этого случая. 6.44. Найти уравнение колебаний «цепочки» маятников (см. задачу 6.42) в предельном случае непрерывного распределения маятников. 5 3. Вынужденные иеяебання 6.46. Определить вынужденные колебания линейного одномерного осциллятора под действием силы Р((), если в начальный момент времени Г=О асциллятор находился в состоянии равновесия. Найти также полную переданную осциллятору энергию, если ,) Р®=( О '<О (> =((Р О (О, (<О; ) «=1 „+ О, пТ + т < ( < (п -1- 1) Т, где а = О, 1, 2, ...
6.46. Определить энергию, переданную линейному одномерному осциллятору под воздействием силы Р(Г) =Рее см'>'. В момент времени 1= — ее осцнллятор покоился в положении равновесия. 6.47. На слабо затухающий одномерный осциллятор действует внешняя сила Р(Г) =Ре сон сей Определить среднее за период 2п~се значение поглощаемой осциллятором мощности в установившемся режиме.
Показать, что оно равно среднему значению мощности, расходуемой на трение. 6.48. Найти закон вынужденных колебаний линейного одномерного осциллятора под воздействнсм силы Р(Г) прн наличия «линейного» сопротивления. Линеаиыс колебания (гл б 6.49. Два одинаковых маятника соединены пружиной жесткости х (ее длина в ненапряженном состоянии равна расстоянию между точками подвеса маятников). К одному из них приложена внешняя гармоническая сила, направленная по горизонтали.
Исследовать зависимость отношения амплитуд маитников от частоты внешней силы. 6.50. Показать. что интервал частот, на котором поглощаемая осциллятором мощность не меньше половины своего максимального значения, равен 2 1а (р — коэффициент затухания осциллятора). 6.51.
Заряд е движется в электрическом поле Е= Еасозсс Е Показать, что наличие сопротивления среды Г"= — ттч(ч~м) приводит к поглощению энергии поля зарядом. 6.52. Найти функцию Грана н решение уравнения х-) Ах+снял=-~(1); здесь 1., ыаа — постоинные величины. 6.53. Определить энергию, переданную электрону атома быстрой пролетающей частицей (в дипольпом приближении) 112, с. 475), 6.54. Найти среднее значение мощности, поглощаемой пространственным нзотропным осциллятором прп взаимодействии с электромагнитной волной. 6.55. Электроны движутся в среде в скрещенных однородном магнитном поле Н=Нп„ и электростатическом поле с потенциалом Уа — — (ка + у' — 2га), причем (еноте) я>4есИс(тйа(0с, й — по2ка стоянные).
Сила сопротивления среды равна — дайн (т — масса электрона, Х вЂ” постоянная). Найти энергию, поглощаемую электронами прн взаимодействии с внешней электромагнитной волной в дипольном приближении (131. 6.56. Система линейных одномерных осцилляторов находится в волноводе в среде с линейным сопротивлением н совершает колебания в плоскости, перпендикулярной оси волновода. Напряженность электрического поля волны в волноводе имеет вид Е=С(х, у)1'(с~1 — Аг), где ось г направлена по оси волновода.
Найти среднее (по времени и начальным фазам осцилляторов) значение мощности, поглощаемой системой при ее слабом взаимодействии с электромагнитной волной. 6.57. Пусть заряженные частицы однородно распределены в пространстве, а их |функцией распределения по скоростям является функция Максвелла 1 (н) ( ) е — ею*/ги й з1 Вынужденные колебания (здесь 6 — абсолютная температура, выраженная в единицах энергии). Найти изменение (для малых интервалов времени) средней кинетической энергии частиц под воздействием электромагнитной волны Е=Еосоз(гог — йг) (взаимодействием между частицами можно пренебречь) [141.
6.68. Найти зависимость от времени среднего квадрата радиуса-вектора свободной брауновской частицы 1151. 6.69. Найти среднеквадратичное смещение брауновского линейного вибратора с потенциальной энергией У=их'(2. ГЛАВА 7 Нелинейные колебания 5 1. Собственные колебания и метод Крылоаа— боголюбова. 7.1. Найти закон движения математического маятника (при произвольном его отклонении от вертикали), 7.2. Представить период колебаний математического маятника в виде эллиптического интеграла первого рода. Найти зависимость периода малых колебаний маятника и его частоты от амплитуды колебаний. 7 3. Найти закон движения математического маятника в случае малых колебаний методом Крылова — Боголюбова (КБ) 11, 17).
7.4. Найти закон движения математического маятника, находящегося под действием силы тяжести и силы кулонова трения (для малых углов отклонения). 7.5, Математическвй маятник, движущийся в среде с сопротивлением, один раз за период колебаний возбуждается данным импульсом ра при значении угла отклонения ~ре. Найти условия возникновения стационарного режима линейных колебаний. 7.6. Сначала спутник двигался в поле Земли по круговой орбите.
Затем произошло незначительное изменение орбиты, в результате чего спутник стал совершать малые радиальные колебания по отношению к первоначальной орбите. Найти зависимость частоты радиальных колебаний спутника от амплитуды его колебаний. 7.7. Планета массы т движется в поле с потенциальной энергией У(г) = — - ™ + бУ(г), где ЬУ = — — '; Х, = —; Г ~Р ' ' с~ при этом ~6У~ <<утМ!г. Найти уравнение орбиты планеты. $2.
Колебания системы с медленно меняющимися параметрами. Адиабатические инварианты 7.8. Длина пити математического маятника изменяется по закону 1=(а+оГ. Найти решение уравнений движения в случае когда угол отклонения от вертикали достаточно мал (у« 1). Исследовать случайо<<'г'й1. (Гл. 7 50 Налииеяиые колебания 7.18, Заряд е движется в электростатическом поле с потенциа- лом Ф = — — (ля+у' — 2га) и однородном постоянном магнитном 2 поле Н=Нп„на которое наложено переменное поле Н =Н~ созоп 1Ь,; Н,<<Н, где а«1-ыа — — еН/тс. Используя метод ус- реднения, найти закон движения заряда [201. 7.19.
Точка движется с периодом 2п/оо в потенциальном поле. (/(д). На точку действует также периодическая сила Я(4, 1) с ча- стотой 1).э ыо Найти уравнение движения точки по «сглаженной» по периоду 2п/11 траектории [2! — 23]. 7.20. Найти уравнение движения по «сглаженной» траектории, предполагая, что точка движется в поле (/(д), а также под дей- ствием почти-монохроматической силы 9(д, г) = 01(д, 1)соз«оА где ч~.э а>, (ао — частота движения частицы в поле У(д), — +'~«~ао 7.21. Точка подвеса математического маятника совершает вер- тикальные осцилляции по закону 4=с«соя оИ; ы)) [/у/1.
Найти эффективную потенциальную энергию маятника и его положения устойчивого равновесия, 7.22. Точка движется в поле с потенциалом (У(д) н под дей- ствием силы Я(д, г)=91(д)соз«о~1+Як(д)созыа1, где ы, «оа>)<оо (~оо — частота движения в поле У(д)). Найти уравнение, описы- вающее движение точки по «плавной» траектории. 7.23. Длина математического маятника изменяется по закону /(1) = 1«+ о1; и (( (г'уй Получить адиабатическпй инвариант, используя метод усреднения. 7.24. Частица с зарядом е и массой па движется в статиче- ских полях Ео(г); Но(г), на которые наложены неоднород- ные быстро осциллпрующие поля Е (г,1); Н (г, 1), Найти урав- нение двнжения, описывающее плавйую траекторию (частота дви- жения в статическом поле 0~а~ — частоты переменных полей) [241.
7.25. Электрон движется в поле стоячей волны, электрическо~ поле которой Е=Е«соз ы1соз Аг. Найти среднюю силу, действую. щ) ю на электрон (о « с) . 7.28. Заряд движется с большой скоростью и, под углом к оси сисгемы квадрупольных линз со знакопеременной полярностью. Потенциал линз имеет вид Методы усреднения где ~ (г) = 1 при (л — !) Е < г < (2л — 1) —; 1'(г) = — 1 при (2л — 1) — < г < лй 2 (л — целые числа; (/е, Й, Š— постоянные) .. Найти усредненную по быстрым осцилляциям силу, действующую на частицу. 727. Заряд влетает под малым углом к оси системы квадрупольных магнитных линз, повернутых относительно друг друга на 90'.
Напряженность поля, создаваемого линзой, равна 1 Н = — Ну7% )(г); ~р =- — ху, я где 7 (г) = 1 при (л — !) Е < г < (2л — 1) —; 2 7 (г) =- — 1 при (2л — 1) — < г < Ш т'. 2 (л — целые числа; Н, а, 7. — постоянные).
Найти усредненную по быстрым осцилляциям силу, действующую на заряд. 7.28. Заряд движется в постоянном однородном магнитном поле н в поле неподвижного заряда Я. Найти уравнение, описывающее движение заряда вдоль силовых линий магнитного поля и усредненное по периоду Т вращения в магнитном поле, Т=2п/со (от = еО/тле) . 7.29. Заряд движется в медленно меняющихся однородных электрическом Е и магнитном Н полях, удовлетворяющих условиям Т ( — ~ (( ! Е (, Т ~ — ~(( ( Н ! Т = Представить радиус-вектор заряда в виде суперпозицпи радиуса-вектора, медленно меняющегося со временем (т.
е. радиуса- вектора «ведущего центра»), и быстроосциллирующего вектора, описывающего движение заряда вокруг «ведущего центра» в магнитном поле. Найти скорость «ведущего центра». 7.30. Электроны движутся в плоском магиетроне. Плоскость х=О является катодом, плоскость х=т( — анодом. Магнитное поле направлено по оси г. Начальная скорость электронов равна ну- Нелинейные колебания (Гл 7 лиь Напряжение на аноде равно К Показать, что при И.л т / 2ее'7 ток отсутствует (е,, ла — величина заряда и масса ~/ 2 о алектрона еоо — — еоН/глс). Далее, используя метод усреднения, показать, что высокочастотное поле бегущей волны ер отпирает иагнетрон. Потенциал бегущей волны ф = — з1п(вà — йаУ)зййлл, где йи — пЛ вЂ” период структуры вдоль оси у.
7,31. Заряд движется в постоянном неоднородном магнитном поле. Используя метод усреднения, найти скорость ведущего центра траектории заряда и скорость его вращения вокруг силовой линии. Найти адиабатические инварианты движения заряда. ГЛаВа 8 Динамика твердого тела 9 1. Тензнр ннермнн 8 3.
Найти центр масс материального сектора„вырезанного нз однородного тонкого диска радиуса Р (угол раствора сектора равен я радиан). 8.2. Показать, что тензор инерции тела аддитивен по отношению к частям, из которых оно состоит. 8.3. Найти моменты инерции однородных линий массы М относительно осей их материальной симметрии; линии имеют форму а) отрезка прямой длины 2а; б) дуги окружности радиуса Р, стягивающей центральный угол а радиан. 8.4. Найти главные центральные моменты инерции однородных тонких пластинок массы М, имеющих форму а) прямоугольника со сторонами 2 а и 2 Ь; б) эллипса с большой полуосью а н малой полуосью Ь. 8.5. Найти главные центральные моменты инерции однородной пластинки массой т, имеющей форму лемнискаты р* = а' сов 26. 8.6. Показать, что момент инерции однородной пластинки, имеющей форму эллипса с полуосями а и Ь, относительно любой осн, проходящей через центр эллипса в его плоскости, может быть выражен формулой Х = — М (а'Ь'/г'), 4 где 2г — длина отрезка оси, отсекаемого эллипсом, а М вЂ” масса пластинки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
